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2015· 安徽(文科数学)解析完整版



2015?安徽卷(文科数学) 1.L4[2015· 安徽卷] 设 i 是虚数单位,则复数(1-i)· (1+2i)=(

)

A.3+3i B.-1+3i C.3+i D.-1+i 1.C [解析] 由(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=3+i 得 C 正确. 2. A1[2015· 安徽卷] 设全集 U={1, 2, 3, 4, 5, 6}, A={1, 2}, B={2, 3, 4}, 则 A∩(?UB) =( ) A.{1,2,5,6} B.{1} C.{2} D.{1,2,3,4} 2.B [解析] 由?UB={1,5,6}得 A∩(?UB)={1}. 3.A2[2015· 安徽卷] 设 p:x<3,q:-1<x<3,则 p 是 q 成立的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.C [解析] 因为(-1,3)是(-∞,3)的真子集,所以 q?p,但 p?/ q,因此 p 是 q 的 必要不充分条件. 4.B4、B9[2015· 安徽卷] 下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( ) A.y=ln x B.y=x2+1 C.y=sin x D.y=cos x 4.D [解析] y=ln x 是非奇非偶函数,A 不正确;y=x2+1 是偶函数,但 x2+1=0 无 实数解,B 不正确;y=sin x 是奇函数,C 不正确;y=cos x 是偶函数,且 cos x=0 有实数解, D 正确. ?x-y≥0, 5.E5[2015· 安徽卷] 已知 x,y 满足约束条件?x+y-4≤0,则 z=-2x+y 的最大值是

?

? ?y≥1,

(

) A.-1 B.-2 C.-5 D.1 5.A [解析] 二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC 内部及其边界, 当直线 y=2x+z 过 A 点时 z 最大,又 A(1,1),因此 z 的最大值为-1,选 A.

6.H6[2015· 安徽卷] 下列双曲线中,渐近线方程为 y=±2x 的是( 2 y x2 A.x2- =1 B. -y2=1 4 4 2 x2 2 2 y C.x - =1 D. -y =1 2 2 6.A

)

1 [解析] A 中双曲线的渐近线方程为 y=± 2x;B 中双曲线的渐近线方程为 y=± x; 2 2 C 中双曲线的渐近线方程为 y=± 2x;D 中双曲线的渐近线方程为 y=± x.故选 A. 2

7.L1[2015· 安徽卷] 执行如图 11 所示的程序框图(算法流程图),输出的 n 为(

)

图 11 A.3 B.4 C.5 D.6 7.B [解析] 初始值,a=1,n=1,|a-1.414|=0.414≥0.005,执行第一次循环,a=1 1 3 + = ,n=2; 1+a 2 1 7 |a-1.414|=0.086≥0.005,执行第二次循环,a=1+ = ,n=3; 1+a 5 1 17 |a-1.414|=0.014≥0.005,执行第三次循环,a=1+ = ,n=4; 1+a 12 |a-1.414|≈0.002 7<0.005,跳出循环,输出 n=4. 8. H4[2015· 安徽卷] 直线 3x+4y=b 与圆 x2+y2-2x-2y+1=0 相切, 则 b 的值是( ) A.-2 或 12 B.2 或-12 C.-2 或-12 D.2 或 12 8.D [解析] 圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,依题意得圆心(1,1)到直线 3x+4y |3+4-b| =b 的距离 d= =1,即|b-7|=5,解得 b=12 或 b=2,选 D. 32+42 9.G2[2015· 安徽卷] 一个四面体的三视图如图 12 所示,则该四面体的表面积是( )

图 12 A.1+ 3 B.1+2 2 C.2+ 3 D.2 2 9.C [解析] 四面体的直观图如图所示,设 O 是 AC 的中点,则 OP=OB=1,因此 PB 3 3 1 = 2,于是 S△PAB=S△PBC= ?( 2)2= ,S△PAC=S△ABC= ?2?1=1,故四面体的表面积 4 2 2 3 S=2?1+2? =2+ 3. 2

10.B14[2015· 安徽卷] 函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图像如图 13 所示,则下列结论成 立的是( )

图 13 A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0 C.a<0,b<0,c>0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0 10.A [解析] 由当 x→+∞时,f(x)→+∞知 a>0,由图知 f(0)=d>0. 2b - >0, ? 3 a ?b<0, 因为 f′(x)=3ax2+2bx+c,由图知 f′(x)=0 有两个正实根,所以 得? 故选 c ?c>0, ? >0, 3a

? ? ?

A. 1?-1 5 11.B7[2015· 安徽卷] lg +2lg 2-? ?2? =________. 2 5 11.-1 [解析] 原式=lg +lg 4-2=lg 10-2=-1. 2 12. C8[2015· 安徽卷] 在△ABC 中, AB= 6, ∠A=75°, ∠B=45°, 则 AC=________.

AB AC 12.2 [解析] 依题意得∠C=60°,由正弦定理得 = ,即 AC= sin C sin B

6? 3 2

2 2 =2.

1 13.D2[2015· 安徽卷] 已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+ (n≥2),则数列{an}的前 9 项 2 和等于________. 1 1 13. 27 [解析] 由 an=an-1+ (n≥2)得, 数列{an}是以 1 为首项, 以 为公差的等差数列, 2 2 9?8 1 因此 S9=9?1+ ? =27. 2 2 14. B8[2015· 安徽卷] 在平面直角坐标系 xOy 中, 若直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图 像只有一个交点,则 a 的值为________. 1 14. - [解析] 依题意, 在同一坐标系中作出直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图像如 2 1 图,由图像得,2a=-1,即 a=- . 2

→ → 15.F4[2015· 安徽卷] △ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a,b 满足AB=2a,AC =2a+b,则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的编号) → → ①a 为单位向量;②b 为单位向量;③a⊥b;④b∥BC;⑤(4a+b)⊥BC. 1→ → → → → 15.①④⑤ [解析] 由AB=2a,AC=2a+b,得 a= AB,b=AC-2a=BC,④正确;|a| 2 1→ → = |AB|=1, ①正确; |b|=|BC|=2, ②错误; 且 a 与 b 的夹角为 120°, 故 a· b=1?2?cos 120° 2 =-1,③错误;(4a+b)· b=4a· b+b2=-4+4=0,⑤正确. 16.C4、C5[2015· 安徽卷] 已知函数 f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x. (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)求 f(x)在区间?0, ?上的最大值和最小值. 2? ? 16 . 解: (1) 因为 f(x) = sin2x + cos2x + 2sin xcos x + cos 2x = 1 + sin 2x + cos 2x = 2 2π π sin?2x+ ?+1,所以函数 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 4? ? π (2)由(1)的计算结果知,f(x)= 2sin?2x+ ?+1. 4? ? π π π 5 π 当 x∈?0, ?时,2x+ ∈? , ?, 4 ?4 2? 4 ? ? π 5 π 由正弦函数 y=sin x 在? , ?上的图像知, 4 ? ?4 π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2+1; 4 2 8 π 5π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值 0. 4 4 2

π 综上,f(x)在?0, ?上的最大值为 2+1,最小值为 0. 2? ? 17.I2、K2[2015· 安徽卷] 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访 问 50 名职工,根据这 50 名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图 14 所示),其中 样本数据分组区间为:[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100]. (1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在[40, 60)的受访职工中, 随机抽取 2 人, 求此 2 人的评分都在[40, 50)的概率.

图 14

17.解:(1)因为(0.004+a+0.018+0.022?2+0.028)?10=1,所以 a=0.006. (2)由所给频率分布直方图知,50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0.022+0.018)?10 =0.4,所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4. (3)受访职工中评分在[50,60)的有 50?0.006?10=3(人),记为 A1,A2,A3; 受访职工中评分在[40,50)的有 50?0.004?10=2(人),记为 B1,B2. 从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人,所有可能的结果共有 10 种,它们是{A1,A2},{A1, A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}, 1 又因为所抽取 2 人的评分都在[40,50)的结果有 1 种,即{B1,B2},所以所求的概率 P= . 10 18.D3、D4[2015· 安徽卷] 已知数列{an}是递增的等比数列,且 a1+a4=9,a2a3=8. (1)求数列{an}的通项公式; an+1 (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. SnSn+1 18.解:(1)由题设知 a1a4=a2a3=8, ?a1=1, ? ?a1=8, ? 又 a1+a4=9,可解得? 或? (舍去). ? ? ?a4=8 ?a4=1 - - 由 a4=a1q3 得公比 q=2,故 an=a1qn 1=2n 1. n a1(1-q ) n an+1 Sn+1-Sn 1 1 (2)Sn= =2 -1,又 bn= = = - , Sn Sn+1 1-q SnSn+1 SnSn+1 1 1? ?1 1? 1 1 ?1- 1 ? 1 所以 Tn=b1+b2+…+bn=? ?S1-S2?+?S2-S3?+…+?Sn Sn+1?=S1-Sn+1=1-2n+1-1. 19.G12[2015· 安徽卷] 如图 15,三棱锥 PABC 中,PA⊥平面 ABC,PA=1,AB=1, AC=2,∠BAC=60°. (1)求三棱锥 PABC 的体积; PM (2)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 AC⊥BM,并求 的值. MC

图 15

19.解:(1)由题设 AB=1,AC=2,∠BAC=60°, 1 3 可得 S△ABC= ?AB?AC?sin 60°= . 2 2 由 PA⊥平面 ABC,可知 PA 是三棱锥 PABC 的高,又 PA=1,所以三棱锥 PABC 的体 1 3 积 V= ?S△ABC?PA= . 3 6 (2)证明: 在平面 ABC 内, 过点 B 作 BN⊥AC, 垂足为 N.在平面 PAC 内, 过点 N 作 MN∥PA, 交 PC 于点 M, 连接 BM.由 PA⊥平面 ABC 知 PA⊥AC, 又 MN∥PA, 所以 MN⊥AC.又 BN⊥AC, BN∩MN=N,BN?平面 MBN,MN?平面 MBN,所以 AC⊥平面 MBN.又 BM?平面 MBN, 所以 AC⊥BM. 1 3 PM AN 在 Rt△BAN 中,AN=AB· cos∠BAC= ,从而 NC=AC-AN= .由 MN∥PA,得 = 2 2 MC NC 1 = . 3

x2 y2 20.H5[2015· 安徽卷] 设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),点 O 为坐标原点,点 A 的 a b 坐标为(a,0),点 B 的坐标为(0,b),点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜 5 率为 . 10 (1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,证明:MN⊥AB. 2 1 ? 5 b 5 20.解:(1)由题设条件知,点 M 的坐标为? ?3a,3b?,又 kOM= 10 ,所以2a= 10 . c 2 5 进而 a= 5b,c= a2-b2=2b,故 e= = . a 5 a b? → ?a 5b? (2)证明:由 N 是 AC 的中点知,点 N 的坐标为? ?2,-2?,可得NM=?6, 6 ?. 1 5 1 → → → 又AB=(-a,b),从而有AB?NM=- a2+ b2= (5b2-a2). 6 6 6 → → 由(1)的计算结果可知 a2=5b2,所以AB?NM=0,故 MN⊥AB. ax 21.B11、B12[2015· 安徽卷] 已知函数 f(x)= (a>0,r>0). (x+r)2 (1)求 f(x)的定义域,并讨论 f(x)的单调性; a (2)若 =400,求 f(x)在(0,+∞)内的极值. r 21.解:(1)由题意知 x≠-r,所求的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞). ax ax f(x)= = , (x+r)2 x2+2rx+r2 a(x2+2rx+r2)-ax(2x+2r) a(r-x)(x+r) f′(x)= = . (x2+2rx+r2)2 (x+r)4 所以当 x<-r 或 x>r 时,f′(x)<0;当-r<x<r 时,f′(x)>0. 因此,f(x)的单调递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);f(x)的单调递增区间为(-r,r). (2)由(1)知 f′(r)=0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+∞)上单调递减.因此,x=r 是 f(x)

的极大值点,无极小值点.所以 f(x)在(0,+∞)内的极大值为 f(r)=

ar a 400 = = =100. (2r)2 4r 4



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