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[转帖]第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-《等比数列的前n项和公式》(河南姜黎黎)



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课题:等比数列的前 n 项和
教材:人教版必修五§2.5.1 授课教师: 姜黎黎 教学目标: (1)知识目标:理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法;掌握等比数列的前
n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题; (2)能力目标:提高学生的建模意识,体会公式探求过程中从特殊到一般的思 维方法,渗透方

程思想、分类讨论思想; (3)情感目标:培养学生将数学学习放眼生活,用生活眼光看数学的思维品质;

教学重点: (1)等比数列的前 n 项和公式;
(2)等比数列的前 n 项和公式的应用;

教学难点:等比数列的前 n 项和公式的推导; 教学方法:问题探索法及启发式讲授法 教 具:多媒体 教学过程: 一、复习提问
回顾等比数列定义,通项公式。
an ? q

(1)等比数列定义:

a n ?1

(n ?
a n ? a1 q

2

,q

? 0)

n ?1

(2)等比数列通项公式:

(a1 , q ? 0 )

(3)等差数列前 n 项和公式的推导方法:倒序相加法。

二、问题引入:
阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。 2 3 63 问题:如何计算 S 6 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 引出课题:等比数列的前 n 项和。

三、问题探讨:
问题:如何求等比数列 ? a n ? 的前 n 项和公式
S n ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n

? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? ? a1 q
2

n?2

? a1 q

n ?1

回顾:等差数列的前 n 项和公式的推导方法。 倒序相加法。 等差数列 a 1 , a 2 ? a 3 , ? a n ? 它的前 n 项和是 S n ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? a n 根据等差数列的定义 a n ?1 ? a n ? d
S n ? a1 ? ( a
1

?d ) ?a (

1

?d 2

)? ? ?

? a?

1

( n - 1d)? ?

(1) (2)

S n ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ? ? ? ? an -( n-1)d ?
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Http://www.fhedu.cn (1)+(2)得: 2 S n ? n ( a1 ? a n )
Sn ? n ( a1 ? a n ) 2
?a n
n? 2 n? 1

探究:等比数列的前 n 项和公式是否能用倒序相加法推导?
S n ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ?
2

学生讨论分析,得出等比数列的前 n 项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾:等差数列前 n 项和公式的推导方法本质。 构造相同项,化繁为简。 探究:等比数列前 n 项和公式是否能用这种思想推导? 根据等比数列的定义:
a n ?1 an ? (n? N?) q

? a 1 ? a 1 ? a q ? ? ? a q1 ? a q 1 q 1 an an a an Sn ? a n ? ? 2 ? ? ? nn 2 ? ? n ?1 q q q q

变形: a n q ? a n ?1 具体: a 1 q ? a 2
a2q ? a3 a3q ? a4

??

学生分组讨论推导等比数列的前 n 项和公式,学生不难发现: 由于等比数列中的每一项乘以公比 q 都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前 n 项和上。 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。
n?2 n ?1

S n ? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? ? a1 q
2

? a1 q
n ?1

(1)
n

qS n ?

a1 q ? a1 q ? a1 q ? ? ? a1 q
2 3

? a1q

(2)

由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。
? (1) ? ( 2 ) 得 : ? q ) S n ? a 1 ? a 1 q (1
n

当 q=1 时, S n ? na 1 当 q ? 1 时, S n ?
a 1 (1 ? q )
n

1? q

学生经过讨论还发现了其他的推导方法,让学生课后整合自己的思路,将各自的推 导过程展示在班级学习园地,同学们共享探究。 由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式:

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Http://www.fhedu.cn 当 q ? 1 时, S n ?
a1 ? a n q 1? q

四.知识整合:
1.等比数列的前 n 项和公式: 当 q=1 时, S n ? na 1 当 q ? 1 时, S n ? 2.公式特征: ⑴等比数列求和时,应考虑 q ? 1 与 q ? 1 两种情况。 ⑵当 q ? 1 时,等比数列前 n 项和公式有两种形式,分别都涉及四个量,四个量中“知三 求一” 。 ⑶等比数列通项公式结合前 n 项和公式涉及五个量, a 1 , 五个量中“知三求二”(方程思想) 。 3.等比数列前 n 项和公式推导方法:错位相减法。
q, n, an , Sn ,

a 1 (1 ? q )
n

1? q

?

a1 ? a n q 1? q

五、例题精讲:
例 1.运用公式解决国王赏麦故事中的难题。 变式练习:⑴求等比数列1,2,4,8?的前多少项和是63. ⑵求等比数列1,2,4,8?第4项到第7项的和. 例2.画一个边长为2cm的正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形, 依次类推⑴若一共画了7个正方形,求第7个正方形的面积? ⑵若已知所画正方形的面积和为 一个正方形的面积。 解:由题意得:每个正方形的面积构成等比数列,且 a 1 ? 4 (1)? n ? 7
? a 7 ? a1 ? q ?
6

31 4

, 求一共画了几个正方形, 及所画的最后

q ?

1 2

1 16

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? ?1? ? an ? 4 ? ? ?2? ? ? n ? 5 n ? ? ? ? ?1? ? ? ? ? ? 1 4 ?1 ? ? ? ? ?an ? ? 31 2? ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 1 4 ? 1? ? ? 2
1 16 cm 。 1 4 cm 。
2 2

n ?1

? a n ? a1 q ? n (2) ? a1 ?1 ? q ?Sn ? 1? q ?

n ?1

?

答:(1)第七个正方形的面积是

(2)一共测了5个正方形,所画的最后一个正方形的面积是 巩固练习:⑴已知等比数列 ? a n ? 中, a 1 ? ? 1 , q ? ? 2 ,求 S 6 。

⑵已知等比数列 ? a n ? 中, a 1 ? 1 , q ? 3 , S n ? 4 0 ,求n, a n 。

六、课堂小结:
1、等比数列的前 n 项和公式: 当 q=1 时, S n ? na 1 当 q ? 1 时, S n ?
a 1 (1 ? q )
n

1? q

?

a1 ? a n q 1? q

2、等比数列的前 n 项和推导方法:错位相减法。 3、数学思想:类比,分类讨论,方程的数学思想。

七、课后作业:
基础题:课本 P61 习题 2.5 A 组 1,2 提高题:求和( (1 ? a ) ? ( 2 ? a ) ? ? ? ( 2
2 n ?1

?a )
n

探究与发现:查阅网络,思考等比数列前 n 项和公式还有无其它推导方法?

八、板书设计: 2.5.1 等比数列的前 n 项和

公式:

例1

例2

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九、课后反思:

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