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江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研(二)数学试题(WORD版)



2015-2016 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二) 数学Ⅰ试题 2016.5

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题——第 14 题) 、解答题(第 15 题——第 20 题) .本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后请将答题卡交回. 2.答题前,请

您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡 的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整笔迹清楚. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 参考公式:

1 圆锥的体积公式:V 圆锥= Sh ,其中 S 是圆锥的底面积,h 是高. 3 圆锥的侧面积公式:S 圆锥= p rl ,其中 r 是圆柱底面的半径, l 为母线长. 1 n 1 n 样本数据 x1 , x 2 ,… , x n 的方差 s 2 ? ? ( xi ? x) 2 ,其中 x = ? xi . n i ?1 n i ?1
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知全集 U ? ?1, 2 ,, 3 4, 5? , A ? ?1, 2? , B ? ?2 ,, 3 4? ,那么 A ? ??U B? ? 2.已知 (a ? i)2 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,那么实数 a ? . 开始 n←1 x←a n≤3 Y x ← 2x? 1 . n← n? 1
(第 7 题)



3.从某班抽取 5 名学生测量身高(单位:cm) ,得到的数据为 160,162, 159,160,159,则该组数据的方差 s 2 ? .

4.同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次,则至少有两枚硬币正面 向上的概率为
2 2



2 ,则该双曲线的虚轴长为 5.若双曲线 x ? my ? 1 过点 ? 2 ,

?

?

N 输出 x 结束



6.函数 f ( x) ?

ln ? 2 x ? x x ?1

2

? 的定义域为

7.某算法流程图如右图所示,该程序运行后,若输出的 x ? 15 ,则实数 a 等 于 .

8.若 tan ? ?

1 1 , tan(? ? ? ) ? ? ,则 tan( ? ? 2? ) ? 2 3
1



9. 若直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 始终有公共点, 则实数 m 的取值范围是



10.设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 V1 , S1 ,底面半径和高均为 r 的圆锥的体积和侧面 积分别为 V 2 , S2 ,若
V1 3 S = ,则 1 的值为 S2 V2 p
a

. .

11.已知函数 f ( x) ? x3 ? 2x ,若 f (1) ? f (log 1 3) ? 0( a ? 0 且 a ? 1 ) ,则实数 a 的取值范围是

12.设公差为 d ( d 为奇数,且 d ? 1 )的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 Sm ?1 ? ?9 , Sm ? 0 ,其 中 m ? 3 ,且 m ? N * ,则 an ? . .

13.已知函数 f ( x) ? x x2 ? a ,若存在 x ??1,2? ,使得 f ( x) ? 2 ,则实数 a 的取值范围是

, 0, ) B (0 , 1) , C (a , b) , D (c , d) , 若 不 等 式 14 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 设 点 A( 1

??? ?2 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? CD ≥ (m ? 2)OC ? OD ? m(OC ? OB) ? (OD ? OA) 对任意实数 a ,b ,c ,d 都成立,则实数 m 的最大
值 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、 ....... 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)
cos C ) , n ? (4a ? b ,c) , 在△ ABC 中, 角 A,B ,C 的对边分别是 a ,b ,c , 已知向量 m ? (cos B ,

且 m∥n . (1)求 cos C 的值; (2)若 c ? 3 ,△ ABC 的面积 S =
15 ,求 a ,b 的值. 4

2

16. (本小题满分 14 分) 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CA ? CB , AA1 ? 2 AB ,

B D C P A

D 是 AB 的中点.
(1)求证: BC1 ∥ 平面 A1CD ; (2)若点 P 在线段 BB1 上,且 BP ? 求证: AP ? 平面 A1CD .

1 BB1 , 4

C1

B1
(第 16 题)

A1

3

17. (本小题满分 14 分) 某经销商计划销售一款新型的空气净化器,经市场调研发现以下规律:当每台净化器的利润为 x (单位: 元,x ? 0 ) 时, 销售量 q( x)(单位: 百台) 与 x 的关系满足: 若 x 不超过 20 , 则 q ( x) ?

1260 ; x ?1

若 x 大于或等于 180 ,则销售量为零;当 20 ≤ x ≤ 180 时, q( x) ? a ? b x ( a , b 为实常数) . (1)求函数 q( x) 的表达式; (2)当 x 为多少时,总利润(单位:元)取得最大值,并求出该最大值.

4

18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左,右焦点分别是 F1 , F2 ,右 a 2 b2

顶点、上顶点分别为 A , B ,原点 O 到直线 AB 的距离等于 ab ﹒ (1)若椭圆 C 的离心率等于
6 ,求椭圆 C 的方程; 3

(2)若过点 (0,1) 的直线 l 与椭圆有且只有一个公共点 P ,且 P 在第二象限,直线 PF2 交 y 轴于点
Q ﹒试判断以 PQ 为直径的圆与点 F1 的位置关系,并说明理由﹒

5

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 3 ,且对任意的正整数 n ,都有 Sn?1 ? ? Sn ? 3n ?1 ,其中常数

? ? 0 .设 bn ?

an 3n

(n ? N? ) ﹒

(1)若 ? ? 3 ,求数列 {bn } 的通项公式; (2)若 ? ? 1 且 ? ? 3 ,设 cn ? an ?

2

? ?3

? 3n (n ? N? ) ,证明数列 {cn } 是等比数列;

(3)若对任意的正整数 n ,都有 bn ≤ 3 ,求实数 ? 的取值范围.

6

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a ? ex ? x2 ? bx( a ,b ? R , e ? 2.71828? 是自然对数的底数) ,其导函数为
y ? f ?( x) .

(1)设 a ? ?1 ,若函数 y ? f ( x) 在 R 上是单调减函数,求 b 的取值范围; (2)设 b ? 0 ,若函数 y ? f ( x) 在 R 上有且只有一个零点,求 a 的取值范围; (3)设 b ? 2 ,且 a ? 0 ,点 (m ,n) ( m , n ? R )是曲线 y ? f ( x) 上的一个定点,是否存在实 数 x0 ( x0 ? m ) ,使得 f ( x0 ) ? f ?(

x0 ? m )( x0 ? m) ? n 成立?证明你的结论. 2

7

2015-2016 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二) 数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.
2, 5} 1. {1, 10] 9. [0 ,

2. ?1 10.

3.

6 5

4.

1 2

5. 4

6. ? 0,1? ? ?1,2?

7. 1

8. ?

1 7

3 2 11. ? 0,1? ? ?3, ??? 12. 3n ? 12 13. (?1,5) 14. 5 ? 1 p 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 解: (1)∵ m ∥ n ,∴ c cos B ? (4a ? b)cos C , 由正弦定理,得 sin C cos B ? (4sin A ? sin B) cos C , 化简,得 sin( B ? C ) ? 4sin A cos C ﹒ ∵ A ? B ? C ? p ,∴ sin A ? sin( B ? C ) ﹒ 又∵ A ? ? 0, p ? ,∵ sin A ? 0 ,∴ cos C ? (2)∵ C ? ? 0, p ? , cos C ? ∵S ?

…………2 分

…………4 分

1 . 4

…………6 分

1 15 1 ? ,∴ sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? . 16 4 4

1 15 ab sin C ? ,∴ ab ? 2 ﹒① 2 4

…………9 分

1 ∵ c ? 3 ,由余弦定理得 3 ? a2 ? b2 ? ab , 2
∴ a 2 ? b2 ? 4 ,② …………12 分

由①②,得 a 4 ? 4a 2 ? 4 ? 0 ,从而 a 2 ? 2 , a ? ? 2 (舍负) ,所以 b ? 2 , ∴a?b? 2 . 16.证明: (1)连结 AC1 ,设交 A1C 于点 O ,连结 OD . ∵四边形 AA1C1C 是矩形,∴ O 是 AC1 的中点. 在△ ABC1 中, O , D 分别是 AC1 , AB 的中点, ∴ OD ∥ BC1 . 又∵ OD ? 平面 A1CD , BC1 ? 平面 A1CD , ∴ BC1 ∥ 平面 A1CD . (2)∵ CA ? CB , D 是 AB 的中点,∴ CD ? AB ﹒ …………6 分 …………4 分 …………2 分 …………14 分

8

又∵在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面 ABC ⊥侧面 AA1 B1 B ,交线为 AB ,
CD ? 平面 ABC ,∴ CD ? 平面 AA1 B1 B ﹒

…………8 分 …………9 分

∵ AP ? 平面 A1 B1 BA ,∴ CD ? AP . ∵ BB1 ? 2BA , BB1 ? AA1 , BP ? ∴
BP 2 AD ? = , BA 4 AA1

1 BB1 , 4

∴ Rt △ ABP ∽ Rt △ A1 AD ,

从而∠ AA1 D =∠ BAP ,所以∠ AA1 D +∠ A1 AP =∠ BAP +∠ A1 AP = 90 ? , ∴ AP ? A1 D . 又∵ CD ? A1 D ? D , CD ? 平面 A1CD , A1 D ? 平面 A1CD ∴ AP ? 平面 A1CD . …………14 分 …………12 分

?a ? b ? 20 ? 60 , ? ?a ? 90 , ? 17.解: (1)当 20 ≤ x ≤ 180 时,由 ? 得? ? ?b ? 3 5. ?a ? b ? 180 ? 0 , ?
? 1260 0 ? x ≤ 20, ? x ?1 , ? ? 故 q( x)=?90 ? 3 5 x , 20 ? x ≤180, ? 0, x ? 180 ? ? ?

…………2 分

…………4 分

(2)设总利润 f ( x) ? x ? q( x) ,
?126000 x 0 ? x ? 20, ? x ?1 , ? ? 由(1)得 f ( x)=?9000 x ? 300 5 ? x x , 20 ≤ x ≤180, ?0, x ? 180 ? ? ?

…………6 分

当 0 ? x ≤ 20 时, f ( x) ?

126000x 126000 20] 上单调递增, , f ( x) 在 [0 , ? 126000 ? x ?1 x ?1
…………8 分

所以当 x ? 20 时, f ( x) 有最大值 120000 .

当 20 ? x ≤ 180 时, f ( x)=9000x ? 300 5 ? x x , f ?( x)=9000 ? 450 5 ? x , 令 f ?( x)=0 ,得 x ? 80 . 当 20 ? x ? 80 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增, …………10 分

9

当 80 ? x ≤ 180 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 所以当 x ? 80 时, f ( x) 有最大值 240000 . 当 180 ? x 时, f ( x) ? 0 ﹒ 答:当 x 等于 80 元时,总利润取得最大值 240000 元. 18.解:由题意,得点 A(a,0) , B(0, b) ,直线 AB 的方程为 由题设,得
ab a ?b
2 2

…………12 分

…………14 分

x y ? ? 1 ,即 ax ? by ? ab ? 0 ﹒ a b
…………2 分

? ab ,化简,得 a 2 ? b2 ? 1 ﹒①

(1)∵ e ?

a 2 ? b2 2 c 6 ? ? ,即 a 2 ? 3b 2 ﹒② ,∴ a 3 a2 3
…………5 分

? 2 3 a ? , ? ? 4 由①②,解得 ? ﹒ ? b2 ? 1 ? ? 4

所以,椭圆 C 的方程为

4 x2 ? 4 y2 ? 1 ﹒ 3

…………6 分

(2)点 F1 在以 PQ 为直径的圆上﹒ 由题设,直线 l 与椭圆相切且 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为: y ? kx ? 1 ,
? x2 y 2 ?1 ? ? 由 ? a 2 b2 ,得 (b2 ? a2k 2 ) x2 ? 2ka2 x ? a2 ? a2b2 ? 0 , (*) ? y ? kx ? 1 ?

…………8 分

则 ?=(2ka2 )2 ? 4(b2 ? a2k 2 )(a2 ? a2b2 ) ? 0 , 化简,得 1 ? b2 ? a 2 k 2 ? 0 ,所以, k 2 ? ∵点 P 在第二象限,∴ k ? 1 ﹒ 把 k ? 1 代入方程(*) ,得 x 2 ? 2a 2 x ? a 4 ? 0 , …………11 分

1 ? b2 ?1 , a2
…………10 分

解得 x ? ? a 2 ,从而 y ? b 2 ,所以 P(?a2 , b2 ) ﹒ 从而直线 PF2 的方程为: y ? b2 ? 令 x ? 0 ,得 y ?

b2 ( x ? a2 ) , 2 ?a ? c
…………12 分 …………13 分

b2 c b2 c ,所以点 Q(0, 2 ) ﹒ 2 a ?c a +c

2 2 从而 F 1P=(?a ? c, b ) , F 1Q =(c,

????

????

b2c ), a 2 +c

???? ???? b4 c ? c(?a2 ? c) ? 2 从而 F1P ? FQ 1 a +c

10

(b2 ? a 2 )(b2 ? a 2 ) ? c 2 ? c(?a 4 ? c 2 +b4 ) c(?a 4 ? b4 ? c 2 ) c ? ? ? =0 , = ? ? 2 2 2 a +c a +c a +c

又∵ a 2 ? b2 ? 1 , a 2 =b 2 +c 2 , ???? ???? ∴ F1P ? FQ ?0﹒ 1 所以点 F1 在以 PQ 为直径的圆上﹒ 19.解:∵ Sn?1 ? ? Sn ? 3n ?1 , n ? N? , ∴当 n ≥ 2 时, Sn ? ? Sn-1 ? 3n , 从而 an?1 ? ? an ? 2 ? 3n , n ≥ 2 , n ? N? ﹒ 又在 Sn?1 ? ? Sn ? 3n ?1 中,令 n ? 1 ,可得 a2 ? ? a1 ? 2 ? 31 ,满足上式, 所以 an?1 ? ? an ? 2 ? 3n , n ? N? ﹒ (1)当 ? ? 3 时, an?1 ? 3an ? 2 ? 3n , n ? N? , 从而

…………15 分 …………16 分

…………2 分

an?1 an 2 2 ? n ? ,即 bn?1 ? bn ? , n ?1 3 3 3 3 2 的等差数列, 3
…………4 分

又 b1 ? 1 ,所以数列 {bn } 是首项为 1,公差为 所以 bn ?

2n ? 1 . 3

(2)当 ? ? 0 且 ? ? 3 且 ? ? 1 时,

cn ? an ?

2 2 ? 3n ? ? an?1 ? 2 ? 3n?1 ? ? 3n ? ?3 ? ?3 2

? ? an?1 ?
又 c1 ? 3 ?

? ?3

? 3n?1 (? ? 3 ? 3) ? ? (an?1 ?

2

? ?3

? 3n?1 ) ? ? ? cn?1 ,

…………7 分

6 3(? ? 1) ? ?0, ? ?3 ? ?3 3(? ? 1) 3(? ? 1) n?1 ,公比为 ? 的等比数列, cn ? ? ? ﹒…………8 分 ? ?3 ? ?3 3(? ? 1) n?1 ?? . ? ?3

所以 {cn } 是首项为

(3)在(2)中,若 ? ? 1 ,则 cn ? 0 也适合,所以当 ? ? 3 时, cn ?
?(2n ? 1) ? 3n ?1 , ? 从而由(1)和(2)可知 an ? ? 3(? ? 1) n ?1 2 ?? ? ? 3n , ? ? ?3 ? ? ?3

? ? 3, ? ? 3.
…………9 分

当 ? ? 3 时, bn ? 当 ? ? 3 时, bn ?

2n ? 1 ,显然不满足条件,故 ? ? 3 . 3

…………10 分

? ? 1 ? n?1 2 . ?( ) ? ? ?3 3 ? ?3
11

? ?1 ? 0 , bn ? bn ?1 , n ? N? , bn ?[1, ??) ,不符合,舍去. …………11 分 ? ?3 ? ?1 2 若 0 ? ? ? 1 时, ?0,? ? 0 , bn ? bn ?1 , n ? N? ,且 bn ? 0 . ? ?3 ? ?3
若 ? ? 3 时, 所以只须 b1 ?

a1 ? 1≤ 3 即可,显然成立.故 0 ? ? ? 1 符合条件; 3

…………12 分 …………13 分

若 ? ? 1 时, bn ? 1 ,满足条件.故 ? ? 1 符合条件; 若 1 ? ? ? 3 时,

? ?1 2 ?0,? ? 0 ,从而 bn ? bn ?1 , n ? N? , ? ?3 ? ?3
2 2 ) , 要使 bn ≤ 3 成立,只须 ? ≤ 3 即可. ? ?3 ? ?3
…………15 分 …………16 分

因为 b1 ? 1 ? 0 .故 bn ? [1, ?

7 于是 1 ? ? ≤ . 3 7 综上所述,所求实数 ? 的范围是 (0 , ] . 3
20.解: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ?ex ? x2 ? bx ,∴ f ?( x) ? ?e x ? 2 x ? b , 由题意 f ?( x) ? ?ex ? 2x ? b ≤ 0 对 x ? R 恒成立﹒ 由 ?e x ? 2 x ? b ≤ 0 ,得 b ≥ -e x ? 2 x , 令 F ( x) ? -e x ? 2 x ,则 F ?( x) ? -e x ? 2 ,令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 .

…………1 分

当 x ? ln 2 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 单调递增,当 x ? ln 2 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 单调递减, 从而当 x ? ln 2 时, F ( x) 有最大值 2ln2 ? 2 , 所以 b ≥ 2 ln 2 ? 2 . (2)当 b ? 0 时, f ( x) ? ae x ? x2 ,由题意 ae x ? x 2 ? 0 只有一解﹒ 由 ae x ? x 2 ? 0 ,得 ?a ? …………3 分

x2 x2 x(2 ? x) ,令 ,则 G?( x) ? , G ( x ) ? x x ex e e
…………5 分

令 G?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 . 当 x ≤ 0 时, G ?( x) ≤ 0 , G ( x) 单调递减, G ( x) 的取值范围为 ?0 , ? ?? ,

? 4? 当 0 ? x ? 2 时, G?( x) ? 0 , G ( x) 单调递增, G ( x) 的取值范围为 ? 0 ,2 ? , ? e ? ? 4? 当 x ≥ 2 时, G ?( x) ≤ 0 , G ( x) 单调递减, G ( x) 的取值范围为 ? 0 ,2 ? , ? e ?

由题意,得 ? a ? 0 或 ?a ? 所以当 a ? 0 或 a ? ?

4 4 ,从而 a ? 0 或 a ? ? 2 , 2 e e
…………8 分

4 时,函数 y ? f ( x) 只有一个零点. e2

12

(3) f ( x) ? aex ? x2 ? 2x , f ?( x) ? ae x ? 2 x ? 2 , 假设存在,则有 f ( x0 ) ? f ?( 即

x0 ? m x ?m )( x0 ? m) ? n ? f ?( 0 )( x0 ? m) ? f (m) , 2 2

x0 ? m x ?m x ?m f ( x0 ) ? f (m) x ?m ) ? ae 2 ? 2 ? 0 ?2, ? f ?( 0 ) ,∵ f ?( 0 2 2 x0 ? m 2

f ( x0 ) ? f (m) a(e x0 ? em ) ? ( x0 2 ? m2 ) ? 2( x0 ? m) a(e x0 ? em ) ? ? ? ( x0 ? m) ? 2 , x0 ? m x0 ? m x0 ? m

∴ ae

x0 ? m 2

?

a(e x0 ? em ) ﹒……(*)﹒ x0 ? m
x0 ? m 2

…………10 分

∵ a ? 0 ,∴ e

?

t ?m et ? m ? e m e x0 ? em ,不妨设 t ? x0 ? m ? 0 ,则 e 2 ? ﹒ t x0 ? m t
t et ? 1 ,即 te 2 ? et ? 1 , t

两边同除以 em ,得 e 2 ?

…………12 分

t t t t t t t 令 g (t ) ? et ? te 2 ? 1 ,则 g ?(t ) ? et ? (e 2 ? e 2 ) ? e 2 (e 2 ? ? 1) , 2 2

令 h (t ) ? e 2 ?

t

t 1 t 1 1 t ? 1 ,则 h?(t ) ? e 2 ? ? (e 2 ? 1) ? 0 , 2 2 2 2

? ? ) 上单调递增, ∴ h (t ) 在 (0 , ? ?) 恒成立, 又∵ h(0) ? 0 ,∴ h(t ) ? 0 对 t ? (0 , ? ?) 恒成立, 即 g ?(t ) ? 0 对 t ? (0 , ? ? ) 上单调递增,又 g (0) ? 0 , ∴ g (t ) 在 (0 , ? ?) 恒成立,即(*)式不成立, ∴ g (t ) ? 0 对 t ? (0 ,

…………14 分

…………15 分 …………16 分

∴不存在实数 x0 ( x0 ? m ) ,使得 f ( x0 ) ? f ?(

x0 ? m )( x0 ? m) ? n 成立. 2

13



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