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2017《教与学》中考全程复习导练第28课 坐标中的图形变换



近三年浙江中考试题分布
热门考点 1. 图形中的 坐标变换 2.图形变换 作图 3.利用坐标 或网格计 算图形的 面积 2016年 宁波T26,14分 衢州T24,12分 金华T24,12分 绍兴、义乌T23,12分 嘉兴、舟山T23,10分 2015年 温州T20,8分 宁波T24,10分 衢州T15,4分 金华T19,6分 舟山T15,4分 2014年


嘉兴T12,4分 衢州、丽水T19,6分 金华、义乌T19,6分

考点一 图形中的坐标变换
要点点拨
1.平移变换图形中坐标的确定只要遵循“右加左减,上加 下减”的原则即可. 2.对称变换图形中一定要看清是关于哪条直线或哪个点 对称,然后根据对称的性质确定点的坐标. 3.旋转变换图形中坐标的确定需结合图形,利用旋转角, 构造直角三角形来确定. 4. 位似变换图形中坐标的确定需结合位似中心与位似比, 还要注意是在位似中心的同侧还是异侧. 特别关注 要注意每种变换的不同特征.

【典例 1】 (2016· 山东德州)对于平面图形上的任意两点 P,Q,如果经过某种变换得到新图形上的对应点 P′, Q′,保持 PQ=P′Q′,我们把这种变换称为“等距变 换”.下列变换中,不一定 是等距变换的是 ( ) ... A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 位似

【点评】 本题主要考查图形中的坐标变换,理解“等距 变换”的定义、掌握平移变换、旋转变换、轴对称变换和 位似变换的性质是解题的关键.

【解析】 平移的性质:把一个图形整体沿某一直线方向 移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大 小完全相同,则平移变换是“等距变换”; 旋转的性质:旋转前、后的图形全等,则旋转变换是 “等 距变换”; 轴对称的性质:成轴对称的两个图形全等,则轴对称变换 是“等距变换”; 位似变换的性质:位似变换的两个图形是相似形,则位似 变换不一定是等距变换. 【答案】 D

考点二 图形变换作图
要点点拨
设 A(a,b)是原图形上任意一点,经某种变换后得到新图 形上的对应点 A1(a1,b1).若 n 大于 1,则: (1)A(a,b)→A1(na,b),所得图形与原图形相比,纵向不 变,横向被拉长为原来的 n 倍. (2)A(a,b)→A1(a,nb),所得图形与原图形相比,横向不 变,纵向被拉长为原来的 n 倍. ?1 ? ? (3)A(a,b)→A1?na,b? ?,所得图形与原图形相比,纵向不 ? ? 1 变,横向被压缩为原来的n.

? 1 ? ? (4)A(a,b)→A1?a,nb? ?,所得图形与原图形相比,横向不 ? ?

1 变,纵向被压缩为原来的n. (5)A(a,b)→A1(a± n,b),所得图形由原图形向右或向左 平移 n 个单位得到. (6)A(a,b)→A1(a,b± n),所得图形由原图形向上或向下 平移 n 个单位得到. (7)A(a, b)→A1(-a, b), 所得图形与原图形关于 y 轴对称.

(8)A(a, b)→A1(a, -b), 所得图形与原图形关于 x 轴对称. (9)A(a,b)→A1(-a,-b),所得图形与原图形关于原点中 心对称.
特别关注 图形变换作图,关键在于确定原图形各顶点 经变换后的对应点,然后顺次连结即可 .

【典例 2】 (2016· 广西南宁)如图 281,在平面直角坐标 系中,已知△ ABC 三个顶点的坐标分别是 A(2,2), B(4,0),C(4,-4). (1)请画出△ ABC 向左平移 6 个单位长度后得到的 △ A1B1C1. (2)以点 O 为位似中心,将 1 △ ABC 缩小为原来的 , 得 2 到△ A2B2C2,请在 y 轴右 侧画出△ A2B2C2,并求出 ∠A2C2B2 的正弦值.

【点评】 本题主要考查位似变换、平移变换、锐角三角 函数等知识,解题的关键是理解位似变换、平移变换的概 念,记住锐角三角函数的定义. 【解析】 (1)如解图①所示.

(典例 2 解①)

(2)如解图②所示. ∵△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(2,2),C(4,-4),B(4,0), ∴易得直线 AC 的函数表达式为 y= -3x+8. 8 当 y=0 时,0=-3x+8,解得 x= , 3 ?8 ? ∴点 D 的坐标为?3,0?. ? ? ∵∠CBD=90° , 4 ∴CD= BC2+BD2= 10, 3 8 4- 3 BD 10 ∴sin∠DCB=CD= = . 4 10 10 3 ∵∠A2C2B2=∠ACB,∴sin∠A2C2B2=sin∠DCB= 10 . 10

考点三 利用坐标或网格计算图形的面积
要点点拨
在平面直角坐标系中求图形的面积,往往采用割补 法,把图形的高或底转化到坐标轴上或与坐标轴平行.格 点多边形的面积主要利用皮克定理进行计算.
特别关注 割补法的实质是转化思想的运用,通过添加

辅助线,把不规则图形转化为规则图形 .

【典例 3】 (2016· 四川自贡)如图 282,把 Rt△ ABC 放 在平面直角坐标系内,其中∠CAB=90° ,BC=5,点 A,B 的坐标分别为(1,0),(4,0).将△ ABC 沿 x 轴 向右平移,当点 C 落在直线 y=2x-6 上时,线段 BC 扫过的面积为____cm2.

图 282

【点评】 本题主要考查平移的性质及一次函数的综合应 用,根据题意画出图形是解题的关键.

【解析】 如解图所示.

(典例 3 解)

∵点 A,B 的坐标分别为(1,0),(4,0),∴AB=3. ∵∠CAB=90° ,BC=5,∴AC=4,∴A′C′=4. ∵点 C′在直线 y=2x-6 上, ∴2x-6=4,解得 x=5,即 OA′=5, ∴CC′=5-1=4, ∴S?BCC′B′=4× 4=16(cm2), 即线段 BC 扫过的面积为 16 cm2.

本课考点的考查以稍难题为主, 在坐标平面内求滚动 图形中点的坐标是难点, 解决此类问题要先找到点的运动 规律,然后将点的坐标与滚动次数相对应来确定所求坐 标,常用到数形结合思想.

1 【例 1】 (2016· 山东威海)如图 283,直线 y= x+1 与 x 2 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,△ BOC 与△ B′O′C′是 以点 A 为位似中心的位似图形,且相似比为 1∶3,则 点 B 的对应点 B′的坐标为 .

图 283
提 示

注意满足条件的位似图形不止一个.

1 【解析】 ∵直线 y= x+1 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B, 2 ∴点 A,B 的坐标分别为(-2,0),(0,1). ∵△ BOC 与△ B′O′C′是以点 A 为位似中心的位似图形,且相似比 为 1∶ 3 , OB 1 ∴ = ,∴O′B′=3. O′B′ 3 1 易得点 B′在直线 y= x+1 上. 2 1 当 y=-3 时,-3= x+1,解得 x=-8,此时点 B′的坐标为(-8, 2 -3). 1 当 y=3 时,3= x+1,解得 x=4,此时点 B′的坐标为(4,3). 2 综上所述,点 B′的坐标为(-8,-3)或(4,3).

【答案】 (-8,-3)或(4,3)

【例 2】 (2015· 浙江舟山)如图 284,多边形的各顶点都 在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上, 这样的多边 1 形称为格点多边形,它的面积 S 可用公式 S=a+ b- 2 1(a 是多边形内的格点数,b 是多边 形边界上的格点数)计算,这个公式 称为“皮克定理”.现有一张方格纸, 上面共有 200 个格点, 画有一个格点 多边形,它的面积 S=40. (1)这个格点多边形边界上的格点数 b= (用含 a 的代数式表示). (2)设该格点多边形外的格点数为 c, 则 c-a=____.

1 【解析】 (1)由 a+ b-1=40,得 b=82-2a. 2 (2)∵方格纸共有 200 个格点,∴a+b+c=200. 将 b=82-2a 代入, 得 a+82-2a+c=200, ∴c-a=118.
【答案】 (1)82-2a (2)118

【例 3】 (2016· 四川巴中)如图 285,方格中,每个小正 方形的边长都是单位 1,△ ABC 在平面直角坐标系中 的位置如图. (1)画出将△ ABC 向右平移 2 个单位得到的△ A1B1C1. (2)画出将△ ABC 绕点 O 顺时针方向旋转 90° 得到的 △ A2B2C2. (3)求△ A1B1C1 与△ A2B2C2 重合部分的面积.

图 285

【解析】 (1)如解图①,△ A1B1C1 即为所求.

(2)如解图②,△ A2B2C2 即为所求.

(3)设 B2C2 与 A1B1 相交于点 E,B2A2 与 A1B1 相交于点 F,如解图③. ∵点 B2(0,1),C2(2,3),B1(1,0),A1(2,5),A2(5,0), ∴易得直线 A1B1 的函数表达式为 y=5x-5, 直线 B2C2 的函数表达式为 y 1 =x+1,直线 A2B2 的函数表达式为 y=- x+1. 5 ?x = 3 , ? 2 ? ?3 5? ?y=5x-5, ? 由 解得? ∴点 E?2,2?. ? ? 5 ? y = x + 1 , ? ?y= , ? 2 ?x=15, y = 5 x - 5 , ? ? 13 ? ?15 10? 由? 解得? ∴点 F?13,13?. 1 ? ? ? ?y=10, ?y=-5x+1, ? 13 3 易得△ EFB2∽△A1C1B1, EB2= 2, A1B1= 26, 2 EB2 3 13 1 ∴相似比为 = .易得 S△ A1B1C1= × 2 2× 3 2=6, A1B1 26 2 ?3 13?2 27 27 ? ? = ,即重合部分的面积为 . ∴S△ EFB2=6× 26 26 ? 26 ?

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