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高中奥林匹克物理竞赛解题方法之五极限法



高中奥林匹克物理竞赛解题方法之五极限法 Page1
例 1:如图 5—1 所示, 一个质量为 m 的小球位于一质量可忽略的直立弹簧上方 h 高度处,该小球从静止开始落向弹簧,设 弹簧的劲度系数为 k,则物块可能获得的最大动能为 。

解析:球跟弹簧接触后,先做变加速运动,后做变减速运动,据此推理,小球所受合力为零的位置速度、动能 最大。所以速最大时有

mg=kx 由机械能守恒有 ①

mg (h ? x) ? E k ?
Ek ? m g h ?

1 2 kx 2



联立①②式解得

1 m2 g 2 ? 2 k

例 2:如图 5—2 所示,倾角为 ? 的斜面上方有一点 O,在 O 点放一至斜面的光滑直轨道,要求一质点从 O 点 沿直轨道到达斜面 P 点的时间最短。求该直轨道与竖直方向的夹角

?。

解析:质点沿 OP 做匀加速直线运动,运动的时间 t 应该与

? 角有关,求时间 t 对于 ? 角的函数的极值即可。
a ? g cos ?
所以 t

由牛顿运动定律可知,质点沿光滑轨道下滑的加速度为

该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为 t,则

1 2 at ? OP 2

?

2OP g cos ?



由图可知,在△OPC 中有

OP OC ? ? sin(90 ? ? ) sin(90 ? ? ? ? ? )


所以 OP

?

OC cos? cos ( ? ? ) ?
t?

将②式代入①式得

2OC cos? 4OC cos? ? g cos ? cos( ? ? ) ? [cos? ? cos( ? 2 ? )] g ?

显然,当 cos ? ( 最短。

? 2 ? ) ? 1,即? ?

?
2

时,上式有最小值.所以当

??

?
2

时,质点沿直轨道滑到斜面所用的时间

此题也可以用作图法求解。 例 3:从底角为 ? 的斜面顶端,以初速度 ? 0 水平抛出一小球,不计空气阻力,若斜面足够长,如图 5—3 所示,则小球抛出 后,离开斜面的最大距离 H 为多少? 解析:当物体的速度方向与斜面平行时,物体离斜面最远。以水平向右为 x 轴正方向,竖直向下为 y 轴正方向, 则由: v y

? v0 tan? ? gt ,解得运动时间为 t ?
2 v0 x ? v0 t ? tan? g

v0 tan? g

该点的坐标为

2 1 2 v0 y ? gt ? tan 2 ? 2 2g

由几何关系得:

H / cos? ? y ? x tan?
H?
2 v0 tan? ? sin? 2g

解得小球离开斜面的最大距离为



这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴,求解则更加简便。

1

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例 4:如图 5—4 所示,一水枪需将水射到离喷口的水平距离为 3.0m 的墙外, 从喷口算起, 墙高为 4.0m。 若不计空气阻力,取

g ? 10 m / s 2 ,求所需的最小初速及对应的发射仰角。
解析:水流做斜上抛运动,以喷口 O 为原点建立如图所示的直角坐标,本题的任务就是水流能 通过点 A(d、h)的最小初速度和发射仰角。

? x ? v0 cos? ? t ? 根据平抛运动的规律,水流的运动方程为 ? 1 2 ? y ? v 0 sin ? ? t ? 2 gt ?
把 A 点坐标(d、h)代入以上两式,消去 t,得:
2 v0 ? ? gd 2 / 2 cos 2 ? ? (h ? d tan ? ) ? gd 2 / [ d sin 2? ? h(cos 2? ? 1)]

? gd 2 / d 2 ? h 2 [

d d ?h
2 2

? sin 2? ?

h d ? h2
2

? cos 2? ] ? h



h / d ? tan? , 则d / d 2 ? h 2 ? cos? , h / d 2 ? h 2 ? sin? , 上式可变为

2 v0 ? gd 2 / d 2 ? h 2 sin(2? ? ? ) ? h, 显然, 当 sin(2? ? ? ) ? 1, 即2? ? ? ? 90 ?

亦即发射角? ? 45 ? ?
且最小初速 v 0 =

?
2

? 45 ? ?

1 h 4 arctan ? 45 ? ? arctan ? 71 .6 ? 时, v0 最小, 2 d 3

g ( d 2 ? h 2 ? h) ? 3 10 m / s ? 9.5m / s.

例 5:如图 5—5 所示,一质量为 m 的人,从长为 l、质量为 M 的铁板的一端匀加速跑向另一端,并在另一端 骤然停止。铁板和水平面间摩擦因数为 的最大距离 L 是多少? 解析:人骤然停止奔跑后,其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量,此后,地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦 力 f,其加速度 a ? 1

? ,人和铁板间摩擦因数为 ? ? ,且 ? ? >> ? 。这样,人能使铁板朝其跑动方向移动

f ? ( M ? m) g ? ? ?g 。 M ?m M ?m

v?2 , 故v ? 越大,L 越大。 v ? 是人与铁板一起开始地运动的速度,因此人应以不会引起铁 由于铁板移动的距离 L ? 2a1
板运动的最大加速度奔跑。 人在铁板上奔跑但铁板没有移动时,人若达到最大加速度,则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦

? (M ? m) g ,根据系统的牛顿第二定律得:
F ? ma 2 ? M ? 0
所以

a2 ?

设 v 、 v ? 分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度 因为
2

F M ?m ?? g m m



mv ? (M ? m)v?
? 2a 2 l , v? 2 ? 2a1 L



且v

并将 a1 、 a 2 代入②式解得铁板移动的最大距离

L?

m l M ?m
2

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例 6:设地球的质量为 M,人造卫星的质量为 m,地球的半径为 R0,人造卫星环绕地球做圆周运动的半径为 r。试证明:从 地面上将卫星发射至运行轨道,发射速度

v ? R0 g (2 ?

R0 ) ,并用该式求出这个发射速度的最小值和最大值。 R0=6.4×106m) (取 ,设大气层对卫星的阻力 r

忽略不计,地面的重力加速度为 g) 解析:由能量守恒定律,卫星在地球的引力场中运动时总机械能为一常量。设卫星从地面发射的速度为 v发 ,卫星发射时具 有的机械能为

E1 ?

1 2 Mm mv发 ? G 2 R0



进入轨道后卫星的机械能为

E2 ?

1 2 Mm mv轨 ? G 2 r



由 E1=E2,并代入 v轨

?

GM , 解得发射速度为 v发 ? r
Mm ? mg 2 R0

R GM (2 ? 0 ) R0 r



又因为在地面上万有引力等于重力,即: G

所以

GM ? R0 g ④ R0

把④式代入③式即得: v发

? R0 g ( 2 ?

R0 ) r
? gR0 ? 7.9 ? 10 3 m / s .

(1)如果 r=R0,即当卫星贴近地球表面做匀速圆周运动时,所需发射速度最小为 v min (2)如果 r

? ? ,所需发射速度最大(称为第二宇宙速度或脱离速度)为

v max ? 2 R0 g ? 11.2 ? 10 3 m / s
例 7:如图 5—6 所示,半径为 R 的匀质半球体,其重心在球心 O 点正下方 C 点处,OC=3R/8, 半球重为 G,半球放在水平 面上,在半球的平面上放一重为 G/8 的物体,它与半球平在间的动摩擦因数 离是多少? 解析:物体离 O 点放得越远,根据力矩的平衡,半球体转过的角度 ? 越大,但物体在球体斜面上保持相对静止时, ? 有限 度。 设物体距球心为 x 时恰好无滑动,对整体以半球体和地面接触点为轴,根据平衡条件有:

? ? 0.2 ,

求无滑动时物体离球心 O 点最大距

G?

可见,x 随 ? 增大而增大。临界情况对应物体所受摩擦力为最大静摩擦力,则:

3R G s i n ? xc o? ? s 8 8



x ? 3R t a n ?

tanm ? ?

fm ? ? ? 0.2, 所以, x ? 3?R ? 0.6 R . N

例 8:有一质量为 m=50kg 的直杆,竖立在水平地面上,杆与地面间静摩擦因数 定在地面上的绳索拉住,绳与杆的夹角 ?

? ? 0.3 ,杆的上端固

? 30 ? ,如图 5—7 所示。

(1)若以水平力 F 作用在杆上,作用点到地面的距离 h1 多少?

? 2L / 5( L 为杆长) ,要使杆不滑倒,力 F 最大不能越过

3

高中奥林匹克物理竞赛解题方法之五极限法 Page4
(2)若将作用点移到 h2

? 4 L / 5 处时,情况又如何?

解析:杆不滑倒应从两方面考虑,杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下,力的大小还与 h 有关, 讨论力与 h 的关系是关键。 杆的受力如图 5—7—甲所示,由平衡条件得

F ? Ts i n ? f ? 0 ?

N T c?s ? o?

m? g

0

F?( L ? h) ? f L 0
f ? ?N

另由上式可知,F 增大时,f 相应也增大,故当 f 增大到最大静摩擦力时,杆刚要滑倒,此时满足:

解得:

Fmas ?

mgL tan? ( L ? h) tan? / ? ? h
/ ? ? h ? ?,即当h0 ? 0.66 L 时对 F 就没有限制了。

由上式又可知,当 ( L ? h) tan?

2 L ? h0 ,将有关数据代入 Fmax 的表达式得 Fmax ? 385 N 5 4 (2)当 h2 ? L ? h0 , 无论 F 为何值,都不可能使杆滑倒,这种现象即称为自锁。 5
(1)当 h1

?

例 9:放在光滑水平面上的木板质量为 M,如图 5—8 所示,板上有质量为 m 的小狗以与木板成 ? 角的初速度 v 0 (相对于地 面)由 A 点跳到 B 点,已知 AB 间距离为 s。求初速度的最小值。 解析:小狗跳起后,做斜上抛运动,水平位移向右,由于水平方向动量守恒,木板向左运动。小狗落到板上的 B 点时,小狗 和木板对地位移的大小之和,是小狗对木板的水平位移。

由于水平方向动量守恒,有 mv 0

cos? ? Mv
2v0 sin? g

即v ?

mv 0 sin? M



小狗在空中做斜抛运动的时间为

t?



又 s ? v0

cos? ? t ? vt
v0 ? Mgs ( M ? m) sin 2?



将①、②代入③式得

当 sin 2?

? 1,即? ?

?
4

时, v0 有最小值, v 0 min ?

Mgs M ?m



例 10:一小物块以速度 v0

? 10 m / s 沿光滑地面滑行,然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上,由高台上飞出,如图

5

—9 所示, 当高台的高度 h 多大时,小物块飞行的水平距离 s 最大?这个距离是多少?(g 取 10m/s 2) 解析:依题意,小物块经历两个过程。在脱离曲面顶部之前,小物块受重力和支持力,由于支持力不做功,物块的机械能守 恒,物块从高台上飞出后,做平抛运动,其水平距离 s 是高度 h 的函数。 设小物块刚脱离曲面顶部的速度为 v ,根据机械能守恒定律,

1 2 1 2 mv0 ? mv ? m g h 2 2



小物块做平抛运动的水平距离 s 和高度 h 分别为: h

?

s ? vt
4

1 2 gt 2

② ③

高中奥林匹克物理竞赛解题方法之五极限法 Page5
以上三式联立解得:
2 s ? v0 ? 2 gh

v2 v2 2h ? 2 ( 0 ) 2 ? (h ? 0 ) 2 g 4g 4g

当h

?

2 v0 v2 ? 2.5m 时,飞行距离最大,为 s max ? 0 ? 5m 。 4g 2g

例 11:军训中,战士距墙 s,以速度 v 0 起跳,如图 5—10 所示,再用脚蹬墙面一次,使身体变为竖直向上的运动以继续升高, 墙面与鞋底之间的静摩擦因数为

? 。求能使人体重心有最大总升高的起跳角 ? 。
? v0 cos?
v y ? v0 sin ? ? gt

解析:人体重心最大总升高分为两部分,一部分是人做斜上抛运动上升的高度,另一部分是人蹬墙所能上升的高度。 如图 5—10—甲,人做斜抛运动 v x ,

重心升高为

H 1 ? s 0 tan? ?

1 s g( )2 2 v0 cos?

脚蹬墙面,利用最大静摩擦力的冲量可使人向上的动量增加,即

?(mv y ) ? m?v y ? ? f (t ) ? ? ?N (t )?t ? ? ? N (t )?t , 而? N (t )?t ? mv x ,

? ?v y ? ?v x ,所以人蹬墙后,其重心在竖直方向向上的速度为

v ? ? v y ? ?v y ? v y ? ?v x ,继续升高 H 2 ? y

v ?y2 2g

,人的重心总升高

H=H1+H2=

2 v0 1 ( ? cos? ? sin? ) 2 ? ?s 0 , 当? ? tan ?1 2g ?

时,重心升高最大。

例 12:如图 5—11 所示,一质量为 M 的平顶小车,以速度 v 0 沿水平的光滑轨道做匀速直线运动。现将一质量为 m 的小物块 无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的滑动摩擦因数为 (1)若要求物块不会从车顶后缘掉下,则该车顶最少要多长? (2)若车顶长度符合(1)问中的要求,整个过程中摩擦力共做多少功? 解析:当两物体具有共同速度时,相对位