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2007年天河区高二数学竞赛试题



2007 年天河区高二数学竞赛试题
2007 年 4 月 12 日下午 2:30—4:30

一、选择题: (本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 ) 1.右图是 2006 年中央电视台举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的 茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩

数据的平均数和方差分别为( ) A. 84 , 4.84 B. 84 , 1.6 7 9 C. 85 , 1.6 D. 85 , 4
8 9
4 4 6 4 7

3

2.把数列 {2n ? 1} 依次按一项、二项、三项、四项循环分为(3) , (5,7) , (9,11,13) , (15,17,19,21) , (23) , (25,27, ) , (29,31,33) , (35,37,39,41) ,…,在第 100 个括号内各数之和为( (A)1992 (B)1990 (C)1873 (D)1891 3.动点 P 为椭圆 )

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上异于椭圆顶点 (? a,0) 的一点,F1、F2 为椭圆的两个焦点,动圆 C 与线段 F1P、F1F2 的 a 2 b2 延长线及线段 PF2 相切,则圆心 C 的轨迹为除去坐标轴上的点的( ) (A)一条直线 (B) 双曲线的右支 (C) 抛物线 (D) 椭圆 4.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P 为 BD1 的中点,则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )
D1 A1 C1

P

B1
C

D

① A.①④

② B.②③

③ C.②④



A

B

D.①②

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分。 )
5. 某单位要在甲、 乙、 丙、 丁 4 人中安排 2 人分别担任周六、 周日的值班任务 (每人被安排是等可能的, 每天只安排一人) . 其 中甲、乙两人都被安排的概率是__ _ ____ _ ___. ? ? ? ? ? ? ? ? 5 6、已知向量 a ? (1,2), b ? (?2,?4), c ? 5, 若(a ? b ) ? c ? , 则a与c的夹角为 ______. 2

n ? ?s i2 n0 , 则 7. 已 知 5 s i 2

t a? n? ( 10 ) 的 值 是 t a? n? (10 )

_______________________.

8. 已知每条棱长都为 3 的直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中, ∠BAD=60°,长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在 DD1 上运动, 运动.则 MN 中点 P 的轨迹与 直平行六面体的表面所围成的较小的几何体的体积为 _____ ______. 9. 已知 t ? 0 ,关于 x 的方程 x ? ___. 10.已知点 P 为椭圆

另一个端点 N 在底面 ABCD 上

t ? x 2 ? 2 , 则这个方

程有相异实根的个数情况是

x2 ? y 2 ? 1 在第一象限部分上的点,则 x ? y 的最大值等于 3

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 90 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
11.(本题满分 18 分)如图,已知三棱锥 P—ABC,∠ACB=90° ,CB=4,AB=20,D 为 AB 中点,M 为 PB 的中点,且△ PDB 是正三角形,PA⊥PC. (I)求证: DM // 平面 PAC ; (II)求证:平面 PAC⊥平面 ABC; (Ⅲ)若 M 为 PB 的中点,求三棱锥 M—BCD 的体积.

12. (本小题满分 18 分)已知函数 f 常数 a、b 的值.

? x ? ? ?a cos2x ? 2

3a sin x cos x ? 2a ? b 的定义域为 ?0 , ? ,值域为[ -5,1 ],求 2? ?

?

??

13. (本小题满分 18 分)某市对居民生活用水的收费方法是:水费=基本用水费+超额用 3 水费+定额水损耗费.若每月用水量不超过限量 am 时, 只收取基本用水费 8 元和每户每月 3 的定额水损耗费 c 元; 若用水量超过 am 时, 除了要收取同上的基本用水费和定额水损耗 3 费外, 超过部分每 m 还要收取 b 元的超额用水费.已知每户每月的定额水损耗费不超过 5 元.右表是该市一个家庭在第一季度的用水量和支付费用情况。 根据上表中的数据,求 出 a,b,c 的值.

月份 1 2 3

用水量 3 (m ) 9 15 22

水费(元) 9 19 33

14. (本小题满分 18 分)设 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 的极小值为 ?8 ,其导函数 y ? f '( x) 的图像经过点 (?2, 0), ( , 0) ,如图所示,

y
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若对 x ? [?3,3] 都有 f ( x) ? m2 ?14m 恒成立, 求实数 m 的取值范围. 15.(本小题满分 18 分)如图,将圆分成 n 个扇形区域,用 3 种不 要求相邻区域颜色互异,把不同的染色方法种数记为 a n 。求 (Ⅰ) a1 , a2 , a3 , a4 ; (Ⅱ) a n 与 an ?1 ? n ? 2? 的关系式; (Ⅲ)数列 ?an ? 的通项公式 a n ,并证明 an ? 2n ? n ? N * ? 。

2 3

?2
2 3 4 5 6 7 1 n

O

2 x 同颜色给每一个扇形区域染色, 3

9 8

2007 年天河区高二数学竞赛答题卷
选择题:每小题 6 分 题号 答案 填空题:每小题 6 分 5. 7. 9. 解答题: 11. (本小题满分 18 分) 6. 8. 10. 1 2 3 4

学校:

姓名:

考号:

12. (本小题满分 18 分)

13. (本小题满分 18 分)

14. (本小题满分 18 分)

装订线内不要答题

装订线内不要答题

装订线内不要答题

装订线内不要答题

15. (本小题满分 18 分)



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