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2010-2015年参数方程与极坐标历年高考解答题真题及答案汇编



选修 4-4 参数方程与极坐标历年高考解答题真题及答案汇编 1. (2010·江苏高考·T21)在极坐标系中,已知圆 ρ =2cosθ 与直线 3
ρ cosθ +4ρ sinθ +a=0 相切,求实数 a 的值. 【命题立意】本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识,考查转化问题的能力. 【思路点拨】将圆ρ =2cosθ 与直线 3ρ cosθ +4ρ sinθ +a=0 化为普通方程后求解. 【 规 范 解 答 】 ∵ ρ =2cos θ , ∴

? 2 ? 2 ?c o ? s, 圆 的 普 通 方 程 为 :

x2 ? y 2 ? 2x,( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,
直线 3ρ cosθ +4ρ sinθ +a=0 的普通方程为 3x ? 4 y ? a ? 0 ,

又圆与直线相切,所以

| 3 ?1 ? 4 ? 0 ? a | 32 ? 42

? 1, 解得: a ? 2 ,或 a ? ?8 .

2(2010·福建高考理科·T21)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程
( t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原



点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ =2 5sinθ . (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A, B .若点 P 的坐标为(3, 5 ),求 PA ? PB . 【命题立意】本题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程,直线与圆的位置关系等基础 知识,考查运算求解能力. 【思路点拨】 (1)求圆的标准方程, (2)写出直线的一般方程,联立圆与直线的方程可求出 A,B 的坐标,进而求出|PA|+|PB|的值. 【规范解答】 (1)由ρ =2 5sinθ ,得ρ =2 5ρ sinθ ,∴x +y =2 5y, 所以 x2 ? ( y 2 ? 2 5 y ? 5) ? 5 ? x2 ? ( y ? 5)2 ? 5 . (2)直线的一般方程为 x ? 3 ? y ? 5 ? x ? y ? 5 ? 3 ? 0 ,容易知道 P 在直线上,又
2 2 2

32 ? ( 5 ? 5 )2 ? 5 ,所以 P 在圆外,联立圆与直线方程可以得到: A(2, 5 ?1), B(1, 5 ? 2) ,所以|PA|+| PB|= 3 2.

3. (2010·辽宁高考理科·T23)已知 P 为半圆 C: ? ?
? . 3

x ? cos ? ( ? 为参 ? y ? sin ?

数, 0 ? ? ? ? )上的点,点 A 的坐标为(1,0) ,O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段

OM 与 C 的弧 ? AP 的长度均为

(1)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (2)求直线 AM 的参数方程. 【命题立意】本题考查了点的极坐标,以及直线的参数方程,考查计算能力和转化与化归能 力. 【思路点拨】 (1)由 M 点的极角和极径,直接写出点 M 的极坐标. (2)先求点 M 的直角坐标,再用直线的参数方程写出所求直线的参数方程. 【规范解答】 (1)由已知,M 点的极角为

? ? ,且 M 点的极径等于 , 3 3 ? ? 故点 M 的极坐标为( , ). 3 3

(2)M 点的直角坐标为(

?
6

,

3? ) ,A(0,1) ,故直线 AM 的参数方程为 6

? ? x ? 1 ? ( ? 1)t , ? 6 ? (t 为参数). ? ? y ? 3? t ? 6 ?

4(2010

? 海南宁夏高考 ? 理科

T23)已知直线 C1 :

, (t

为参数) ,圆 C2 : ( ? 为参数), (1)当 ? =

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

(2)过坐标原 点 O 作 C1 的垂 线,垂足为 A , P 为 OA 的中点,当 ? 变化时,求 P 点轨迹 的参数方程,并指出它是 什么曲线. 【命题立意】本题主要考查了极坐标方程与普通方程的灵活转化. 【规范解答】 (1)当 ?

?

?
3

时,C1 的普通方程为 y ? 3( x ?1) ,C2 的普通方程为

x2 ? y 2 ? 1.

联立方程组

解得 C1 与 C2 的交点为(1,0) ,( ,?

1 2

3 ) 2 .

(2)C1 的普通方程为 x sin ?

? y cos ? ? sin ? ? 0 .

A 点坐标为 (sin 2 ? , ? cos ? sin ? ) ,故当 ? 变化时, P 点轨迹的参数方程为

1 1 P 点轨迹的普通方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? 4 16 1 1 故 P 点轨迹是圆心为 ( , 0) ,半径为 的圆. 4 4

5(2011·新课标全国高考理科·T23)在直角坐标系 xOy
C1 的参数方程为 ?

中,曲线

??? ? ???? ? ? x ? 2cos ? , ( ? 为参数) ,M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P ? y ? 2 ? 2sin ?

点的轨迹为曲线 C2. (Ⅰ)求 C2 的方程. (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB . 【思路点拨】第(Ⅰ)问, OP ? 2OM 意味着 M 为 O,P 的中点,设出点 P 的坐标,可由 点 M 的参数方程(曲线 C1 的方程)求得点 P 的参数方程; 第(Ⅱ)问,先求曲线 C1 和 C2 的极坐标方程,然后通过极坐标方程,求得射线 ?= 的交点 A 的极径 ?1 ,求得射线 ?=

? 与 C1 的异于极点的交 3

??? ?

???? ?

?
3

与 C1

?
3

|AB |= 与 C2 的交点 B 的极径 ?2 ,最后只需求

|?2 ? ?1 | 即可.
【精讲精析】 (I)设 P(x,y),则由条件知 M(

x y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

? x ? 2 cos ? , ? ? 2 ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ?2
从而 C 2 的参数方程为



? x ? 4cos ? , ? ? y ? 4 ? 4sin ? ,

? x ? 4cos ? , ( ? 为参数). ? y ? 4 ? 4sin ? ?
(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? .

? ? 与 C 1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4sin , 3 3 ? ? 射线 ? ? 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin . 3 3
射线 ? ? 所以 .

6.(2011·新课标全国高考文科·T23)在直角坐标系
线 C1 的参数方程为

xOy 中,曲

( ? 为参数),M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2. (Ⅰ)求 C2 的方程. (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB . 【思路点拨】第(Ⅰ)问, OP ? 2OM 意味着 M 为 OP 的中点,设出点 P 的坐标,可由点

uu u v

uuuv

? 与 C1 的异于极点的交 3

??? ?

???? ?

M 的参数方程(曲线 C1 的方程)求得点 P 的参数方程;
第(Ⅱ)问,先求曲线 C1 和 C2 的极坐标方程,然后通过极坐标方程,求得射线 ?= 的交点 A 的极径 ?1 ,求得射线 ?=

?
3

与 C1

?
3

|AB |= 与 C2 的交点 B 的极径 ?2 ,最后只需求

|?2 ? ?1 | 即可.
【精讲精析】 (I)设 P(x,y),则由条件知 M(

x y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

? x ? 2 cos ? , ? ? 2 ? ? y ? 2 ? 2sin ? , ? ?2
从而 C 2 的参数方程为 ( ? 为参数).



? x ? 4cos ? , ? ? y ? 4 ? 4sin ? .

(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? .

? ? 与 C 1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4sin , 3 3 ? ? 射线 ? ? 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin . 3 3
射线 ? ? 所以 AB = r2 - r1 = 2 3.

7.(2011·福建高考理科)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,
? x ? 3cos?, 曲线 C 的参数方程为 ? . (? 为参数) ? ? ? y ? sin?

(I)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴 正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

π ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

(II)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值. 【思路点拨】 (I)将点 P 的极坐标化为直角坐标,然后代入直线 l 的方程看是否满足,从而 判断点 P 与直线 l 的位置关系; (II)将点 Q 到直线 l 的距离转化为关于 ? 的三角函数式,然后利用三角函数的知识求最小 值. 【精讲精析】(I)把极坐标系下的点 P (4, ? ) 化为直角坐标得点 (0, 4) . 2 因为点 P 的直角坐标 (0, 4) 满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上. (II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) ,从而点 Q 到直线 l 的 距离为

2 cos(? ? ) ? 4 | 3 cos ? ? sin ? ? 4 | ? 6 d? ? ? 2 cos(? ? ) ? 2 2, 6 2 2
由此得,当 cos(? +

?

?
6

) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 2.

8.(2012·新课标全国高考真题)
?x ? 2cos? (?为参数) ? y ? 3sin ? C x轴 ? 1 已知曲线 的参数方程是 , 以坐标原点为极点,

的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程是 ? ? 2 ,正方形
ABCD 的顶点都在 C 2 上,且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐
(2, ) 标为 3 .

?

(1)求点 A, B, C, D 的直角坐标.
PA ? PB ? PC ? PD (2)设 P 为 C1 上任意一点,求
2 2 2 2

的取值范围.

【解题指南】 (1)利用极坐标的定义求得 A,B,C,D 的坐标. (2)由 C1 方程的参数式表示出|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2 关于 ? 的 函数式,利用函数的知识求取值范围. 【解析】 (1)由已知可得
? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? A ? 2cos , 2sin ? , B ? 2cos ? ? ? , 2sin ? ? ? ? 3 3? ? ? ?3 2? ? 3 2 ?? ,
? ?? ? ?? ?? ? ? ? 3? C ? 2cos ? ? ? ? , 2sin ? ? ? ? ? , D ? 2cos ? ? ?3 ? ?3 ?? ? ?3 2 ? ? ? ? 3? ? , 2sin ? ? ? ?3 2 ?? ?? ?? ,



A 1, 3 , B ? 3,1 , C ?1, ? 3 , D

?

? ?

? ?


? ?

3, ?1
2

?.
2 2

(2)设

P ? 2cos?,3sin ? ? ,

S ? PA ? PB ? PC ? PD

2

,则

S ? 16cos2 ? ? 36sin 2 ? ? 16 ? 32 ? 20sin 2 ? .
2 因为 0 ? sin ? ? 1, 所以 S 的取值范围是 ?32,52? .

9(2012·辽宁高考真题)
2 2 2 2 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1 : x ? y ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2) ? y ? 4 .

(1)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 分别写出圆 C1, C2 的极坐标方程,并求出圆 C1, C2 的交点坐标(用极坐标表示). (2)求圆 C1与C2 的公共弦的参数方程. 【解题指南】将直角坐标方程化为极坐标方程,联立,求得交点极坐 标. 【解析】 (1)圆 C1 的极坐标方程为 ? ? 2 ; 圆 C2 的极坐标方程为 ? ? 4cos? ;
?? ? 2 ? 联立方程组 ? ? ? 4 cos ?

,解得

? ? 2,? ? ?

?
3

. 故圆 C1 , C2 的交点极坐标为

(2, ),(2, ? ) 3 3 .

?

?

(2)由

? ? 2,? ? ?

?

? x ? ? cos ? ? 3 ,及 ? y ? ? s in?

? ?x ? 1 ? ? x ? 1, ?y ? 3 , ? 得? ? ? ? y ? ? 3,

圆 C1 , C2 的交点直角坐标为 (1,

3),(1, ? 3) .
x ?1 ( ? 3 ? t ? 3) . ?y ? t

故圆 C1 , C2 的公共弦的参数方程为 ? ?

10(2012·江苏高考真题)在极坐标系中,已知圆 C 经过点
P

?

2,

? 4

??? ? ,圆心为直线 ? sin ? ? ? ? 3
??

3 2

与极轴的交点,求圆 C 的极

坐标方程.
? sin ? ? ? ? ? ? 3? 2 ? 【解析】∵圆 C 圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 3? 2 ? ∴在
? ?? 3 ? 3

与极轴的交点,

中令 ? =0 ,得 ? ? 1 .

∴圆 C 的圆心坐标为(1,0).

∵ 圆
PC ?

C
2

经 过 点
?
2

P

?

2,

? 4

?
o

, ∴ 圆
s = 1

C

的 半 径 为

? 2?

1 ? ? ?2

1

?
4

.

2

c

∴圆 C 经过极点,∴圆 C 的极坐标方程为 ? =2cos? . 11.(2013·新课标全国Ⅱ高考真题) 已知动点 P,Q 都在曲线 C: ? 为 t=α 与 t =2α (0<α <2π ),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程. (2) 将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数, 并判断 M 的轨迹是 否过坐标原点. 【解题指南】(1)借助中点坐标公式,用参数 ? 表示出点 M 的坐标, 可得参数方程. (2)利用距离公式表示出点 M 到原点的距离 d,判断 d 能否为 0,可得 M 的轨迹是否过原点. 【解析】 (1)依题意有 P ? 2cos? ,2sin ? ? , Q ? 2cos2?,2sin 2? ? , 因此
M ? cos ? ? cos 2? ,sin ? ? sin 2? ? .
? x ? 2cos t ? y ? 2sin t

?t为参数? 上,对应参数分别

M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? cos 2? ??为参数,0 ? ? ? 2? ? ? y ? sin ? ? sin 2?

(2)M 点到坐标原点的距离
d ? x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? , ? 0 ? ? ? 2? ? .

当 ? ? ? 时, d ? 0 ,故 M 的轨迹过坐标原点.

12 (2013· 新课标Ⅰ高考真题) 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ? y ? 5 ? 5sin t ,

( t 为参数) , 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ) 。 【解析】 将?
? x ? 4 ? 5 cost 消去参数 t , 化为普通方程 ( x ? 4) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 25 , y ? 5 ? 5 sin t ?

即 C1 : x 2 ? y 2 ? 8x ? 10y ? 16 ? 0 . 将?
? x ? ? cos? 代入 x 2 ? y 2 ? 8x ? 10y ? 16 ? 0 得 ? y ? ? sin ?

? 2 ? 8? cos? ? 10? sin ? ? 16 ? 0 .

(Ⅱ) C 2 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 .
2 2 ? ?x ? 1 ?x ? 0 ? x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 由? 2 2 ,解得 ? 或? . ? ?y ? 1 ?y ? 2 ?x ? y ? 2 y ? 0

所以 C1 与 C 2 交点的极坐标分别为 ( 2 , ) , (2, )
4 2

?

?

13(2013·辽宁高考真题)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系。圆 C1 ,直线 C2 的极坐标方程分别为
? ? ? 4sin ? , ? cos(? ? ) ? 2 2.
4
(?) 求 C1 与 C2 的交点的极坐标; (?? ) 设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 的交

? x ? t 3 ? a, 点连线的中点,已知直线 PQ 的参数方程为 ? ? b 3 (t ? R为参数). 求 y ? t ?1 ? ? 2
a , b 的值。

【解题指南】 利用极坐标和直角坐标的互化关系,将不熟悉的极坐

标转化为熟悉的直角坐标来探究. 【解析】 (?) 由 ? ? x 2 ? y 2 , ? cos ? ? x, ? sin ? ? y 得, 圆 C1 的直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 直线 C2 的直角坐标方程分别为 x ? y ? 4 ? 0 由?
? x2 ? ( y ? 2)2 ? 4, ? x ? 0, 解得 ? 1 ? y1 ? 4, ? x ? y ? 4 ? 0. ? x2 ? 2, ? ? y2 ? 2,

所以圆 C1 ,直线 C2 的交点直角坐标为 (0, 4),(2, 2) 再由 ? ? x 2 ? y 2 , ? cos ? ? x, ? sin ? ? y ,将交点的直角坐标化为极坐标
(4, ), (2 2, ) 所以 C1 与 C2 的交点的极坐标 (4, ), (2 2, ) 2 4 2 4
(?? ) 由 (?) 知,点 P , Q 的直角坐标为 (0, 2), (1,3)

?

?

?

?

故直线 PQ 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 由于直线 PQ 的参数方程为
? x ? t 3 ? a, ? ? b 3 (t ? R为参数). ? y ? t ?1 ? 2



消去参数 y ? b x ? ab ? 1
2 2



?b ? 1, ? ? 2 对照①②可得 ? ?? ab ? 1 ? 2. ? ? 2

解得 a ? ?1, b ? 2.

14.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考真题)
在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为ρ =2cosθ ,θ ∈错误!未找到引用源。. (1)求 C 的参数方程. (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3 x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标.

【解题提示】(1)先求出 C 的普通方程,然后再化为参数方程. (2)利用 C 的参数方程设出点 D 的坐标,利用切线与直线 l 垂直,可得直线 GD 与直线 l 的斜率 相同,求得点 D 的坐标.
2 【解析】 (1)C 的普通方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 (0≤y≤1). 2

可得 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos t (t 为参数,0≤t≤π ). y ? sin t ?

(2)设 D(1+cos t,sin t) ,由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t= 3 ,t= 故 D 的直角坐标为 ?1 ? cos

? . 3

? ?

?
3

,sin

??

?3 3? ? ,即 ? ?2, 2 ? ? . 3? ? ?

15.(2014·福建高考理科)
已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? a ? 2t ? x ? 4cos ? (t为参数) ,圆 C 的参数方程为 ? ? y ? 4sin ? ? y ? ?4t

(? 为参数).
(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. 【解析】(1)直线 l 的普通方程为 2 x ? y ? 2a ? 0 , 圆 C 的普通方程为 x ? y ? 16 ;…………………………………………………3 分
2 2

(2)∵直线 l 与圆 C 有公共点, ∴圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d ?

?2a 5

? 4 ,解得 ?2 5 ? a ? 2 5 ,

∴实数 a 的取值范围是 [?2 5,2 5] .……………………………………………7 分

16.(2014·辽宁高考真题)
将圆 x ? y ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.
2 2

(Ⅰ)写出 C 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为

P 1, P 2 ,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极坐

标建立极坐标系,求过线段 【解析】 (Ⅰ)设

PP 1 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

? x1 , y1 ? 为圆上的点,在已知变换下变为 C 上的点 ? x, y ? .依题意得

2 ? x ? x1 , ? y? y2 2 2 x ? ? 1 ? x ? ?1 2 2 ? ? ? y ? 2 y1. 由 x1 ? y1 ? 1得 ?2? 4 ,即曲线 C 的方程为 .

? x ? cos t , ? y ? 2sin t , ( t 为参数). 故 C 的参数方程为 ?
? 2 y2 ? 1, ?x ? ? x ? 1, ? x ? 0, 4 ? ? ? ?2 x ? y ? 2 ? 0 y ? 0 或 ? y ? 2. (Ⅱ)由 ? 解得 ?
?1 ? 1 k? . ? ,1? . P 1,0 , P 0,2 PP ? ? ? ? 2 2 不妨设 1 ,则线段 1 2 的中点坐标为 ? 2 ? 所求直线斜率为

1? 1? y ?1 ? ? x ? ?. 2? 2 ? 化为极坐标方程,并化简得 于是所求直线方程为

??

3 . 4sin ? ? 2 cos ?

17(2014·新课标全国 1 卷高考真题)选修 4—4:坐标系与参数方程
?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? 已知曲线 C : ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t
(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小 值. 【解析】 :.(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为: ? 直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 (Ⅱ) (2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为
o

? x ? 2cos ? ? y ? 3sin ?

( ? 为参数) ,

………5 分

d?

5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 , 5
4 d 2 5 ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 ? ? ,其中 ? 为锐角.且 tan ? ? . 0 3 sin 30 5

则 | PA |?

当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为

22 5 ; 5
…………10 分

当 sin ?? ? ? ? ? 1时, | PA | 取得最小值,最小值为

2 5 . 5

18(2015 年全国一卷)选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中.直线 C1 :x=-2,圆 C2 :(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I) (II)
解: (I)因为 x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,所以 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 , C2 的 极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 。 ( II)将 ? ? ……5 分

求 C1 , C2 的极坐标方程; 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 求△C2MN 的面积

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N



?
4

代入 ? ? 2 ? cos? ? 4? sin? ? 4 ? 0,得 ? 2 ? 3 2? ? 4 ? 0 ,解得
2

?1 ? 2 2 , ?2 ? 2 。故 ?1 ? ?2 ? 2 ,即 MN ? 2 。
由于 C2 的半径为 1,所以 ?C2 MN 的面积为

1 。 2

……10 分

19(2015 年全国 2 卷)
? x ? t cos ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: ? (t 为参数,t ≠ 0) ,其中 0 ≤ α < π,在以 O ? y ? t sin ?

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ? ? 2sin ? ,C3: ? ? 2 3 cos? 。 (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求 | AB | 的最大值。 解析:(I)、曲线 C2 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 y ? 0 ,曲线 C3 的直角坐标方程为
2 2

x2 ? y 2 ? 2 3x ? 0
? 3 ?x ? ? x2 ? y2 ? 2 y ? 0 ?x ? 0 ? 2 解得? 或? 联立 ? 2 2 ?y ? 0 ? y ? 3 ? x ? y ? 2 3x ? 0 ? 2 ?

所以 C3 与 C2 交点的直角坐标为 (0, 0)和(

3 3 ,) 2 2

(II)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? ?(? ? R,? ? 0),其中 0 ?? ?? 因此 A 的极坐标为 ,B 的极坐标为 (2sin? , ?) (2 3cos? , ?) 所以 | AB |?| 2sin ? - 2 3cos ? |? 4 | sin(? 当? ?

?
3

)|

5? 时,|AB|取得最大值,最大值为 4 6



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