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2015-2016学年福建省上杭县第一中学高二3月月考数学(理)试题



上杭一中 2015-2016 学年第二学期 3 月份月考 高二理科数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分,在每小题 给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1.复数 z ? i(2 + i) 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限
1 1 2 4

)

C.第三象限

D.第四象限

2.抛物线 y ? x 2 在点 M ( , ) 处的切线的倾斜角是( ) A. 30 ? 3.已知曲线 y ? B.45 ? C. 60 ? D. 90 ?

x2 ? 4 ln x 的一条切线与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则切点 4

的横坐标为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 )

4.方程 x2 ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0(a ? R) 有实根 b ,且 z ? a ? bi ,则 z ? ( A. 2 ? 2i C. ?2 ? 2i B. 2 ? 2i D. ?2 ? 2i

5.已知在 R 上可导的函数 f ( x) 的图象如图所示,则 不等式 f ( x) ? f ?( x) ? 0 的解集为( A (?2, 0) C. (??, ?2) ? (0, ??) )

B. (??, ?2) ? (?1, 0) D. (?2, ?1) ? (0, ??) ( )

6.函数 f(x)=x2-lnx+x 的极值点的个数是 (A).0 (B).1 (C).2

(D).无数个 )

7.已知函数 f ( x) ? x2 ? 6x ? 4ln x ,则函数 f ( x) 的增区间为(

A. (??,1), (2, ??)

B. (??, 0), (1, 2)

C. (0,1), (2, ??)
?

D. (1, 2)

8.利用定积分的有关性质和几何意义可以得出定积分?1-1[(tanx)11+ (cosx)21]dx=( )
11 21 1 A.2? [(tan x ) + (cos x ) ]dx ?

?0 ?0

B.0 D.2

21 1 C.2? ? (cosx) dx

9.函数 f ? x ? ? ln x ? x 2 的图象大致是( )

1 2

10.设函数 f(x)的导函数为 f ?( x) ,若对任意 x ? R 都有 f ' (x)<f(x) 成立,则( ) B. f (ln 2015) ? 2015f (0) D. f (ln 2015) 与 2015f (0) 的大小关系不能确定

A. f (ln 2015) ? 2015f (0) C. f (ln 2015) ? 2015f (0)

11 .若函数 f ( x) ? 2x 2 ? ln x 在其定义域内的一个子区间 (k - 1 , k + 1) 内是单调函数,则实数 k 的取值范围是 3? ? 3 (A).?1,2? (B).[ ,+∞)
? ?
2
x ? 1, 12.已知函数 f (x)= ? ?10 ? ?ln x ? 1, ?1 x ?1 x ?1

(
?

)
?

(C).[1,2)

?3 ? (D).?2,2?

,则方程 f (x)=ax 恰有 一个实根时,

实数 a 的取值范围是( ) A. (-∞,-1]∪[1.1,+∞)或 C. (?1,0] ? ( 1 , 12 )
10 e

1 e2

B D. (?1, 1 )
e2

(?1,

1 ) 10

二、填空题(本大题共 4 小题 ,每小题 5 分,共 20 分)

13.复数 m2 ? 9 ? (m ? 3)i 是纯虚数,则实数 m 的值为

14.若函数 f ( x) ? sin( x ? ) 的图象如图所示,则图中的阴
6

?

影部分的面积为 15.设 P 是函数 y ? ln x 图象上的动点,则点 P 到直线 y ? x 的距离的最 小值为 16.已知函数 f ( x) ? xe x ,记 f 0 ( x) ? f ?( x) , f1 ( x) ? f0?( x) ,…, f n ( x) ? f n??1 ( x) 且 x2 ? x1 ,对于下列命题: ①函数 f ( x) 存在平行于 x 轴的切线; ②
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0; x1 ? x2

? ( x) ? xe x ? 2017e x ; ④ f ( x1 ) ? x2 ? f ( x2 ) ? x1 . ③ f 2015

其中正确的命题序号是 ____________( 写出所有满足题目条件的序 号). 三、解答题(第 17 题 10 分,其余 12 分) 17. m 为何实数时,复数 z ? (2 ? i)m2 ? 3(i ?1)m ? 2(1 ? i) 是: (1)虚数; (2)若 z ? 0 ,求 m .

3 18.设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) , f (0) ? 0 ,其图象在点 (1, f (1)) 处的切

线与直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f ?( x) 的最小值为-12. (1)求 a, b, c 的值; (2)求函数 f ( x) 在 ??1,3? 上的最大值和最小值.

19.求函数 y ? 1 x3 ? 1 (a ? a2 ) x2 ? a3 x ? a2 的单调递减区间.
3 2

20.如右图所示,抛物线 y ? 1 ? x 2 与 x 轴所围成的区域是一块等待开垦 的土地,现计划在该区域内围出一块矩形地块 ABCD 作为工业用地, 其中 A、B 在抛物线上,C、D 在 x 轴上.已知工业用地每单位面积价值 为 3a 元 (a ? 0) ,其它的三个边角地块每单位面积 价值 a 元. (Ⅰ)求等待开垦土地的面积; (Ⅱ)如何确定点 C 的位置,才能使得整块土 地总价值最大.

21.已知函数 f ? x ? ? x2 ? ax ? ln x, a ? R . (1)若函数 f ? x ? 在 ?1, 2? 上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g ? x ? ? f ? x ? ? x 2 ,是否存在实数 a ,当 x ? ? 0, e? ( e 是自然常数) 时,函数 g ? x ? 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明 理由; 22.已知函数 f ( x) ? ln x ?
a ( x ? 1) (a ? R) . x

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)求证:不等式
1 1 1 ? ? 对一切的 x ? (1, 2) 恒成立. ln x x ? 1 2

参考答案
一.选择题:BBAAB 二、填空题 13 15. 3
2 2

BCCBA

BA
2? 3 2

14 1 6.①③

三、解答题(第 17 题 10 分,其余 12 分) 17. m 为何实数时,复数 z ? (2 ? i)m2 ? 3(i ? 1)m ? 2(1 ? i) 是: (1)虚数; (2)若 z ? 0 ,求 m . (1) z 为虚数时, m2 ? 3m ? 2 ? 0 解得 m ? 1且m ? 2 .
2 ? ?m ? 3m ? 2 ? 0 (2)由题意可得 ? 2 ,解得 m ? 1 . ? ?2m ? 3m ? 2 ? 0

3 18.设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) , f (0) ? 0 ,其图象在点 (1, f (1)) 处的切线与

直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f ?( x ) 的最小值为-12. (1)求 a, b, c 的值; (2)求函数 f ( x) 在 ? ?1,3? 上的最大值和最小值.
? c?0 2 ? ? f ( x ) ? 3 ax ? b 18 ( 1 ) 由 题 意 可 得 , , 由 题 意 可 得 ? b ? ?12 得 ?3a ? b ? ?6 ?
a ? 2, b ? ?12, c ? 0 ;
3 2 (2) f ( x) ? 2x ?12x 即 f ?( x) ? 6 x ?12 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 2 或 x ? ? 2 ,

所以 f ( x) 的单调增区间为 ( 2, ??) 和 (??, ? 2) ; 当 ?1 ? x ? 3 时 , f ( x) 在 (?1, 2) 上 单 调 递 减 , 在 ( 2 , 3 ) 的单调递增,且
f (?1) ? 10, f (3) ? 18, f ( 2) ? ?8 2 ,

因此 f ( x) 的最小值为 f ( 2) ? ?8 2 ,最大值为 f (3) ? 18 . 19.求函数 y ? x3 ? (a ? a2 ) x2 ? a3 x ? a2 的单调递减区间.
1 3 1 2

解: y? ? x2 ? (a ? a2 ) x ? a3 ? ( x ? a)( x ? a2 ) , 令 y ? ? 0 ,得 ( x ? a)( x ? a2 ) ? 0 . (1)当 a ? 0 时,不等式解为 a ? x ? a 2 ,此时函数的单调递减区间为 (a,a 2 ) . (2)当 0 ? a ? 1 时,不等式解为 a 2 ? x ? a ,此时函数的单调递减区间为 (a 2,a) . (3)当 a ? 1 时,不等式解为 a ? x ? a 2 ,此时函数的单调递减区间为 (a,a 2 ) . (4)当 a=0,1 函数没有单调递减区间。 20.如右图所示,抛物线 y ? 1 ? x 2 与 x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地, 现计划在该区域内围出一块矩形地块 ABCD 作为工业用地, 其中 A、 B 在抛物线上, C、D 在 x 轴上.已知工业用地每单位面积价值为 3a 元 (a ? 0) ,其它的三个边角地 块每单位面积价值 a 元. (Ⅰ)求等待开垦土地的面积; (Ⅱ)如何确定点 C 的位置,才能使得整块土地总价 值最大.
1 1 1 4 20 解: (Ⅰ)由 ? (1 ? x 2 )dx ? ( x ? x 3 ) ? , ?1 ?1 3 3

故等待开垦土地的面积为

4 3

………3 分

(Ⅱ)设点 C 的坐标为 ( x, 0) ,则点 B ( x,1 ? x 2 ) 其中 0 ? x ? 1 , ∴ S ABCD ? 2 x(1 ? x 2 )
4 ∴土地总价值 y ? 3a ?2 x(1 ? x 2 ) ? a[ ? 2 x(1 ? x 2 )] 3 4 = 4a ?x(1 ? x 2 ) ? a 3

由 y ' ? 4a (1 ? 3 x 2 )=0 得 x ?
3 ? x ? 1时,y ' ? 0 3

3 3 或者x ? ? (舍去) 3 3

并且当 0? x?

3 时, 3

y ' ? 0,当

故当 x ?

3 时,y 取得最大值. 3 3 ,0) 时,整个地块的总价值最大. 3

答:当点 C 的坐标为 (

21.已知函数 f ? x ? ? x2 ? ax ? ln x, a ? R . (1)若函数 f ? x ? 在 ?1, 2? 上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g ? x ? ? f ?x ? ?x 2 ,是否存在实数 a ,当 x ? ? 0, e?( e 是自然常数)时,函 数 g ? x ? 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; 21 解: (1) f ? ? x ? ? 2 x ? a ?
1 2 x 2 ? ax ? 1 ? ? 0 在 ?1, 2? 上恒成立, x x

? a ? ?1, ? 7 ?h ?1? ? 0 ? 令 h ? x ? ? 2x ? ax ?1 ,有 ? 得? 7 ,得 a ? ? . 2 a?? ? ?h ? 2 ? ? 0 ? ? 2
2

xl n ( 2 ) 假 设 存 在 实 数 a , 使 g? x ?? a?

?

x ? e 最小值 3, ?x 0 ?,? 有

g? ? x? ? a ?

1 ax ? 1 ? x x

4 ①当 a ? 0 时,g ? x ? 在 ? 0, e? 上单调递减,g ? x ?min ? g ? e ? ? ae ? 1 ? 3, a ? (舍去) , e

②当 0 ?

1 ? 1? ?1 ? ? e 时, g ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? , e ? 上单调递增 a ? a? ?a ?

?1? ∴ g ? x ?min ? g ? ? ? 1 ? ln a ? 3, a ? e2 ,满足条件. ?a?

③当

1 4 ? e 时,g ? x ? 在 ? 0, e? 上单调递减,g ? x ?min ? g ? e ? ? ae ? 1 ? 3, a ? (舍去) , a e

综上,存在实数 a ? e2 ,使得当 x ? ? 0, e? 时 g ? x ? 有最小值 3. 22.已知函数 f ( x) ? ln x ?
a ( x ? 1) (a ? R) . x

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)求证:不等式
1 1 1 ? ? 对一切的 x ? (1, 2) 恒成立. ln x x ? 1 2 1 ?1 x

22.(Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? 所以 f / ( x) ?
x ?1 x2

f / (1) ? 0

又 f (1) ? 0

所以切线方程为 y ? 0 (Ⅱ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f / ( x) ?
x?a x2

①若 a ? 0, f / ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增 ②若 a ? 0 ,当 x ? (0, a) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, a ) 单调递减. 当 x ? (a, ??) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 在 (a, ??) 单调递增.
1 1 1 ? ? 等价于 ( x ? 1) ln x ? 2( x ?1) ? 0 ln x x ? 1 2 ( x ? 1) 1 ? 2 ? ln x ? ? 1 令 F ( x) ? ( x ? 1) ln x ? 2( x ? 1) ,则 F / ( x) ? ln x ? x x

(Ⅲ)?1 ? x ? 2 ?

由(Ⅰ)知,当 a ? 1 时 f min ( x) ? f (1) ? 0 ,
? f ( x) ? f (1) ,即 ln x ?

1 ?1 ? 0 x

所以 F / ( x) ? 0 ,则 F ( x) 在 (1, 2) 上单调递增 所以 F ( x) ? F (1) ? 0 即 有1 ? x ? 2 时
1 1 1 ? ? ln x x ? 1 2



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