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2014届高考数学二轮专题热点提升训练:函数、基本初等函数的图象与性质(1)


第一部分

17 个常考问题专项突破

常考问题 1

函数、基本初等函数的图象与性质

(建议用时:50 分钟) 1.(2013·北京卷)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是 ( 1 A.y= ).

x
2

B.y=e

-x

C.y=-x +1

D.y=lg |x|

1 -x 2 解析 y= 为奇函数;y=e 为非奇非偶函数;函数 y=-x +1 是偶函数 ,且在(0,+

x

∞)上递减. 答案 C 2.设函数 f(x)=?

? x,x≥0, ?
-x,x<0,

若 f(a)+f(-1)=2,则 a 等于 C.-1 D.±1

(

).

A.-3

B.±3

解析 依题意,得 f(a)=2-f(-1)=2- -(-1)=1.当 a≥0 时,有 =1;当 a<0 时,有 答案 D 3.函数 f(x)=log2|x|,g(x)=-x +2,则 f(x)·g(x)的图象只可能是
2

a=1,则 a

-a=1,a=-1.综上所述 ,a=±1.

(

).

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

解析 因为函数 f(x),g(x)都为偶函数,所以 f(x)·g(x)也为偶函数.所以图象关于 y 轴对称,排除 A,D.f(x)·g(x)=(-x +2)log2|x|,当 0<x<1 时,f(x)·g(x)<0,排除 B,选 C. 答案 C 4. (2013·天津卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0, +∞)上单调递增. 若 实数 a 满足 f(log2 a)+f(log1a)≤2f(1),则 a 的取值范围是(
2
[来源:Zxxk.Com]

2

).

A.[1,2]

? 1? B.?0, ? ? 2?
D.(0,2]

?1 ? C.? ,2? ?2 ?
解析 ∵f(x)在 R 上是偶函数,

? 1 ? ∴f?log a?=f(-log2a)=f(log2a), ? 2 ?
由题设,得 2f(log2a)≤2f(1),即 f(log2a)≤f(1), 又 f(x)在[0,+∞)上单调递增, 1 ∴|log2a|≤1,解之得 ≤a≤2. 2 答案 C 5.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足以下三个条件:①对于任意的 x∈R,都有 f(x+4) =f(x);②对于任意的 x1,x2∈R,且 0≤x1<x2≤2,都有 f(x1)<f(x2);③函数 y=f(x +2)的图象关于 y 轴对称.则下列结论中正确的是 A.f(4.5)<f(7)<f(6.5) B.f(7)<f(4.5)<f(6.5) C.f(7)<f(6.5)<f(4.5) D.f(4.5)<f(6.5)<f(7) 解析 由已知得 f(x)是以 4 为周期且关于直线 x=2 对称的函数.∴f(4.5)= ( ).

f ?4+ ?=f ? ?,f(7)=f(4+3)=f(3)=f(1), ? 2? ?2? f(6.5)=f ?4+ ?=f ? ?=f ? ?. ? 2? ?2? ?2?

?

1?

?1?

?

5?

?5?

?3?

?3? ?1? 又 f(x)在[0,2 ]上为增函数.所以 f ? ?>f(1)>f ? ?,故有 f(4.5)<f(7)<f(6.5). ?2? ?2?
答案 A 6. 已知 f(x)=ln(1+x)的定义域为集合 M, g(x)=2 +1 的值域为集合 N, 则 M∩N=________.
x

解析 由对数与指数函数的知识,得 M=(-1,+∞),N=(1,+∞),故 M∩N=(1,+ ∞). 答案 (1,+∞) 7.(2013·济南模拟)已知函数 f(x)=x +x,对任意的 m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范围是________. 解析 f′(x)=3x +1>0,∴f(x)在 R 上为增函数. 又 f(x)为奇函数,由 f(mx-2)+f(x)<0 知,f(mx-2)<f(-x). ∴mx-2<-x,即 mx+x-2<0, 令 g(m)=mx+x-2,由 m∈[-2,2]知 g(m)<0 恒成立, 可得?
?g(-2)=-x-2<0, ? ?g(2)=3x-2<0, ?
[来源:Zxxk.Com]

3

2

2 ∴-2<x< . 3

2? ? 答案 ?-2, ? 3

?

?

8.已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,对? x∈R 都 有 f(x+4)=f(x)+f(2)成立.当 x1,

f(x1)-f(x2) x2∈[0,2],且 x1≠x2 时,都有 <0,给出下列命题: x1-x2
①f(2)=0; ②直线 x=-4 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[-4,4]上有四个零点; ④f(2 014)=0. 其中所有正确命题的序号为________. 解析 令 x=-2,得 f(-2+4)=f(-2)+f(2),解得 f(-2)=0,因为 函数 f(x)为偶 函数, 所以 f(2)=0, ①正确; 因为 f(-4+x)=f(-4+x+4)=f(x), f(-4-x)=f(- 4-x+4)=f(-x)=f(x),所以 f(-4+x)=f(-4-x),即 x=-4 是函数 f(x)的一条 对称轴,②正确;当 x1,x2∈[0,2],且 x1≠x2 时,都有

f(x1)-f(x2) <0,说明函数 x1-x2

f(x)在[0,2]上是单调递减函数,又 f(2)=0,因此函数 f(x)在[0,2]上只有一个零点,
由偶函数知函数 f(x)在[-2,0]上也只有一个零点,由 f(x+4)=f(x),知函数的周期 为 4,所以函数 f(x)在(2,6]与[-6,-2)上也单调且有 f(6)=f(-6)=0,因此,函 数在[-4,4]上只有 2 个零点,③错;对于④,因为函数的周期为 4,即有 f(2)=f(6) =f(10)=…=f(2 014)=0,④正确. 答案 ①②④

9.已知函数 f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数 y=g(x)的图象上任意一点 P 关于原点对称的 点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x)的图象. (1)写出函数 g(x)的解析式; (2)当 x∈[0,1)时总有 f(x)+g (x)≥m 成立,求 m 的取值范围. 解 (1)设 P(x,y)为 g(x)图象上任意一点,则 Q(-x,-y)是点 P 关于原点的对称点, 因为 Q(-x,-y)在 f(x)的图象上,所以-y=loga(-x+1), 即 y=-loga(1-x)(x<1). 所以 g(x)=-loga(1-x)(x<1). (2)f(x)+g(x)≥m, 1+x 即 loga ≥m. 1-x 1+x 设 F(x)=loga ,x∈[0,1). 1-x 由题意知,只要 F(x)min≥m 即可. 因为 F(x)在[0,1)上是增函数,所以 F(x)min=F(0)=0. 故 m 的取值范围是(-∞,0]. 10.已知二次函数 f(x)=ax +bx+1(a>0),F(x)=? 任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立. (1)求 F(x)的表达式; (2)当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求 k 的取值范围. 解 (1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0, ∴b=a+1, ∴f(x)=ax +(a+1)x+1. ∵f(x)≥0 恒成立, ∴?
? ?a>0, ?Δ =(a+1) -4a≤0, ? ? ?a>0, ?(a-1) ≤0. ?
2 2 2 2

?f(x),x>0, ?

? ?-f(x),x<0.

若 f(-1)=0,且对

即?

∴a=1,从而 b=2, ∴f(x)=x +2x +1,
2

?x +2x+1 (x>0), ? ∴F(x)=? 2 ? ?-x -2x-1 (x<0).

2

(2)由(1)知,g(x)=x +2x+1-kx=x +(2-k)x+1. ∵g(x)在[-2,2]上是单调函数, ∴
[来源:学科网]

2

2

k-2
2

≤-2 或

k-2
2

≥2,

解得 k≤-2 或 k≥6. 所以 k 的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞). 11.已知函数 f(x )=e -e (x∈R 且 e 为自然对数的底数). (1)判断函数 f(x)的奇偶性与单调性; (2)是否存在实数 t, 使不等式 f(x-t)+f(x -t )≥0 对一切 x 都成立?若存在, 求出 t; 若不存在,请说明理由.
2 2

x

-x

x x ?1? ?1? x x 解 (1)∵f(x)=e -? ? ,且 y=e 是增函数,y=-? ? 是增函数,所以 f(x)是增函 ?e? ?e?
数.由于 f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=e -e =-f(x),所以 f(x)是奇函数. (2)由(1)知 f(x)是增函数和奇函数, 所以 f(x-t)+f(x -t )≥0 对一切 x∈R 恒成立 ?f(x -t )≥f(t-x)对一切 x∈R 恒成立 ?x -t ≥t-x 对一切 x∈R 恒成立 ?t +t≤x +x 对一切 x∈R 恒成立 2 2 ? 1? ? 1? ??t+ ? ≤?x+ ? min 对一切 x∈R 恒成立 ? 2? ? 2? 2 1 ? 1? ??t+ ? ≤0?t=- . 2 ? 2? 1 2 2 即存在实数 t=- ,使不等式 f(x- t)+f(x -t )≥0 对一切 x 都成立. 2 备课札记:
2 2 2 2 2 2 2 2 -x

x


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