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动量



1.甲、乙两小孩各乘一辆小车在水平冰面上游戏,甲和他的小车总质量为 M=30 kg, 乙和他的小车总质量也是 30 kg。游戏时,甲推着一个质量 m=15 kg 的箱子和他一起以

v0 ? 2.0m / s 的速度滑行,乙以同样大小的速度迎面滑来,为了避免相撞,甲突然将箱子沿
冰面推给乙,箱子滑到乙处时,乙迅速把箱子接住。若不计冰面的摩擦力,求甲至

少要以多 大的速度(相对于地面)将箱子推出,才能避免与乙相撞? 2. 在光滑水平面上有质量分别为 M 和 m 的两物体 A 和 B, 它们沿同一直线运动而发生 非弹性正碰,碰前其速度分别为 V 和 v 。 (1)试根据动量守恒定律证明:当碰撞为完全非弹性碰撞时,系统损失的机械能最多。 (2)在完全非弹性碰撞的情况下,系统损失机械能的值为多少? 3.光滑水平面上有一辆长 L=1.0 m 的车 A,A 内有一可视为质点的木块 B,已知 A 和 B

05 的质量 mA ? mB ? m ,A 与 B 之间的动摩擦因数 ? ? 0. 。最初,A 静止,B 位于 A 的正中
央(如图所示)并以 v0 ? 5.m s 的速度向右运动,设 B 与 A 的碰撞都是弹性正碰,求: 0 / (1)B 与 A 最多能相碰几次? (2)B 最后相对于车停下来时,停于车内的何处? (3)由开始至 B 与 A 发生最后一次碰撞时,A 车的位移为多少?

4.光滑水平冰面与光滑倾斜冰面相连,如图所示,质量为 M 的大冰车静止在水平冰面 上,另一质量为 m 的小冰车以速度 v0 滑来,与大冰车正碰,碰后,小冰车恰好静止,大冰 车向右滑上倾斜冰面,上升的最大高度为 H。若将大小冰车的最初位置对调,使大冰车以速 度 v0 撞击小冰车,撞后小冰车沿斜面上升的 t 最大高度为 h。若两冰车的质量之比

M : m ? 3 :1 ,两次碰撞损失的机械能相同,求:

H ?? h

5.站在光滑冰面上的人,从高度 H= 1.8 m 处朝水平方向抛出一石头,石子在距抛出点 水平距离 l ? 9 m 处落到冰面上,假设人的质量为 M=70 kg,石头质量 m=1 kg,求人抛石头 时所做的功。

6.如图所示,质量为 M 的斜面小车,斜面倾角为 ? ,小车带着质量为 m 的木块以 一定速度向右作匀速运动,在运动过程中突然将木块释放,让其沿斜面下滑,当木块在斜面 上下滑的距离为 l 时,小车的速度恰好变为零,则小车原来运动的速度为多大?

7.如图所示,高 0.8 m 的水平台面上静止有一物体 A,A 与台面的 B 端相距 1 m,A 与 台面间的最大静摩擦力为 6 N。A 与台面间的动摩擦因数为 0.2,A 的质量为 2 kg。现某一水 平恒力对 A 作用有 10 N·的水平冲量, A 从 B 端台面飞出后作平抛运动, g ? 10 m / s 。 s 使 取
2

求 A 离开台面后前进的水平距离。

8.如图所示,长为 l 的细绳一端系于固定点 O,另一端系一质量为 m 的小球。将小球 从。点正下方丢处以一定初速度水平向右抛出,经一定时间绳被拉直,以后小球将以 O 为 支点在竖直平面内摆动。已知绳刚被拉直时,绳与竖直线成 60 角。求: (1)小球水平抛出时的初速度 v0 ; (2)在绳被拉直的瞬间,支点。受到的冲量 I 0 ; (3)小球摆到最低点时,绳所受到的拉力 T0 。
o

9.如图所示,在光滑水平面上置一质量为 M 的小车,一质量为 m 的小球用长为 l 的轻 绳悬挂于小车的 O 点上。现将小球从位置 A(绳伸直且处于水平位置)静止释放,求 (1)当小球运动到最低点 c 时,小车的速度。

(2)在小球由 A 点运动到 B 点(绳与竖直方向夹角为 60 )的过程中, 绳的拉力对小球是否 做功?若不做功,请说明理由;若做功,求出此功的数值。 (3)求小球通过 C 点后,能达到的最大高度(相对于 C 点)。

o

10.一质量为 M 的物体以动能 E 运动,由于内部弹簧的作用,此系统分裂成两块,其 质量分别为 ? M 和 (1 ? ? )M ,并分别沿物体最初运动方向两侧各成 ? 角的方向运动。已知 物体分裂前后均只有平动而无转动。求 (1)分裂后两块的运动速度; (2)为保证上述的 ? 值一定,则弹簧装置需提供的能量至少为多少?

11.从地面以速度 v 1 ,竖直向上抛出一皮球,皮球落地时速度大小为 v 2 ,若皮球运动 过程中所受空气阻力的大小与其速率成正比,试求皮球在空中运动的时间。 12.在一光滑水平地面上以初速度 v0 、仰角 ? 抛出一弹性小球,小球与地面碰撞,恢 复系数为 e。小球在此水平地面上经多次弹跳后停下来。求小球运动的总时间和总射程。 13.由喷泉中喷出的竖直水柱,把一个质量为 M 的塑料桶倒顶在空中,若水以恒定速 率 v0 从截面积为 S 的喷水口中喷出而射向空中,在冲击塑料桶底后以原速率竖直溅下,如 图所示,求此时桶底离地面的高度 h 等于多少?

14.质量均为 m 的质点 A 和 B,由长为 l 、不可伸长的轻绳相连,B 被限制在光滑水平 面上的光滑直槽中, 它可在槽内无摩擦地滑动。 开始时 A 静止在桌面上, 静止在槽内, B A、 B 连线与槽垂直且 A、B 相距为

l ,如图所示。如果 A 以速度 v 在桌面上沿平行于槽的方向 2

开始运动。求 (1)B 开始运动时速度的大小; (2)B 开始运动时,A 对绳的冲量; (3)B 开始运动时,槽对 B 的冲量。 15.三个质量分别为 3m、2m、m 的小球 A、B、C 由两根长度相等的细绳相连,如图 所示,且放置在光滑水平桌面上,三个小球正好位于一个正三角形的三个顶点,细绳也正好 拉直。现小球 A 以速度 v0 沿平行于 BC 的方向运动,求细绳刚拉紧时小球 c 的速度。

16.如图所示,在水龙头上用橡皮管接头连接一根玻璃管,玻璃管长为 L,内截面积为 S,下端弯成直角。当水不断地由管口均匀喷出时,玻璃管偏离竖直线的角度为 ? ,若玻璃 管的质量为 m,水的密度为 ? ,设橡皮管能自由地弯曲,且不考虑玻璃管下端弯曲部分的 长度,求水自管口喷出的速度。

17.一条均匀柔软的链条,长为 L,质量为 M,今将其两端悬挂于天花板上非常靠 近的两点。某刻(设为 t ? 0 时),其中的一端自悬点处突然断开而开始下落,试求此后天花板 对链条另一端的拉力 T 随时间 t 变化的关系。 18. 如图所示, 有三个小球 A、 C 用两根不可伸长的轻绳将 A 与 B 以及 B 与 C 相连, B、 然后置于光滑水平面上。 A_B 绳和 BC 绳完全拉直,?ABC ? 将

?
2

, 且系统处于静止状态。

现有第四个球 D 沿么 ABC 的平分线以速度 v0 与 B 发生完全非弹性碰撞,设碰撞时间极短, 碰后各球同时开始运动。已知四球质量之比为 mA : mB : mC : mD ? 1:1: 2 :1 。求: (1)B、D 球结合后开始共同运动时的速度; (2)碰撞过程中损失的能量占 D 球初动能的百分之几?

19.长为 2b 的轻绳,两端各系一个质量为优的小球,中央系一个质量为 M 的小球,三 球静止于光滑水平桌面上, 绳处于拉直状态。 今给小球 M 以一冲击, 使它获得水平速度 V, V 的方向与绳垂直,其俯视图如图所示。求绳两端的小球在发生互碰前瞬间绳中的张力。

20.边长为 10 cm 的正方形箱子水平放着,箱内无规则地放有 1 000 粒小钢珠,每粒钢 珠的质量均为 0.5 mg, 最初系统静止, 从某一时刻起箱子开始沿水平方向以恒定速度 10 m/s 运动,经过一段时间后,这些小钢珠的运动变得混乱,与气体分子运动类似,试求此时钢珠 作用于一面箱壁上的力。设所有碰撞均为弹性碰撞。

21.如图所示,有一圆筒,竖直放置,内壁光滑,并有一质量为 M 的贴壁圆盖能上下 移动。圆盖与底部之间有一质量为 m 的小球。某刻,当盖行至离底面高度为 h 时,小球与 盖发生弹性碰撞,碰后盖向上运动至最大高度又返回到原来的高度 h,再次与已经与底面作 弹性碰撞后又弹回来的小球相碰。以后便如此反复运动,问要完成这种反复运动,小球与圆 盖碰前的速度应为多少?

22.质量为 M 的雪橇上站着一条质量为 m 的狗,两者一道在水平雪地上运动,其速度 为 v0 。某刻,狗向雪橇的正后方跳下,随后又追赶并向前跳上雪橇,接着狗又反复地跳下、 跳上。设狗与雪橇始终沿一条直线运动,雪橇和雪地之间的摩擦不计,狗每次跳离雪橇时相 对雪橇的速度大小为 u,并且总以速度 v 追赶和跳上雪橇。求 (1)狗第 n 次跳离雪橇后,雪橇运动的速度为多少? (2)取 v0 ? 0 , M ? 80 kg , m ? 10 kg , v ? 8m / s ,u=3 m/s,则狗最多能跳上雪橇 几次?(可供使用的对数有。 23.如图所示,有两个等质量的小球 1、2,位于两端有固定墙的光滑水平滑槽 AB 的两 分点处,分别以 v1 和 v 2 ( v1 ? v2 )的速度沿同方向开始运动,设球与球、球与墙壁之间的碰 撞都是弹性的。求

: (1)如果两球之间的第二次碰撞是在滑槽中点迎面相碰,求

v1 之值; v2 v1 之值。 v2

(2)如果两球之间的第五次相碰是在滑槽中点迎面相碰,求

24. 图中正方形 ABCD 是水平放置的固定梁的横截面, 是水平的, AB 截面的边长都是 l 。 一根长为 2l 的柔软的轻细绳,一端固定在 A 点,另一端系一质量为 m 的小球。初始时,手 持小球,将绳拉直,绕过 B 点使小球处于 C 点。现给小球一竖直向下的初速度 v0 ,使小球

与 CB 边无接触地向下运动,当 v0 分别取下列两值时,小球将打到梁上的何处?
2 1. v0 ? 2(6 2 ? 3 3 ?1) gl 2 2. v0 ? 2(3 3 ?11) gl

设绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的。

25. 如图所示, 三个质量都是 m 的刚性小球 A、 C 位于光滑的水平桌面上(图中纸面), B、 A、B 之间,B、C 之间分别用刚性轻杆相连,杆与 A、B、C 的各连接处皆为“铰链式”的(不 能对小球产生垂直于杆方向的作用力)。已知杆 AB 与 Bc 的夹角为 ? ?? ,? ? ? / 2 。DE 为 固定在桌面上一块挡板,它与 AB 连线方向垂直。现令 A、B、C 一起以共同的速度 v 沿平行 于 AB 连线方向向 DE 运动,已知在 C 与挡板碰撞过程中 C 与挡板之间无摩擦力作用,求碰 撞时当 C 沿垂直于 DE 方向的速度由铆变为零这一极短时间内挡板对 C 的冲量的大小。

26. 有五个质量相同、 其大小可不计的小木块 1、 3、 5 等间距地依次放在倾角 ? ? 30 2、 4、

o

的斜面上,如图所示。斜面在木块 2 以上部分是光滑的,以下部分是粗糙的,5 个木块与斜 面之间的动摩擦因数和静摩擦因数都是 ? ,开始时用手扶着木块 1,其余各木块均静止在斜 面上。现在放手,使木块 1 自然下滑并与木块 2 发生碰撞,接着陆续发生其他碰撞。假设各 木块之间的碰撞都是完全非弹性的。求 ? 取何值时木块 4 能被撞而木块 5 不会被撞。

27. 现在讨论把宇宙飞船发射到太阳系外去的两种发射方案。 第一种方案是以足够大的 速度发射飞船, 使其直接逃逸出太阳系。 第二种方案是使飞船接近某一颗比地球更远离太阳 的行星并依靠它的帮助, 改变飞船的运动方向以达到逃逸出太阳系所必需的速度。 假定飞船 仅仅在太阳或行星的引力场中运动。 那么究竟是在太阳的引力场中运动还是在行星的引力场 中运动,这要由该点是哪一个场较强而定。 (1)按照第一种方案确定发射飞船所必需的相对于地球运动的最小速度讥和它的方向。 (2)假设飞船已按(a)中确定的方向发射,但具有另一个相对于地球的速度 vb 。求飞船穿 过火星轨道时的速度,亦即相对于此轨道的平行分量和垂直分量。当飞船穿过火星轨道时, 火星不在此交点附近。 (3)设飞船进入火星的引力场,试求从地球发射飞船使其逃逸出太阳系所需的最小速度。 提示:从结果(1)可以知道飞船在脱离火星引力场后逃逸出太阳系所需的最佳速度的大小和 方向(不必考虑在穿越火星轨道时火星的精确位置)。求这个最佳速度与飞船进入火星引力场 以前的速度分量,即你在(2)中确定的速度分量之间的关系。飞船的能量守恒情况又是怎样? (4)估算第二种方案比第一种方案所能节省能量的最大百分比。 注:设所有行星在同一平面内以同一方向绕着太阳在圆轨道上运转。 忽略空气阻力,地球的自转以及从地球引力场逸出所消耗的能量。 数据: 地球绕太阳旋转的速度为 30 km/s,地球到太阳与火星到太阳的距离之比为 2/3。

例1. 在同一直线上运动的两个物体 A 和 B 发生弹性正碰, 已知 A 的质量为 m1 , 的质量为 m2 , B 碰前 A、B 的速度分别为 v1 和 v 2 ,试求碰后 A 和 B 的速度。 例 2 光滑水平面上的一条直线上,排列着一系列可视为质点的、质量均为 m 的物体,分别 用 1,2,3,?标记如图,在 1 之前放着一个质量 M=4m 的物体 A,相邻物体间的距离均为 l ,最初所有物体均静止。现用一水平力 F 推 A,从而发生一系列完全非弹性碰撞。求: (1)当运动物体与第 4 号物体相碰前的瞬间,其速度为多大? (2)整个运动过程中,运动物体的最大速度是多少?

例 4 为模拟气缸中活塞压缩气体的热运动的机制,可将气缸中某一气体分子简化成质 量为 m,并在缸底与活塞之间频繁地来回弹跳的弹性小球,若活塞以恒定速度 v 移向缸底, 如图所示,设分子与活塞和缸底间的碰撞均为弹性碰撞,且分子所受重力可忽略不计,求 (1)开始时分子以速率 v0 ( v0 ?? v )与活塞正碰,求该分子与活塞经过 k 次碰撞后的速 率; (2)设开始时活塞与缸底相距为 l ,当活塞移至与缸底相距为 x 时,分子速率为 u ,求此 时分子对活塞的平均冲力; (3)当活塞位置移动时,分子速率也随之变化,求活塞位置 x 与分子速率 u 之间的关系; (4)活塞位置由 l 移至 x 的过程中,外力做功多少?

例 6 有一个半径为 R、质量为 M 的刚性均匀圆环,开始时静止在光滑水平桌面上,环 上有一小孔 P,桌面上另有一个质量为 m 的质点,可以自由穿过小孔。开始时质点以初速 度 v0 。 从小孔 P 射入, 如图所示。 质点与圆环内壁发生 N 次弹性碰撞后, 又从小孔 P 穿出。 设圆环内壁光滑,从质点射入小孔到从小孔穿出,圆环中心 O 到质点的连线相对于圆环刚 好转过 360 。求质点穿出小孔后圆环中心相对于桌面的速度。
o

例 7 如图所示,在水平桌面上放有长木板 C,C 上右端是固定挡板 P,在 C 上左端和中 点处各放有小物块 A 和 B,A、B 的尺寸及 P 的厚度皆可忽略不计,A、B 之间和 B、P 之间 的距离皆为 L 。设木板 C 与桌面之间无摩擦,A、C 之间和 B、C 之间的静摩擦系数和滑动摩 擦系数均为 ? 。A、B、C(连同挡板 P)的质量相同,开始时,B 和 C 静止,A 以某一初速度向 右运动,试问下列情况是否能发生?要求定量求出能发生这些情况时物块 A 的初速度剧。应 满足的条件,或者定量说明不能发生的理由: (1)物块 A 与 B 发生碰撞;(2)物块 A b B 发生碰撞(设为弹性碰撞)后,物块 B 与挡板 P 发生碰撞; (3)物块 B 与挡板 P 发生碰撞(设为弹性碰撞)后,物块 B 与 A 在木板 C 上再发生碰撞; (4)物块 A 从木板 C 上掉下来; (5)物块 B 从木板 C 上掉下来。

例 8.A、 两滑块被限制在一光滑的水平直导轨上发生对心碰撞, B 用频闪照相机在 t0 ? 0 ,

t1 ? ?t , t2 ? 2?t ,t3 ? 3?t 各时刻闪光四次,摄得如图所示的照片。照片中较低的四个箭
头是 A 的像,较高的两个箭头是 B 的像。已知在这四次闪光的瞬间,A、B 均在 0~80 cm 刻 度范围内,试根据照片中的坐标判断出两滑块发生碰撞的位置及时问,并说明判断的依据。

例 9 右图中 AB 部分为一光滑水平面,BC 部分是倾角为 ? ( 0 ? ? ? 90 )的光滑斜面
o o

( ? ? 90 时为竖直面)。一条伸直的长为 l 的均匀柔软细绳,绝大部分与 B 棱垂直地静止在
o

AB 面上,只是其右端有极小部分处在 BC 面上,于是细绳便开始沿 ABC 下滑。 (1)取 ? =90 ,试定性分析细绳能否一直贴着 ABC 下滑,直至绳的左端到达-B 棱?
o

(2)事实上,对于所给的角度范围( 0 ? ? ? 90 ),细绳左端到 B 棱尚有一定距离时,细
o o

绳便会出现脱离 ABC 约束(即不会全部紧贴 ABC)的现象。试求出该距离 x ? ?

例 10 有一个质量为 m、半径为 r 的实心小球,以速度伽靠近另一个质量为 M,半径为 R 的实心大球, 取大球中心为坐标原点,x 轴平行于 v0 方向, 小球的中心离 x 轴的距离为 b , 如图所示。 (1)设 M ?? m ,大球原处于静止,且两球间碰撞为弹性碰撞,试近似地求出小球与大 球相互作用后小球的速度; (2)假定 ? 粒子散射符合上述模型,试求:有一块厚度为 d、面积为 s 的金箔,受到速度 为矾的。粒子柬

沿垂直于金箔表面方向的轰击,如果把入射的。粒子和金原子核看 成是上述的小球和大球,垂直于粒子束的单位面积上单位时间内入 射的 a 粒子数为 J。 ,金箔单位体积内的金原子数为。,求在相对于 z 。 轴(即入射粒子束的速度方向)的夹角为护与护+△臼(△口很小,且目≠



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