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高中数学不等式8


第八教时
教材:不等式证明三(分析法) 目的:要求学生学会用分析法证明不等式。 过程: 一、介绍“分析法” :从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。
二、 例一、求证: 3 ? 7 ? 2 5

证: ∵ 3 ? 7 ? 0, 2 5 ? 0 只需证明: ( 3 ? 7 ) 2 ? (2 5 ) 2 展开得: 即: ∴ 即:

综合法: ∵21 < 25 ∴ 21 ? 5 ∴ 2 21 ? 10 ∴ 10 ? 2 21 ? 20 ∴ ( 3 ? 7 ) 2 ? (2 5 ) 2 ∴ 3? 7 ?2 5
1 1

10 ? 2 21 ? 20 2 21 ? 10 21 ? 5
21 < 25(显然成立)

∴ 3? 7 ?2 5

例二、设 x > 0,y > 0,证明不等式: ( x 2 ? y 2 ) 2 ? ( x 3 ? y 3 ) 3 证一: (分析法)所证不等式即: ( x 2 ? y 2 ) 3 ? ( x 3 ? y 3 ) 2 即: x 6 ? y 6 ? 3x 2 y 2 ( x 2 ? y 2 ) ? x 6 ? y 6 ? 2x 3 y 3 即: 3x 2 y 2 ( x 2 ? y 2 ) ? 2 x 3 y 3
2 xy 3 2 ∵ x 2 ? y 2 ? 2 xy ? xy 成立 3

只需证: x 2 ? y 2 ?

∴ (x ? y ) ? (x ? y )
2 2 3

1 2

1 3 3

证二: (综合法)∵ ( x 2 ? y 2 ) 3 ? x 6 ? y 6 ? 3x 2 y 2 ( x 2 ? y 2 ) ? x 6 ? y 6 ? 6x 3 y 3

? x 6 ? y 6 ? 2x 3 y 3 ? ( x 3 ? y 3 ) 2
1 1

∵x > 0,y > 0, ∴ ( x 2 ? y 2 ) 2 ? ( x 3 ? y 3 ) 3 例三、已知:a + b + c = 0,求证:ab + bc + ca ≤ 0 证一: (综合法)∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)2 = 0 展开得: ab ? bc ? ca ? ?
a2 ? b2 ? c2 2

∴ab + bc + ca ≤ 0 证二: (分析法)要证 ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0 故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2 即证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca ? 0
1 即: [( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ] ? 0 (显然) 2 ∴原式成立 证三:∵a + b + c = 0 ∴? c = a + b ∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab ? (a + b)2 = ?a2 ?b2 ?ab

b 3b 2 ]?0 = ? [(a ? ) 2 ? 2 4

例四、 (课本例)证明:通过水管放水,当流速相等时,如果水管截面(指横截面)的周长相等,那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。
l ? l ? 证:设截面周长为 l,则周长为 l 的圆的半径为 ,截面积为 ?? ? , 2? ? 2? ? l ?l? 周长为 l 的正方形边长为 ,截面积为 ? ? 4 ?4?
2 2

? l ? ?l? 问题只需证: ?? ? > ? ? ? 2? ? ?4?

2

2

?l 2 l2 即证: 2 > 16 4?
4 1 1 ,得: ? 2 ? 4 l 因此只需证:4 > ? (显然成立)

两边同乘

? l ? ?l? ∴ ?? ? > ? ? ? 2? ? ?4?
三、 作业: P18

2

2

也可用比较法(取商)证,也不困难。 及 习题 6.3 余下部分

练习

1—3

补充作业: 1.已知 0 < ? < ?,证明: 2 sin 2? ? cot
? 2 1 ? cos ? 略证:只需证: 4 sin ? cos ? ? sin ?

∵0 < ? < ? ∴sin? > 0

故只需证: 4 sin 2 ? cos? ? 1 ? cos? 即证: 4(1 ? cos?)(1 ? cos?) cos? ? 1 ? cos? 只需证: 4(1 ? cos?) cos? ? 1 即只需证: 4 cos2 ? ? 4 cos? ? 1 ? 0 即: (2 cos? ? 1) 2 ? 0 (成立) ∵1 + cos? > 0

2. 已知 a > b > 0,?为锐角,求证: a sec ? ? b tan? ?

a 2 ? b2

略证:只需证: (a sec ? ? b tan?) 2 ? a 2 ? b 2 即: a 2 tan2 ? ? b 2 sec ?2 ? 2ab tan? sec ? ? (a tan? ? b sec ?) 2 ? 0 (成立)
3. 设 a, b, c 是的△ABC 三边,S 是三角形的面积,求证: c ? a ? b ? 4ab ? 4 3S
2 2 2

略证:正弦、余弦定理代入得: ? 2abcosC ? 4ab ? 2 3absin C

即证: 2 ? cosC ? 2 3 sin C 即: 3 sin C ? cosC ? 2
? 即证: sin( C ? ) ? 1 (成立) 6


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