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汕头市金山中学2013届高三上学期期中考试(文数)



汕头市金山中学 2013 届高三上学期期中考试 文科数学
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知 a , b 为非零实数,且 a ? b ,则下列命题成立

的是 ( A. a 2 ? b 2 B. a 2b ? ab2 C.

) D. )

2.已知集合 A ? x y ? lg(4 ? x ) , B ? y y ? 1 ,则 A ? B ? (
2

?

?

1 1 ? 2 2 ab ab

b a ? a b

?

?

A. {x ? 2 ? x ? 1} B. {x 1 ? x ? 2} C. {x x ? 2}D. {x ? 2 ? x ? 1或x ? 2} 3.设 x ? R , 那么“ x ? 0 ”是“ x ? 3 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

4.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 表示的平面区域面积是( ?

?x ? y ? 0 ? x ?1 ?

) .

A. 3

B. 6 )

C.

9 2

D. 9

5.下列命题中正确的是( A. y ? x ?

1 的最小值是 2 x
4 ? x ? 0 ? 的最大值是 2 ? 4 x

B. y ?

x2 ? 3 x2 ? 2

的最小值是 2

C. y ? 2 ? 3x ? 6.函数 y ?

3

D. y ? 2 ? 3x ? )A. 1

4 ? x ? 0 ? 的最小值是 2 ? 4 3 x

x ? 1 ? x ?1 的最小值是 (
?0.2 0.7

B. 2

C.2

D.0

7.已知 a ? 1.5 A. c ? a ? b 8.函数 y ? e

2 1 , b ? 1.3 , c ? ( ) 3 ,则 a, b, c 的大小为 ( 3
B. c ? b ? a C. a ? b ? c )

)

D. a ? c ? b

ln x

? x ? 1 的图象大致是(

9. 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 得 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有

5 xf ( x? 1) ? (1? x ) f (x ,则 f ( ) =( ) 2 1 5 A.0 B. C.1 D. 2 2
A. 3 V B.
3



10.设底面为正三角形的直棱柱体积为 V,那么表面积最小时,底面边长为 (

)

2V

C.

3

4V

D. 2 3 V

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11. 满足条件 {1,3} ? B ? {1,3,5} 的所有集合 B 的个数是______。 12.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = x ? 2 x (x≥0),若 f (3 ?a 2 ? f (2 a ,则 ) ) 实数 a 的取值范围是________. 13.若关于 x 的方程 ln x ? ax ? 0 只有一个实根,则实数 a ? 14.给出一列三个命题:
2

①函数 f ( x) ? x | x | ?bx ? c 为奇函数的充要条件是 c ? 0 ; ②若函数 f ( x) ? lg( x ? ax ? a) 的值域是 R,则 a ? ?4, 或a ? 0 ;
2

③若函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? 0 对称. 其中正确的命题序号是 . 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 12 分)已知集合 A ? ?x | | x ? a |? 2? , B ? ? x | (Ⅰ)若 a ? 1 ,求集合 A 、集合 B (Ⅱ)若 A ? B ? R ,求 a 的取值范围。
2 16 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax ? bx a? 0)满 足 1 ? f (? 1) ? 2, ( (

? ?

2x ? 6 ? ? 1? . x?2 ?

2 ? f (1) ? 5 ,求 f (?3) 的取值范围。
17. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 点 M ( x1 , f ( x1 )), N ( x2 , f ( x2 )) .

1 3 x ? x 2 ? 3x 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处取得极值,记 3

⑴求 x1 , x 2 的值; ⑵证明:线段 MN 与曲线 f ( x ) 存在异于 M 、 N 的公共点;

18. (本小题满分 14 分)某种商品的成本为 5 元/ 件,开始按 8 元/件销售,销售量为 50 件,为了获得最大利润,商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现:销售 价每上涨 1 元每天销售量就减少 10 件;而降价后,日销售量 Q(件)与实际销售价 x(元) 满足关系:

39(2x2 ? 29x ? 107) (5 ? x ? 7)
Q=

198 ? 6 x (7 ? x ? 8) x?5

(1)求总利润(利润=销售额-成本)y(元)与销售价 x(件)的函数关系式; (2)试问:当实际销售价为多少元时,总利润最大.

19. (本小题满分 14 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a, b 的值; (2)用定义证明 f (x) 在 ?? ?,???
2

b ? 2x 是奇函数. 2x ? a

上为减函数.
2

(3)若对于任意 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的范围.

20、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ⑴求 f ( x) 的解析式;

mx x ?n
2

(m, n ? R) 在 x ? 1 处取得极值 2 .

⑵设 A 是曲线 y ? f ( x) 上除原点 O 外的任意一点,过 OA 的中点且垂直于 x 轴的直线交曲线 于点 B ,试问:是否存在这样的点 A ,使得曲线在点 B 处的切线与 OA 平行?若存在,求出点

A 的坐标;若不存在,说明理由;
⑶设函数 g ( x) ? x 2 ? 2ax ? a ,若对于任意 x1 ? R ,总存在 x2 ?[?1,1] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,求 实数 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题(50 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 C 6 B 7 A 8 D 9 A 10 C

二、填空题(20 分) 11.4 12. (-3,1) 13.

1 e

14.①②

三、解答题(80 分) 15. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 | x ?1|? 2 ,得 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2 ,即 A ? (?1,3) 由 4分

2x ? 6 x?4 ?1? ? 0 ? x ? ?4 或 x ? ?2 x?2 x?2
9分

即 B ? (??, ?4) ? (?2, ??) (Ⅱ) A ? B ? R ? ?

?a ? 2 ? ?4 ? ?4 ? a ? ?2 , ?a ? 2 ? ?2
12 分

a 的取值范围是 ?4 ? a ? ?2
16. (本小题满分 12 分)

解:法一:设 f (?3) ? mf (?1) ? nf (1) ,则有 9a ? 3b ? m(a ? b) ? n(a ? b) ,即

?

m ? n ?9 m ? n ?3

? ? m??36 n

? f (?3) ? 6 f (?1) ? 3 f (1)

又? 1 ? f (?1) ? 2 , 2 ? f (1) ? 5 , ?1 2 ? f (? 3 )? 2 7 法二:线性规划 由已知得 ?

?1 ? a ? b ? 2 (*) 分) (1 ?2 ? a ? b ? 5

f (?3) ? 9a ? 3b (2 分)

(*)如图阴影所示直线 平行移动 9a ? 3b ? 0 ,可知 f (?3) 随截距变大而变大,故 f (?3) 过 A 点时取最小值,

过 B 点时取最大值。 分) (8 由 A: ?

?a ? b ? 1 3 1 ? A( , ) 此时 f (?3) =2(9 分) 2 2 ?a ? b ? 2 ?a ? b ? 2 7 3 ? B( , ) 此时 f (?3) =27(11 分) 2 2 ?a ? b ? 5

由B:?

故 2 ? f (?3) ? 27 (12 分) 17 .( 本 小 题 满 分 12 分 ) 解 法 一 : ∵ f ?( x) ? x 2 ? 2 x ? a , 依 题 意 ,

f ?(1) ? 12 ? 2 ? a ? a ? 1 ? ?4
∴ a ? ?3 , 分) f ( x) ? (2
2

1 3 x ? x 2 ? 3x 3

由 f ?( x) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 (3 分) 令 f ?( x) ? 0, x ? 3或x ? ?1 , f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,

f ?( x) ? 0,?1 ? x ? 3 ,单调减区间为 (?1,3) (5 分)
所以函数 f ( x ) 在 x1 ? ?1.x2 ? 3 处取得极值。 故 M (?1, ).N (3, ?9) (7 分) 所以直线 MN 的方程为 y ? ?

5 3

8 x ?1 3

(8 分)

1 3 ? 2 ? y ? 3 x ? x ? 3x ? 3 2 由? 得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0 (9 分) ? y ? ? 8 x ?1 ? 3 ?
令 F ( x) ? x ? 3x ? x ? 3 ,易得 F (0) ? 3 ? 0, F (2) ? ?3 ? 0 , (11 分)
3 2

而 F ( x) 的图像在 (0, 2) 内是一条连续不断的曲线,故 F ( x) 在 (0, 2) 内存在零点 x0 ,这表明 线段 MN 与曲线 f ( x ) 有异于 M , N 的公共点。 (12 分) 解法二:同解法一,可得直线 MN 的方程为 y ? ?

8 x ?1 3

(8 分)

1 ? y ? x3 ? x 2 ? 3x ? ? 3 3 2 由? 得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0 8 ? y ? ? x ?1 ? 3 ?

(9 分)

解得 x1 ? ?1, x2 ? 1.x3 ? 3

? x1 ? ?1 ? x2 ? 1 ? x3 ? 3 ? ? ?? 5 ? 11 ? ? y1 ? 3 , ? y2 ? ? 3 , ? y3 ? ?9 ? ?
11 ) 3

(11 分)

所以线段 MN 与曲线 f ( x ) 有异于 M , N 的公共点 (1, ?

。 (12 分)

18. (本小题满分 14 分)解: (1)依题意得:

39(2 x 2 ? 29 x ? 107)( x ? 5)...(5 ? x ? 7) 198 ? 6 x y ?{ ( x ? 5)....................(7 ? x ? 8) x ?5 ?50 ? 10( x ? 8)? ( x ? 5)...........( x ? 8)

39 ? (2 x3 ? 39 x 2 ? 252 x ? 535)...(5 ? x ? 7) ? { 6(33 ? x)..................................(7 ? x ? 8) ?10 x 2 ? 180 x ? 650.......................( x ? 8)

(5 分)

(2)由(1)得:当 5 ? x ? 7 时, y ? 39 ? (2 x3 ? 39 x2 ? 252 x ? 535)

y' ? 234( x2 ?13x ? 42) ? 234( x ? 6)( x ? 7)
当 5 ? x ? 6 时, y' ? 0 , y ? f ( x) 为增函数
' 当 6 ? x ? 7 时, y ? 0, y ? f ( x) 为减函数

? 当 x ? 6 时, f ( x)max ? f (16) ? 195
当 7 ? x ? 8 时, y ? 6(33 ? x) ? ?150,156? 当 x ? 8 时, y ? ?10( x ? 9) ? 160
2

(8 分) (10 分)

当 x ? 9 时, ymax ? 160 综上知:当 x ? 6 时,总利润最大, (13 分) 19. (本小题满分 14 分)解:

(12 分) 最大值为 195 (14 分)

(1)? f ( x)为R上的奇函数? f (0) ? 0, b ? 1. , 又 f (? x) ? ? f ( x) ,得 a ? 1 (2 分) (2)任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 (4 分) 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = 经检验 a ? 1, b ? 1 符合题意.(3 分)

1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 (1 ? 2 x1 )(2 x2 ? 1) ? (2 x1 ? 1)(1 ? 2 x2 ) ? ? 2x1 ? 1 2x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

2(2 x2 ? 2 x1 ) = x (2 1 ? 1)(2 x2 ? 1) (6 分)
? x1 ? x 2 ,? 2 x1 ? 2 x2 ? 0, 又 ? (2 x1 ? 1)( 2 x2 ? 1) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0,? f ( x)为R上的减函数 .
(8 分)

(3)? t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,

? f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k )
? f (x) 为奇函数, ? f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 ) (10 分)
? f (x) 为减函数, ? t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 . (11 分)
即 k ? 3t 2 ? 2t 恒成立,而 3t 2 ? 2t ? 3(t ? ) 2 ?

1 3

1 1 ?? . 3 3 (13 分)

1 ? k ? ? . (14 分) 3
m( x ? n ) ? mx ? 2 x
2

20. (本小题满分 14 分)解:⑴∵ f ( x) ?

mx x ?n
2

,∴ f ?( x) ?

( x ? n)
2

2

?

mn ? mx ( x ? n)
2

2

2

.又

f ( x) 在 x ? 1 处取得极值 2 .

? m ( n ?1) ? 0 4x ? ? f ?(1) ? 0 2 ∴? ,即 ? (1? n ) ,解得 n ? 1 , m ? 4 ,经检验满足题意,∴ f ( x) ? 2 .……… m ?2 x ?1 ? f (1) ? 2 ?1? n ?
(4 分) ⑵由⑴知 f ?( x) ?
4 ? 4x
2 2 2

( x ? 1)

.假设存在满足条件的点 A ,且 A( x0 ,
2

4 x0
2 x0

?1

) ,则 kOA ?
2

4
2 x0

?1

,

又 f ?(

x0

x0 2 4 ? 4( 2 ) )? x 2 2 0 2 [( 2 ) ? 1]

?

16(4 ? x0 )
2 ( x0

? 4)

2

.则由 kOA ? f ?(

x0 2

) ,得

4
2 x0

?1

?

16(4 ? x0 )
2 ( x0

? 4)

2

4 2 ,∴ 5 x0 ? 4 x0 ,

2 ∵ x0 ? 0 ,∴ x0 ? ,得 x0 ? ?

4

2 5 5

5

.故存在满足条件的点 A ,此时点 A 的坐标为 ( ………… (8 分)

2 5 8 5 5

,

9

)或

(?

2 5 5

,?

8 5 9

).
?4( x ? 1)( x ? 1) ( x ? 1)
2 2

⑶解法 1 : f ?( x) ?

,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? 1 .

当 x 变化时, f ?( x) 、 f ( x) 的变化情况如下表:

x

(??, ?1)

?1

( ?1,1)

1

(1, ??)

f ?( x)
f ( x)

?
单调递减

0

?
单调递增

0

?
单调递减

极小值

极大值

∴ f ( x) 在 x ? ?1 处取得极小值 f (?1) ? ?2 ,在 x ? 1 处取得极大值 f (1) ? 2 . 又 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,∴ f ( x) 的最小值为 f (?1) ? ?2 . ∵对于任意的 x1 ? R ,总存在 x2 ?[?1,1] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,∴当 x ? [?1,1] 时, g ( x) 最小值 不大于 ?2 .又 g ( x) ? x2 ? 2ax ? a ? ( x ? a)2 ? a ? a2 . ∴当 a ? ?1 时, g ( x) 的最小值为 g (?1) ? 1 ? 3a ,由 1 ? 3a ? ?2 ,得 a ? ?1 ; 当 a ? 1 时, g ( x) 最小值为 g (1) ? 1 ? a ,由 1 ? a ? ?2 ,得 a ? 3 ; 当 ?1 ? a ? 1 时, g ( x) 的最小值为 g (a) ? a ? a 2 .由 a ? a 2 ? ?2 ,即 a 2 ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? ?1 或 a ? 2 .又 ?1 ? a ? 1 ,∴此时 a 不存在. 综上, a 的取值范围是 (??, ?1] ? [3, ??) . ………… (14 分)

解法 2 :同解法 1 得 f ( x) 的最小值为 ?2 . ∵对于任意的 x1 ? R ,总存在 x2 ?[?1,1] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,∴当 x ? [?1,1] 时, g ( x) ? ?2 有 解,即 x 2 ? 2ax ? a ? 2 ? 0 在 [ ?1,1] 上有解.设 h( x) ? x2 ? 2ax ? a ? 2 ,则

?? ? 4a 2 ? 4(a ? 2) ? 4(a ? 1)(a ? 2) ? 0 ? ??1 ? a ? 1 得a?? , ? ?h(?1) ? 3a ? 3 ? 0 ?h(1) ? ?a ? 3 ? 0 ?
或 h(?1)h(1) ? (3a ? 3)(?a ? 3) ? 0 ,得 a ? ?1 或 a ? 3 . ∴ a ? ?1 或 a ? 3 时 , x 2 ? 2ax ? a ? 2 ? 0 在 [ ?1,1] 上 有 解 , 故 a 的 取 值 范 围 是

(??, ?1] ? [3, ??) .
解法 3 :同解法 1 得 f ( x) 的最小值为 ?2 . ∵ 对 于 任 意 的 x1 ? R , 总 存 在 x2 ?[?1,1] , 使 得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) , ∴ 当 x ? [? 1 , 1 ] 时 , g ( x) ? x2 ? 2ax ? a ? ?2 有 解 , 即 (2 x ? 1)a ? x 2 ? 2 在 [ ?1,1] 上 有 解 . 令 2 x ? 1 ? t , 则

x2 ?

t ? 2t ? 1
2

4

,∴ at ?

t ? 2t ? 9
2

4

, t ? [?3,1] .
9 t 1 1 9 t 9 4

∴当 t ? [?3, 0) 时, a ? (t ? 2 ? ) ? ? [(?t ) ? (? )] ? ?1 ;当 t ? 0 时,得 0 ?
4 2 4

1

,不成立,∴

a 不存在;
当 t ? (0,1) 时, a ? (t ? 2 ? ) .令 ? (t ) ? t ? 2 ? , t ? (0,1] ,∵ t ? (0,1] 时, ? ?( x) ? 1 ?
4 t t 1 9 9 9 t
2

?0,

∴ ? (t ) 在 (0,1] 上为减函数,∴ ? (t ) ? ? (1) ? 12 ,∴ a ? ?12 ? 3 .
4

1

综上, a 的取值范围是 (??, ?1] ? [3, ??) .



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