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2015年2月浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二数学(文)期末联考试题及参考答案



杭州地区重点中学 2014-2015 学年高二上学期期末联考 文科数学试题
考生须知: 1.本卷满分 120 分,考试时间 100 分钟; 2.答题前,在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名;座位号写在指定位置; 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题卷。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,每小题给出的四

个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.半径为 2cm 的球的体积是( ▲ ) 3 3 3 3 A. 8? cm B. 16? cm C. 32 ? cm D. 64 ? cm
3

2.直线 x=-

? 的倾斜角和斜率分别是( ▲ ) 4

3

3

3

A.45°,1 B.135°,-1 C.90°,不存在 D.180°,不存在 3.已知实数 a , b ,则 a ? b ? 0 是 a ? 0 且 b ? 0 的( ▲ )条件 A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分也不必要 4.设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( ▲ ) A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ? 5.六个棱长为 1 的正方体 在桌面上堆叠成一个几何体,该几何体的正视图与俯视图如下图所示,则 其左视图不可能为( ▲ )

正视图 A. B.

俯视图 C. D.

6.若直线 y ? kx ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M,N 两点,且 M,N 关于直线 x ? y ? 0 对称, 则 k ? 2 m 的值是( ▲ ) A. ?1 B.0 C. 1 D. 3

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y 2 x2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 共顶点,且焦距是 6,此双曲线的渐近线是( ▲ ) 与椭圆 a 2 b2 4 5 5 5 3 5 2 5 A. y ? ? B. y ? ? C. y ? ? D. y ? ? x x x x 3 2 5 5 E 8.已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F 1 、 F2 ,过 F 1 且斜率为 2 的直线交椭圆
7.已知双曲线

E 的离心率为( ▲ ) 于 P 、 Q 两点,若△ PF 1F 2 为直角三角形,则椭圆
A. 5 3 2 B. 3 C. 2 3 1 D. 3

AB 所成角均为 60 ,?BAC ? 90 , 9.三棱柱 ABC ? A 1 与 AC 、 1B 1C1 中,AA
且 AB ? AC ? AA1 ,则 A 1B 与 AC1 所成角的余弦值为( ▲ ) A.1 B.-1 C.

3 3

D.-

3 3

10.已知 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 是边长为 1 的正方体,P 为线段 AB 1 上的动点,Q 为底面 ABCD 上的动点,则

PC1 ? PQ 最小值为( ▲ )
A. 1 ?

2 2

B. 3

C.2

D.

1? 5 2

二.填空题(共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.在空 间直角坐标系中, A1 是点 A(?4,3,1) 关于 y 轴的对称点,则 AA1 = ___▲___. 12.两平行直线 kx ? 6 y ? 2 ? 0 与 4 x ? 2 y ? 2 ? 0 之间的距离为___▲___. 13.设抛物线 y 2 ? 2 x 的准线为 l , P 为抛物线上的动点,定点 A(2,3) ,则 AP 与点 P 到准线 l 的距 离之和的最小值为___▲___. 14. 某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为___▲__ _. 1 2 1 1

2

1

主视图

侧视图

俯视图

15. 如图四边形 ABCD是边长为 1 的正方形, MD ? 平面 ABCD, NB ? 平面 ABCD,且 MD ? NB ? 1 , G 为 MC 中点,则下列结论中正确的是___▲___. ① MC ? AN ; ② GB //平面 AMN ; ③平面 CMN ? 平面 AMN ; ④平面 DCM //平面 ABN .
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16.已知 F1 , F2 分别是双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 的左右焦点,A 是双曲线在第一象限内的点,若 AF2 ? 4 且 b2 ?F1 AF2 ? 60 ,延长 AF2 交双曲线右支于点 B,则 ?F1 AB 的 面积等于___▲___.

17.已知动点 P( x, y) 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上,若 A 点的坐标为(6,0), AM ? 1 ,且 PM ? AM ? 0 , 100 64

则 PM 的最小值为___▲___. 三、解答题:(共 4 小题,共 52 分,解题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 18.(本题满分 12 分)

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆; m ? 2 10 ? 3m x2 y2 ? ? 1 表示双曲线; 已知命题 q : 方程 5 ? 2m m 若 p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 m 的取值范围。
已知命题 p : 方程

19. (本题满分 12 分) 已知圆 M 经过 A(1,?2) , B(?1,0) 两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为 2. (1)求圆 M 的方程; (2)过点 P (4,3)的直线 l 被圆 M 所截得的弦长为 2,求直线 l 的方程。

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20. (本题满分 14 分) 如 图 , 矩 形 A B C D所 在 的 半 平 面 和 直 角 梯 形 C D E F 所 在 的 半 平 面 成 60o 的 二 面 角 , DE ∥ CF , CD ? DE , AD ? 2 ,

EF ? 2 2 , CF ? 5 , ?CFE ? 45o .
(Ⅰ)求证: BF ∥平面 ADE ; (Ⅱ)求直线 AF 与平面 CDEF 所成角的正切值.

21. (本题满分 14 分) 已知抛物线 E 的顶点在原点,焦点为 F(2,0) ,过焦点且斜率为 k 的直线交抛物线于 P, Q 两点, (1)求抛物线方程; (2)若 FP ? 2 FQ ,求 k 的值; (3)过点 T ? t ,0 ? 作两条互相垂直的直线分别交抛物线 E 于 A, B, C , D 四点,且 M , N 分别为线段

AB, CD 的中点,求 ?TMN 的面积最小值.

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2014 学年第一学期期末杭州地区重点中学 高二年级数学文科参考答案
一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 C 5 D 6 A 7 B 8 A 9 C 10 A

二、填空题(共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 2 17 12.

15.1、2、4 三、解答题(本大题共 4 小题,共 52 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 12 分) 由题意知:命题 p 与命题 q 一真一假----------2 分

4 5 15 16. 24 3

3 5 2 17. 15
13.

14.

7? 3

? m?2?0 ? p 为真命题: ? 10 ? 3m ? 0 得 2 ? m ? 3 ----------4 分 ?10 ? 3m ? m ? 2 ?
q 为真命题: (5 ? 2m)m ? 0 得 m ? 0或m ?
p 真 q 假,则 2 ? m ?

5 ----------6 分 2

5 ;----------8 分 2 p 假 q 真: m ? 0或m ? 3 ----------10 分 5 综上: m ? 0或2 ? m ? 或m ? 3 ----------12 分 2
19. (本题满分 12 分) (1)设圆 M 的的方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 根据圆 M 过 A(1,-2) ,B(-1,0)得:1+4+D-2E+F=0① 1-D+F=0 ②----- -----2 分
2 2 2 令 x ? 0 ,得 y ? Ey ? F ? 0 ,所以 y1 ? y 2 ? ? E

令 y ? 0 ,得 x ? Dx ? F ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? ? D
2

所以 ? D ? E ? 2 ③----------4 分 由①②③得 D ? ?2, E ? 0, F ? ?3,
2 2 2 2

所以圆 M 的的方程 x ? y ? 2x ? 3 ? 0 ----------6 分 (2)圆 M 的标准方程为: ( x ? 1) ? y ? 4 所以圆心 M(1,0) ,半径 r ? 2 ----------8 分 设直线 l 的方程为: y ? 3 ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 3 ? 4k ? 0 直线 l 被圆 M 截得的弦长为 2,则圆心 M 到直线 l 距离 d ? 3

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所以

? 3 1? k 2 3? 5 解得: k ? , 2

k ? 3 ? 4k

----------10 分

所以直线 l 的方程为 y ? 3 ?

3? 5 ( x ? 4) ----------12 分 2

20. (本题满分 14 分) (Ⅰ)因为 BC ∥ AD , BC ? 平面 ADE ,所以 BC ∥平面 ADE , 同理 CF ∥平面 ADE , 又因为 BC I CF ? C , 所以平面 BCF ∥平面 ADE ,……………………2 分 而 BF ? 平面 BCF , 所以 BF ∥平面 ADE . ……………………4 分

CD ? DE ? ? (Ⅱ)? CD ? AD ? ? CD ? 面ADE , AD ? DE ? D ? ?
又? CD ? 面CDEF , 所以 面ADE ? 面CDEF …………………………………7 分 因为 CD ? AD , CD ? DE , 所以 ? ADE 就是二 面角 A ? CD ? F 的平面角,为 60 , ……………9 分 因为 平面 CDEF ? 平面 ADE , 作 AO ? DE 于 O ,则 AO ? 平面CDEF ,连接 OF , 所以 ?AFO 就是直线 AF 与平面 CDEF 所成角 ? ……………11 分
o

在 RT ?AOD 中,可算出 AO ? 3 在直角梯形 CDEF ,可算出 OF ? 2 ? 4 ? 20
2 2

AO 15 ? OF 10 所以直线 AF 与平面 CDEF 所成角的正切值 15 为 ……………………14 分 10
所以 tan? ? 21. (本题满分 14 分) (1) y ? 8x ……………3 分
2

(2) 如图, 若 k ? 0 不妨设 QF= m , 则 PF=2 m 在 RT ?PQM 中,PM= m ,PQ=3 m , 得 QM= 2 2 m ,……………5 分

k ? tan QPM ? 2 2 ,
同理 k ? 0 时, k ? ?2 2 所以 k ? ?2 2 ……………8 分 (其他方法酌情给分) (3)根据题意得 AB, CD 斜率存在
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故设 AB : x ? my ? t , CD : x ? ?

1 y?t , m A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? , D ? x4 , y4 ?

由?

? x ? my ? t
2

? y ? 8x y ? y2 x ?x ? 4m ? 1 2 ? 4m 2 ? t ? M ? 4m 2 ? t , 4m ? ∴ 1 2 2 4? ? 4 同理可得 N ? 2 ? t , ? ? ……………12 分 m? ?m
所以 TN ?

? y 2 ? 8my ? 8t ? 0 ……………10 分

16 16 4 ? 2 ? 2 m2 ? 1 , 4 m m m

TM ? 16m4 ? 16m2 ? 4 m m2 ? 1
∴ S ?TMN ?

? 1 1 ? TM TN ? 8 ? m ? ? ? 16 ? 2 m? ? ? 当且仅当 m ? 1 时,面积取到最小值 16.

……………14 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

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