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湖北省孝感高级中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学理试题 Word版含答案



孝感高中 2014—2015 学年度高二下学期期中考试

数学试题(理科)
命题人:蒋志方
n

考试时间:120 分钟
n i

分值:150 分
i

? 参考公式: b ?

? ( xi ? x )( yi ? y )
i

?1

? (x
i ?1

n

?

?x y
i ?1 n

? nxy ) ? nx 2

i

? x)

2

?x
i ?1

2 i

一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 6 0 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合的. 1.已知 ξ~B(n,p) ,且 E (? ) ? 7 , D(? ) ? 6 ,则 p 等于( A. ) D.

1 7

B.

1 6

C.

1 5

1 4

2.已知空间向量 a ? (?2, ?3,1) , b ? (2,0, 4) , c ? (4, 6, ?2) ,则下列结论正确的是( ) A.a∥c 且 a∥b B.a⊥b 且 a⊥c C.a∥ c 且 a⊥ b D.以上都不对

3.已知三个正态分布密度函数 ?i ( x ) ? 如图所示,则( ) A. ?1 ? ?2 ? ?3 , ?1 ? ? 2 ? ? 3 B. ?1 ? ?2 ? ?3 , ?1 ? ? 2 ? ? 3 C. ?1 ? ?2 ? ?3 , ?1 ? ? 2 ? ? 3 D. ?1 ? ?2 ? ?3 , ?1 ? ? 2 ? ? 3

1 2?? i

?

( x ? ?i )2 2? i2

e

( x ? R , i ? 1, 2 , 3 )的图象

4.设 f ( x) ? x2 ? 2x ? 4ln x ,则 f ?( x) ? 0 的解集为( A. (0, ??) A. 3 n B. (2, ??) B. 3n ? 1 C. (?1, 0) C. (?1)n ? 1 5.式子 ?2Cn1 ? 4Cn2 ? 8Cn3 ?
n ? (?2)n Cn 等于() .



(2, ??)

D. (?1, 0) D. (?1)n

6.设随机变量 ? 的分布列为 P (? ? i ) ? a ( )i , i ? 1, 2,3 , 则实数 a 的值为( ) A.1 B.

1 3

9 13

C.

11 13

D.

27 13

7.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 女 总计 40 20 60 爱好 不爱好 总计 20 60 30 50 50 110

-1-

由 K2 ?

n(ad ? bc)2 2 计算出 K . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? k )
k

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

并参照附表,得到的正确结论是( ) A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” 8.学校体育队共有 5 人,其中会打排球的有 2 人,会打乒乓球的有 5 人,现从中选 2 人.设 ξ 为选出的人中既会打排球又会打乒乓球的人数,则随机变量 ξ 的均值 E (? ) ? ( A. )

2 5

B.

3 5


C.

4 5

D.1

9.从 1,2,3,4,5 中任取 2 各不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B=“取 到的 2 个数均为偶数”,则 P( B A) ? ( A.

1 8

B.

1 4

C.

2 5
)种

D.

1 2
2 1 4

10.如图所示,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜 色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着方法共有( A.72 C.48 B.60 D.24
2

3

5

C :x ? 11.已知 F 1 、 F2 为双曲线

y2 ? 1的左、右焦点, P 为双曲线 C 上一点,且点 P 在 24
) D.2
*

第一象限. 若 A.1

PF1 PF2

4 ? ,则 △PF1F2 内切圆半径为( 3
B. 2
*

C. 3

12. 设数列 {an } 共有 n 项 (n ? 3, n ? N ) ,且 a1 ? an ? 1 , 对于每个 i(1 ? i ? n ? 1, n ? N ) 均有

ai ?1 1 ?{ ,1,5} .当 n ? 10 时,满足条件的所有数列 {an } 的个数为( ai 5
A.215 13.已知随机变量 X B.512 C.1393 D.3139 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.



N (3,1) , 且 P(2 ? x ? 4) ? 0.6826 , 则 P( X ? 4) ?

.

14.现有 3 本不同的数学书,2 本不同的物理书和 1 本化学书,全部排放在书架的同一层,

-2-

要求使数学书都相邻且物理书不相邻,一共有 15.若 x4 ( x ? 3)8 ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2)2 ?

种不同的排法。 (用数字作答)

? a12 ( x ? 2)12 ,则
.

log2 (a1 ? a3 ? a5 ?

? a11 ) ?

16.小明身高 176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm 和 182cm .因儿子 的身高与父亲的身高有关,用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[源 17. (本小题满分 10 分) 已知 (
3

x ? x2 )2n 的展开式的二项式系数之和是 (3x ?1)n 的展开式的
1 x
2n

(2 x ? ) 的展开式中: 二项系数之和的 32 倍. 求
(1)常数项; (2)系数最大的项. 18. (本小题满分 12 分)已知甲、乙、丙、丁、戊、己等 6 人.(以下问题用数字作答) (1)邀请这 6 人去参加一项活动,必须有人去,去几人自行决定,共有多少种不同的情 形? (2)这 6 人同时加入 6 项不同的活动,每项活动限 1 人,其中甲不参加第一项活动,乙 不参加第三项活动,共有多少种不同的安排方法? (3)将这 6 人作为辅导员安排到 3 项不同的活动中,每项活动至少安排 1 名辅导员;求 丁、戊、己恰好被安排在同一项活动中的概率.

19. (本小题满分 12 分)如图所示,四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是矩形, AB=2,BC= 2,且侧面 PAB 是正三角形,平面 PAB⊥平面 ABCD. (1)求证:PD⊥AC; (2)在棱 PA 上是否存在一点 E,使得二面角 E BD A 的大小为 45° ? AE 若存在,试求 的值,若不存在,请说明理由. AP 20. (本小题满分 12 分)某苗木公司要为一小区种植 3 棵景观树,每棵树的成本为 1000 元, 2 这种树的成活率为3,有甲、乙两种方案如下; 1 甲方案:若第一年种植后全部成活,小区全额付款 8000 元;若第一年成活率不足 ,终 2 1 止合作,小区不付任何款项;若成活率超过 ,但没有全成活,第二年公司将对没有成活的树 2 补种,若补种的树全部成活,小区付款 8000 元,否则终止合作,小区付给公司 2000 元. 乙方案:只种树不保证成活,每棵树小区付给公司 1300 元. (1)若实行甲方案,求小区给苗木公司付款的概率; (2)公司为获得更大利润,应选择哪种方案?
-3-

21. (本小题满分 12 分)已知 F 为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,椭圆 C 上任意一点 P 到 4 3
1 . 2

点 F 的距离与点 P 到直线 l : x ? m 的距离之比为 (1)求直线 l 方程;

(2)设 A 为椭圆 C 的左顶点, 过点 F 的直线交椭圆 C 于 D 、E 两点,直线 AD 、 AE 与 直线 l 分别相交于 M 、 N 两点. 以 MN 为直径的圆是否恒过一定点?若是,求出定点坐标; 若不是,请说明理由.

22. (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? a ln( x ? 1) ?

1 ? 3x ? 1. x ?1

(1)若 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; ( 2)求证: 数 n 均成立.

2 3 4 ? ? ? 2 2 4 ?1 ? 1 4 ? 2 ? 1 4 ? 32 ? 1

?

n ?1 1 ? ln(2n ? 1) 对一切正整 2 4 ? n ?1 4

版权

-4-

高二下学期期中理科数学参考答案
一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A

C

B

B

C

D

A

C

B

A

D

D

二、填空题 13. 0.1587 三、解答题

14. 36

15. 7

16. 185

17、 (1) 22n ? 32 ? 2n ? 2n ? 32
r 10?r 10?2 r 解得:n=5, Tr ?1 ? C10 2 x 5 5 所以常数项为 T5 ? C10 2 ? 8064

……………3 分

…………5 分

(2)

?

r 10?r r ?1 10?( r ?1) C10 2 ?C10 2 8 11 r 10?r r ?1 10?( r ?1) 解得 ? r ? ?r ?3 C10 2 ?C10 2

3

3

……………8 分 …………………10

3 7 4 所以系数最大的项是第 4 项, T4 ? C10 2 x ? 15360x4

分 (建议:没有计算出组合数的值不扣分) 18、 【解析】解: (1) C 6
1

? C 62 ? ... ? C 66 ? 2 6 ? 1 ? 63
……4 分

故共有 63 种不同的 去法 (2) A6
6

? 2 A55 ? A44 ? 720 ? 240 ? 24 ? 504
……… 8 分
1 3 2C3 A3 1 ? 4 3 1 2 3 2 2 C6 A3 ? C6C5 A3 ? C6 C4 15

故共有 504 种不同的安排方法 (3) P ?

故丙、戊恰好被安排在一项活动中的概率为

1 15

…… 12 分

19、解: 取 AB 的中点 H,连接 PH,则 PH⊥平面 ABCD.以 H 为原点,建立空间直角坐标系 H xyz(如图所示),则 A(1,0,0),B(-1,0,0),D(1, 2,0),C(-1, 2,0),P(0,0, 3). (1)证明:∵ =(1, 2,- 3),=(-2, 2,0), ∴ ·=0,∴ ⊥,即 PD⊥AC. ………4 分 (2) 假设在棱 PA 上存在一点 E,使得二面角 E BD A 的大小为 45°.连接 BE,ED.不妨设= λ(0<λ<1),则点 E 的坐标为(1-λ,0, 3λ ), ∴ =(2-λ,0, 3λ ).设 n=(x,y,z)是平面 EBD 的一个法向量,又=(2, 2,0),则

-5-

?(2-λ)x+ 3λz=0, 2-λ? ?? 取 x= 3,∴n=? 3,- 6,- . λ ? ? ?2x+ 2y=0,
1 1 则有 cos 45°=|cos〈,n〉|=,即 2λ2+λ-1=0,可解得 λ= ,即= . 2 2 AE 1 故存在点 E,使得二面角 E BD A 的大小为 45°,此时 = . AP 2 12 分 20.解析(1)设小区付款为事件 A

……8 分

又=(0,0, 3)是平面 ABD 的一个法向量,∴要使二面角 E BD A 的大小等于 45°,

… …

2 1 2 20 20 P( A) ? C32 ( ) 2 ? ( )3 ? 3 3 3 27 所以小区付款的概率为 27 ?
(2)设甲方案的利润 可能取值为:-3.-2,4,5

…………5 分 ……6 分

1 7 1 1 2 2 P (? ? ?3) ? C3 ( ) ? ( )3 ? 3 3 3 27
2 P (? ? ?2) ? C3 (

2 2 1 1 4 ) ? 3 3 3 27 2 1 2 8 2 P (? ? 4) ? C3 ( )2 ? 3 3 3 27 2 8 P (? ? 5) ? ( ) 3 ? 3 27

?

-3
7 27

-2
4 27

4
8 27

5
8 27

p

E (? ) ?


43 27

…………………………… 10

乙方案的利润 0.9 千元,

0.9 ?

43 27 ,所以苗木公司选用甲方案的利润的均值更大.

………12 分

21.解析 (1)F (1, 设 P( x , 依题意有 y) 为椭圆 C 上任意一点, 0) , ∴

( x ? 1) 2 ? y 2 1 ? 。 x?m 2

4 x(?

2

2 将 4 1 ?) y 2 4 ? x ?。 (m ) y 2 ? 12 ? 3x2 代 入 , 并 整 理 得

(8 ? 2m) x ? m2 ?16 ? 0 。
y) 为椭圆上任意一点知,方程 (8 ? 2m) x ? m2 ?16 ? 0 对 ?2 ? x ? 2 的 由点 P( x ,

x 均成立。

-6-

∴ ∴ 5分

8? 2 m? 0 ,且 m2 ? 16 ? 0 。解得 m ? 4 。

直线 l 的方程为 x ? 4 。

……………………

(2)易知直线 DE 斜率不为 0,设 DE 方程为 x ? ty ? 1 。
? x ? ty ? 1 ? 由 ? x2 y 2 ,得 (3t 2 ? 4) y2 ? 6ty ? 9 ? 0 。 ? ?1 ? 3 ? 4

设 D( x1 , 则 y1 ? y2 ? y2 ) , y1 ) ,E( x2 , 分 由 A(?2 , 0) ,知 AD 方程为 y ? 0 ?
6y 同理, 点 N 坐标为 N (4 , 2 ) 。 x2 ? 2

?6t ?9 , y1 y2 ? 2 。 2 3t ? 4 3t ? 4

…………… 7

y1 ? 0 6y ( x ? 2) ,点 M 坐标为 M (4 , 1 ) 。 x1 ? 2 x1 ? 2

…………………

9分 由对称性,若定点存在,则定点在 x 轴上。设 G(n , 0) 在以 MN 为直径的圆上。
6y 6y 36 y1 y2 则 GM ? GN ? (4 ? n , 1 ) ? (4 ? n , 2 ) ? (4 ? n) 2 ? ? 0。 x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)



(4 ? n)2 ?

36 y1 y2 36 y1 y2 ? (4 ? n)2 ? 2 ?0。 (ty1 ? 3)(ty2 ? 3) t y1 y2 ? 3t ( y1 ? y2 ) ? 9

即 (4 ? n)2 ? ∴

36 ? (?9) ? 0 , (4 ? n)2 ? 9 ? 0 , n ? 1 或 n ? 7 。 ?9t ? 3t (?6t ) ? 9(3t 2 ? 4)
2

以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上两定点 (1 , 0) 和 (7 , 0) 。

…………………

12 分 注:若只求出或证明两定点中的一个不扣分。
0) 和 (7 , 0) 后,再予 也可以由特殊的直线 l ,如 x ? 1 ,得到圆与 x 轴的交点 (1 ,

以证明。 22. 解答 (1) f ?( x) ?

a 1 3( x ? 1)2 ? a( x ? 1) ? 1 3x 2 ? (a ? 6) x ? a ? 2 。 ? ? 3 ? ? x ? 1 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2

若 a ? ?2 ,则 a ? 6 ? 0 , x ? 0 时, f ?( x) ? 0 。此时, f ( x) 在区间 ?0 , ? ?? 上为 增函数。

-7-

∴ 2分

x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 0 。 a ? ?2 符合要求。

……………………

若 a ? ?2 ,则方程 3x2 ? (a ? 6) x ? a ? 2 ? 0 有两个异号的实根,设这两个实根为

x1 , x2 ,且 x1 ? 0 ? x2 。
∴ ∴ ∴ 5分 (2)由(1)知, x ? 0 时,不等式 ?2 ln( x ? 1) ? ∴
x ? 0 时,
1 ? 3x ? 1 ? 0 恒成立。 x ?1

0 ? x ? x2 时,f ?( x) ? 0 。f ( x) 在区间 ?0 , x2 ? 上为减函数,f ( x2 ) ? f (0) ? 0 。
a ? ?2 不符合要求。

? ?? 。 a 的取值范围为 ??2 ,

……………………

1 ? 3 x ? 1 ? 2 ln( x ? 1) 恒成立。 x ?1 2 1 2 2 令x? ( k ? N* ) ,得 ? 3? ? 1 ? 2ln( ? 1) , 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 ?1 2k ? 1 8k ? 8 2k ? 1 ? 2 ln 整理得 。 …………………… 7 4k 2 ? 1 2k ? 1 分 k ?1 1 k 2? 1 ? ln ∴ 。令 k ? 1 ,2,3,…, n ,得 2 4k ? 1 4 2k ? 1 2 1 3 3 1 5 4 1 7 ? ln ? ln ? ln , , , … , 2 2 2 4 ?1 ? 1 4 1 4 ? 2 ?1 4 3 4 ? 3 ?1 4 5 n ?1 1 n? 2 1 ? ln 。 2 4 ? n ? 1 4 2n ? 1 ………………… 9分 将上述 n 个不等式的左右两边分别相加,得 2 3 4 n ?1 1 3 5 7 2n ? 1 1 ? ? ? ? ? ln( ? ? ? ? ) ? ln(2n ? 1) 2 2 2 2 4 ?1 ? 1 4 ? 2 ? 1 4 ? 3 ? 1 4 ? n ?1 4 1 3 5 2n ? 1 4 。 2 3 4 n?1 1 ? ? ? ? ? ln(2n ? 1)对一切正整数 n ∴ 2 2 2 2 4 ? 1 ? 1 4 ? 2 ? 1 4? 3 ? 1 4?n ? 1 4 均成立。 ……………………… 12 分

-8-

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-9-



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