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2013届高中数学二轮总复习课件 圆锥曲线中的参变量取值范围及探究性问题



专题六 解析几何 专题一 函数与导数

1.椭圆、双曲线和抛物线的几何性质有:范围、对 称性、顶点、焦点、离心率、渐近线等,对不同的 曲线以及焦点在不同坐标轴上的同类曲线,其几何 性质既有共同点也有不同点,应用时应加以区分.

2.设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为
c,则椭圆上的点到椭圆中心的最大距离为a,最小 距离

为b,椭圆上一点到一个焦点的距离的最大值为 a+c,最小距离为a-c.椭圆与抛物线的焦点弦中通径 是最短的焦点弦,双曲线的通径是端点在同一支的

焦点弦中最短的一条.

3.圆锥曲线中有关元素与参数的取值范围问 题,一般通过圆锥曲线特有的几何性质,建立

目标函数或不等关系求解,或者运用“数形结
合”、“几何法”求解. 4.圆锥曲线中的证明与探究,常将证明或探 究的结论化归与转换为求值问题、最值问题、 范围问题、轨迹问题等.

一、确定参数的范围 例1已知椭圆的两个焦点分别为F1 (0, 2 2), ? 2 2 F2 (0, 2 2),离心率e ? . 3 ?1? 求椭圆的方程;

? 2 ? 一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不
同的两点M 、N,且线段MN中点的横坐标为 1 ? ,求直线l的倾斜角的取值范围. 2

x2 y 2 解析:根据题意可设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ?, b a c 2 2 其中c为半焦距,c ? a ? b ,e ? ? ,c ? 2 2, a 3 y2 所以a ? 3,b ? 1,所以椭圆方程为x 2 ? ? 1. 9
2 2

? 2 ?由题意知,直线的倾斜角不可能为0和
所以设直线方程为y ? kx ? m(k ? 0), ? y ? kx ? m ? 联立椭圆方程,得 ? 2 y 2 , ?1 ?x ? 9 ?

?
2



消去y,得 ? k 2 ? 9 ? x 2 ? 2kmx ? m 2 ? 9 ? 0, ? ? 4k 2 m 2 ? 4 ? k 2 ? 9 ?? m 2 ? 9 ? ? 0,即k 2 ? m 2 ? 9 ? 0.① ?2km 设M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ),则x1 ? x2 ? 2 . k ?9 1 因为线段MN中点的横坐标为 ? , 2 1 ?2km 1 k2 ? 9 所以 ? 2 ? ? ,即m ? .② 2 k ?9 2 2k 把②代入①,化简得k 2 ? 3,所以k ? 3或k ? ? 3. 所以直线l的倾斜角的取值范围为( , ) ? ( , ). 3 2 2 3

? ?

? 2?

【点评】凡涉及弦中点问题常用“点差法”, 也可以将直线方程代入曲线方程得到一个 一元二次方程,利用根与系数关系求解.

二、圆锥曲线背景下几何性质的证明 x2 y 2 例2已知F1、F2分别是椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ?的 a b 左、右焦点,右焦点F2 ? c, 0 ? 到上顶点的距离为2, 若a 2 ? 6c.

?1? 求此椭圆的方程; ? 2 ? 点A是椭圆的右顶点,直线y ? x与椭圆交于M 、N
两点(点N 在第一象限内),又P、Q是此椭圆上两点, ??? ? ??? ? ? NP NP ???? ? 并且满足( ??? ? ???? ) ? F1 F2 ? 0, | NP | | NQ | ??? ???? ? ? 求证:向量 PQ与 AM 共线.

??? ???? ? ? 解析:思路:要证 PQ // AM,可计算k PQ与k AM , 利用k PQ ? k AM 证明.
2 ?a 2 ? 6c ?a ? 4 ? ? ,解得 ? 2 4 , ?1?由题知 ?a ? 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?b ? 3 ? ?

x2 3 y 2 所以椭圆的方程是 ? ? 1. 4 4

??? ? ??? ? ? NP NP ???? ? ? 2 ? 证明:因为( ??? ? ???? ) ? F1F2 ? 0, | NP | | NQ | ??? ? ??? ? NP NP ? 而 ??? ? ???? 与?PNQ的平分线共线, | NP | | NQ | 所以?PNQ的平分线垂直于x轴. 又直线y ? x与椭圆交点M (?1, 1),N ?1,1?, ? 不妨设PN的斜率为k, 则QN的斜率为 ? k,且k ? 0, 因此直线PN的方程为y ? k ? x ? 1? ? 1,

QN的方程为y ? ? k ? x ? 1? ? 1. ? y ? k ? x ? 1? ? 1 ? 2 由? x , 3y2 ?1 ? ? ?4 4

得 ?1 ? 3k 2 ? x 2 ? 6k ? k ? 1? x ? 3k 2 ? 6k ? 1 ? 0.

因为N ?1,1? 在椭圆上,故x ? 1是该方程的一根, 3k 2 ? 6k ? 1 则x P ? . 2 1 ? 3k 3k 2 ? 6k ? 1 同理,xQ ? . 2 1 ? 3k

因此,PQ的斜率为 yP ? yQ k ? xP ? 1? ? 1 ? k ? xQ ? 1? ? 1 k PQ ? ? xP ? xQ xP ? xQ ? k ? xP ? xQ ? ? 2k xP ? xQ

2k ?3k 2 ? 1? ? 2k ? 3k 2 ? 1? 1 ? ? . ?12k 3 1 又A ? 2,0 ?,M ( ?1, 1),所以k AM ? , ? 3 ??? ???? ? ? 所以k PQ ? k AM,所以向量 PQ与 AM 共线.

【评析】以圆锥曲线为背景下的几何关系 或基本量关系的证明,常转化为几何元素 的数值、最值等计算,或轨迹问题探求等 ??? ???? ? ? 问题解决,本题证明PQ // AM 转化为由直 线与圆锥曲线的关系条件下,直线斜率的 计算.

三、圆锥曲线背景下的探究性问题 例3设P(a,b)(b ? 0)是平面直角坐标系xOy中的点, l是经过原点与点(1,b)的直线,记Q是直线l与抛物 线x 2 ? 2py ( p ? 0)的异于原点的交点.

?1?已知a ? 1,b ? 2,p ? 2,求点Q的坐标;
x2 ? 2 ?已知点P(a,b)(ab ? 0)在椭圆 ? y 2 ? 1上, 4 1 p? .求证:点Q落在双曲线4x 2 ? 4y 2 ? 1上; 2ab 1 .若点Q始终落 ? 3?已知点P(a,b)满足ab ? 0,p ? 2ab 在一条关于x轴对称的抛物线上,试探究动点P的轨 迹落在何种二次曲线上,并说明理由.

解析:思路:证明点Q的轨迹落在双曲线上或探究点 P的轨迹落在何种二次曲线上,实质上是求证点Q的坐 标满足的轨迹方程和探求P (a,b)的轨迹方程.

?1?当b ? 2,p ? 2时,
? x2 ? 4 y ?x ? 8 ?x ? 0 解方程组 ? ,得 ? 或? , ? y ? 16 ? y ? 0 ? y ? 2x 即点Q的坐标为? 8,16 ?. 1 ? ? 2 1 ?x ? a y ?x ? ? , ? 2 ? 证明:由方程组 ? ab ,得 ? ? y ? bx ?y ? b ? ? a ?

1 b 即点Q的坐标为( , ). a a a2 因为点P是椭圆上的点,即 ? b 2 ? 1, 4 1 2 b 2 4 所以4( ) ? 4( ) ? 2 ?1 ? b 2 ? ? 1, a a a 因此点Q落在双曲线4x 2 ? 4y 2 ? 1上.

? 3? 设点Q所在抛物线的方程为y 2 ? 2q ? x ? c ? (q ? 0).
1 b 将Q( , )代入方程, a a b2 1 得 2 ? 2q( ? c),即b 2 ? 2aq ? 2qca 2 . a a 当qc ? 0,即c ? 0时,b 2 ? 2qa.

此时动点P (a,b)的轨迹落在抛物线上. 1 2 2 2 当qc ? 时,b ? 2qa ? a ,即 ? a ? q ? ? b 2 ? q 2, 2 此时动点P (a,b)的轨迹落在圆上. 1 当qc ? 0且qc ? 时, 2 1 2 ?a ? ? b2 2c ? b 2 ? 2qa ? 2qca 2可化为 ? 1, 1 q 4c 2 2c 此时动点P (a,b)的轨迹落在椭圆上.当qc ? 0时,

1 2 ?a ? ? b2 2c ? b2 ? 2qa ? 2qca 2可化为 ? 1, 1 q ?? ? 2 4c 2c 此时动点P(a,b)的轨迹落在双曲线上.

【点评】注意参数取值对曲线类型的影响, 体会分类讨论思想与转化化归思想.

x2 y 2 备选题已知椭圆C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ?的短 a b 轴长为2,且与抛物线y 2 ? 4 3x有共同的焦点, 椭圆C的左顶点为A,右顶点为B,点P是椭圆C 上位于x轴上方的动点,直线AP,BP与直线y ? 3 分别交于G,H 两点.

?1? 求椭圆C的方程; ? 2 ? 求线段GH的长度的最小值; ? 3? 在线段GH的长度取得最小值时,椭圆C上是
否存在一点T,使得?TPA的面积为1?若存在, 求出点T的坐标;若不存在,说明理由.

解析: ?由已知得,抛物线的焦点为( 3,,则椭圆 0) ?1 中c ? 3,又2b ? 2,即b ? 1.所以a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4. x2 故椭圆C的方程为 ? y 2 ? 1. 4 ? 2 ?由?1? 知A ? ?2,0 ?,B ? 2,0 ?,P是椭圆上位于x轴上方 的点,故AP的斜率存在,设为k,且k ? 0, 故直线AP的方程为y ? k ? x ? 2 ?, ? y ? k ? x ? 2? 3 ? 2 从而得G ( ? 2,3).由? x , 2 k ? ? y ?1 ?4 得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0.

16k 2 ? 4 设P( x1,y1 ),则 ? ?2 ? ? x1 ? , 2 1 ? 4k 2 ? 8k 2 4k 所以x1 ? ,从而y1 ? , 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? 8k 2 4k 即P( , ). 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 又B ? 2, 0 ?,所以k BP ? ? , 4k 则直线BP的方程为y ? ? ? x ? 2 ?. 1 ? ? x ? ?12k ? 2 ? y ? ? ? x ? 2? 由? ,得 ? , 4k ?y ? 3 ?y ? 3 ?

所以H ? ?12k ? 2,3?. 3 3 故 GH ?| ? 2 ? 12k ? 2 ? ? 12k ? 4 | . k k 3 因为k ? 0, 12k ? 2 ?12k ? 12. ? k 3 当且仅当 ? 12k,即k ? 时等号成立. k 1 所以k ? 时,线段GH的长度取最小值8. 2 1 ? 3?由? 2 ? 可知,当GH 取最小值时,k ? . 2 则直线AP的方程为x ? 2y ? 2 ? 0,

此时P ? 0,1?, ? 5. AP 若椭圆C上存在点T,使得?TPA的面积等于1, 2 5 则点T 到直线AP的距离等于 , 5 2 5 所以点T 在平行于AP且与AP距离等于 的直线l上 5 1 设直线l:y ? x ? t, 2 1 ? ?y ? 2 x ? t ? 则由? 2 ,得x 2 ? 2tx ? 2t 2 ? 2 ? 0. ? x ? y2 ? 1 ?4 ?

? ? 4t 2 ? 8 ? t 2 ? 1? ? 0,即t 2 ? 2. 由两平行线间的距离公式, | 2 ? 2t | 2 5 得 ? ,解得t ? 0或t ? 2(舍去). 5 5 1 2 所以l:y ? x,存在点T,其坐标为( 2, ) 2 2 2 或(? 2, ? )使得?TPA的面积等于1. 2

1.解决圆锥曲线背景下的参数取值范围时,常
用方法有几何法、函数法和不等式法,其中几何 法是根据图形的几何性质求解的方法;函数法是

将所求变量表示成某个相关变量的函数,求函数
的值域;不等式法是根据曲线特征或方程有解条 件等建立关于变量的不等式,再解不等式得取值 范围.

2.证明或探究圆锥曲线有关性质的基本思想是
化归与转换,通常将所要证明或探究的问题化归 转换为求值问题、最值问题、范围问题及轨迹问 题等.



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