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2014年高考题汇总(数列)



2014 年数列部分高考试题 D1 数列的概念与简单表示法 1. [2014· 江西卷] 已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足 anbn+1-an+ 1bn+2bn+1bn=0. an (1)令 cn=b ,求数列{cn}的通项公式; n (2)若 bn=3n-1,求数列{an}的前 n 项和 Sn. 2.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知数

列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn -1,其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ. (2)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 3.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. ? 1? (1)证明?an+2?是等比数列,并求{an}的通项公式; ? ? 1 1 1 3 (2)证明 + +…+ < . a1 a2 an 2
* 4.[2014· 重庆卷] 设 a1=1,an+1= a2 n-2an+2+b(n∈N ). (1)若 b=1,求 a2,a3 及数列{an}的通项公式. (2)若 b=-1,问:是否存在实数 c 使得 a2n<c<a2n+1 对所有 n∈N*成立?证明你的 结论.

D2 等差数列及等差数列前 n 项和 2.[2014· 北京卷] 若等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当 n=________时, {an}的前 n 项和最大. 4.[2014· 湖北卷] 已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在, 求 n 的最小值;若不存在,说明理由. 5.[2014· 湖南卷] 已知数列{an}满足 a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*. (1)若{an}是递增数列,且 a1,2a2,3a3 成等差数列,求 p 的值; 1 (2)若 p=2,且{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式. 6.[2014· 辽宁卷] 设等差数列{an}的公差为 d.若数列{2a1an}为递减数列,则( A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0 )

7.[2014· 全国卷] 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=10,a2 为整数,且 Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1

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8.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn -1,其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ. (2)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 9.[2014· 山东卷] 已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比 数列. (1)求数列{an}的通项公式; 4n (2)令 bn=(-1)n-1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1 10.[2014· 陕西卷] △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若 a,b,c 成等比数列,求 cos B 的最小值. 11.[2014· 天津卷] 设{an}是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1,S2,S4 成等比数列,则 a1 的值为________.
* 12.[2014· 重庆卷] 设 a1=1,an+1= a2 n-2an+2+b(n∈N ). (1)若 b=1,求 a2,a3 及数列{an}的通项公式. (2)若 b=-1,问:是否存在实数 c 使得 a2n<c<a2n+1 对所有 n∈N*成立?证明你的 结论.

D3 等比数列及等比数列前 n 项和 1.[2014· 重庆卷] 对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( ) A.a1,a3,a9 成等比数列 B.a2,a3,a6 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9,成等比数列 2.[2014· 安徽卷] 数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比 数列,则 q=________. 3. [2014· 广东卷] 若等比数列{an}的各项均为正数, 且 a10a11+a9a12=2e5, 则 ln a1+ln a2 +…+ln a20=________. 4.[2014· 全国卷] 等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前 8 项和等于( A.6 B.5 C.4 D.3 )

5.[2014· 湖北卷] 已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在, 求 n 的最小值;若不存在,说明理由. 6.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1.
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? 1? (1)证明?an+2?是等比数列,并求{an}的通项公式; ? ?

1 1 1 3 (2)证明a +a +…+a <2. 1 2 n 7.[2014· 山东卷] 已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比 数列. (1)求数列{an}的通项公式; 4n (2)令 bn=(-1)n-1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1 8.[2014· 陕西卷] △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若 a,b,c 成等比数列,求 cos B 的最小值. 9.[2014· 天津卷] 设{an}是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1, S2,S4 成等比数列,则 a1 的值为________. 10.[2014· 天津卷] 已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数.设集合 M={0,1,2,…, q-1}, 集合 A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}. (1)当 q=2,n=3 时,用列举法表示集合 A. (2)设 s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中 ai,bi∈M, i=1,2,…,n.证明:若 an<bn,则 s<t. D4 数列求和 1.[2014· 江西卷] 已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足 anbn+1-an +1bn+2bn+1bn=0. an (1)令 cn=b ,求数列{cn}的通项公式; n (2)若 bn=3n-1,求数列{an}的前 n 项和 Sn. 2.[2014· 全国卷] 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=10,a2 为整数,且 Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1 3.[2014· 山东卷] 已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比 数列. (1)求数列{an}的通项公式; 4n (2)令 bn=(-1)n-1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1 D5 单元综合 1.[2014· 湖南卷] 已知数列{an}满足 a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*. (1)若{an}是递增数列,且 a1,2a2,3a3 成等差数列,求 p 的值;
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1 (2)若 p=2,且{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式. 2.[2014· 安徽卷] 设实数 c>0,整数 p>1,n∈N*. (1)证明:当 x>-1 且 x≠0 时,(1+x)p>1+px; p-1 1 c -p 1 (2)数列{an}满足 a1>cp,an+1= p an+pa1 n ,证明:an>an+1>c . p 3.[2014· 湖北卷] 已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在, 求 n 的最小值;若不存在,说明理由. 4.[2014· 江西卷] 已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足 anbn+1-an +1bn+2bn+1bn=0. an (1)令 cn=b ,求数列{cn}的通项公式; n (2)若 bn=3n-1,求数列{an}的前 n 项和 Sn. 5.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. ? 1? (1)证明?an+2?是等比数列,并求{an}的通项公式; ? ? 1 1 1 3 (2)证明a +a +…+a <2. 1 2 n 6. [2014· 四川卷] 设等差数列{an}的公差为 d, 点(an, bn)在函数 f(x)=2x 的图像上(n∈N*). (1)若 a1=-2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图像上,求数列{an}的前 n 项和 Sn; 1 (2)若 a1=1,函数 f(x)的图像在点(a2,b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2-ln 2,求数 ?an? 列?b ?的前 n 项和 Tn. ? n? 7.[2014· 浙江卷] 已知数列{an}和{bn}满足 a1a2a3…an=( 2)bn(n∈N*).若{an}为等比数 列,且 a1=2,b3=6+b2. (1)求 an 与 bn. 1 1 (2)设 cn=a -b (n∈N*).记数列{cn}的前 n 项和为 Sn. n n (i)求 Sn; (ii)求正整数 k,使得对任意 n∈均有 Sk≥Sn.

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