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2.5等比数列前n项和及性质



等比数列的前n项和

一穷人到富人那里借钱,原以为富人不会同 意,哪知富人一口答应,但有个条件:在30天中, 每天借给穷人10万,借钱第一天,穷人还1分钱; 第二天,还2分钱,以后每天所还的钱数都是前 一天的2倍,30天后,互不相欠,穷人听后觉得 很划算,本想一口气定下来,但又想到此富人平 时吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难,请 大家帮帮她: (1)富人

30天借给穷人多少钱?

(2)穷人每天还钱数1, 2, 2 , 2 , ???, 2 , 形成
2 3 29

怎样的数列?穷人30天共要还多少钱?

让我们来分析一下:
(1)富人30天借给穷人300万元
(2)穷人每天还钱数1, 2, 2 , 2 , ..., 2 , 形成首项为1,公比为2的等比数列,
2 3 29

穷人30天共要还钱数:

1 ? 2 ? 2 ? 2 ???? ? 2
2 3

29 = ?

一、回忆
1.等比数列的定义:

an ?1 ?q?0 an

2.等比数列的通项公式:

an ? a1q

n ?1

3.数列的前n项和与通项之间的关系:

Sn ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an
? S1 an ? ? ? S n ? S n ?1 n?1 n?2

二、等比数列前n项和公式的推导 (一) 用等比定理推导 (定义特征及等比性质)
an a 2 a 3 a4 因为 a ? a ? a ? ? ? ? ? a ? q 1 2 3 n ?1 a 2 ? a 3 ? a4 ? ? ? ? ? a n ?q 所以 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an?1 S n ? a1 ?q S n ? an n a1 ? a n q a1 (1 ? q ) Sn ? (q ? 1) 或 Sn ? 1? q 1? q

S n = n a 1 ( q = 1)

(二) 从基本问题出发(借和式的代数特征变形)

Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1

= a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )

a1 (1 ? q ) Sn ? 1? q
n

(q ? 1)

(三) 从 (二) 继续发散 (错位相减法)
Sn = a1 + a1q + a1q2 +……+a1qn-2 + a1qn-1 q Sn = a1q + a1q2 + a1q3 + …+ a1qn
(*) ( ** )

两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n

a1 (1 ? q ) Sn ? (q ? 1) 1? q
n

Sn = n a1

(q = 1)

等比数列的前n项和表述为:

Sn ?

{
n

na1 ,
a1 ? ?1 ? q 1? q
n

( q=1).
n

? ? a ?a q,
1 n

1? q

(q≠1).

由 S ,a ,q , a1 , n 知三可求二 .

引例的解决:

由a1 ? 1, q ? 2, n ? 30得:
a1 (1 ? q ) 1? (1 ? 230 ) Sn ? ? ? 1? q 1? 2
n

2 ?1
30

2 ?1 ? 1074 ?10(分)
30 6

? 1074 (万元)? 300(万元)

三、例题选讲 : 例1 . 求等比数列1/2 ,1/4 ,1/8 ,…的前8项和
解:
1 1 1 1 由 a1 ? , q ? ? ? , 4 2 2 2

n=8,得
8

8 ? 1 ?1? ? ×?1 - ? ? ? 2 ? ?2? ? ? ? S8 = 1 12

1? ?1? ?1 ? ? ? 2? ?2? ? ? 1 2

? ? ? ?

255 ?1? = 1- ? ? = 256 ?2?

8

练习1 根据下列条件,只需列出等比数列

?an?的Sn的式子

⑴ a1 = 3,q = 2,n = 6;

1? 2 1 2.4 ? ? ? ?1.5? 1 2 ⑵ a1 = 2.4, q = -1.5, a n = ; Sn = 2 1 ? ? ?1.5?
⑶等比数列1,2,4,8…从第5项到第10项的和

Sn =

3 ?1 ? 2

6

?

1? 2 1? 2 a5 ?1 ? q6 ? 24 ?1 ? 26 ? 或 S? ? S = S10 ? S4 ? ? 1? 2 1? 2 1? q 1? 2
10 4

例2某制糖厂第1年制糖5万吨,如果平均每年
分析:第1年产量为 5 第2年产量为 5×(1+10%)=5×1.1

的产量比上一年增加10%,那么从第1年起,约 几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)?

第3年产量为 5×(1+10%) ×(1+10%) …… 第n年产量为

? 5 ?1.1

2

5 ?1.1

n ?1

则n年内的总产量为:

5 ? 5 ?1.1 ? 5 ?1.1 ? ? ? 5 ?1.1
2

n ?1

例2某制糖厂第1年制糖5万吨,如果平均每年的产
量比上一年增加10%,那么从第1年起,约几 年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)? 其中
∴ 解:由题意,从第1年起,每年的产量组成一个等比数列?an ? ,

a1 = 5,q = 1+10% = 1.1,Sn = 30,

5 ?1 ? 1.1n ? 1 ? 1.1

? 30.



1.1 ? 1.6.
n

两边取对数,得 : n×lg1.1 = lg1.6

lg1.6 0.20 ∴ n= ? ? 5 (年) lg1.1 0.041

答:约5年内可以使总产量达到30万吨.

例3.

1 1 1 2 n 求和:( x ? ) ? ( x ? ) ??? (x ? n ) 2 y y y ( x ? 0, x ? 1, y ? 1).
1 2 1 1 n x ? , x ? 2 , ?, x ? n y y y

分析:上面各个括号内的式子均由两项组成,

2 n x , x , ? , x , 其中括号内的前一项

首项

公比

1 1 1 后一项 y , y 2 , ?, y n ,

x
1 y

x
1 y

都是等比数列

例3.
解:当

1 1 1 2 n 求和:( x ? ) ? ( x ? ) ??? (x ? n ) 2 y y y ( x ? 0, x ? 1, y ? 1).
x ? 0, x ? 1, y ? 1
2

时,
n

?1 1 1 ? 原式= ( x ? x ? ? ? x ) ? ? ? 2 ? ? ? n ? ?y y ? y ? ?

x(1 ? x ) ? 1? x
n

x?x y ?1 ? ? n?1 . 1? x y ?y
n

n ?1

1? 1 ? ? 1? n ? ? y? y ? ? ? 1 1? y

1 1 1 2 n 变形1. 求和:( x ? y ) ? ( x ? y 2 ) ? ? ? ( x ? y n ) ( x ? 0, y ? 1).
分析:当

x ? 0, y ? 1

时,对x分两种情况讨论

⑴.

x ?1 ?1 1 1 ? 原式 ? ?1 ? 1 ? ? ? 1? ? ? ? y ? y2 ? ?? yn ? ? ? ?
1? 1 ? ? 1? n ? ? y? y ? ? ? n? 1 1? y
同例3

⑵.

x ?1

变形2.

1 1 1 2 n (x ? ) ? (x ? 2 ) ??? (x ? n ) 求和: y y y ( x ? 0, x ? 1).

分析:当

x ? 0, x ? 1 时,对y分两种情况讨论 ⑴. y ? 1
原式= ( x ? x
2

? ?? x ) ? (1 ? 1 ? ? ? 1)
n

x 1? x ? 1? x
⑵.

?

n

?? n

y ?1

同例3

1 1 1 2 n (x ? ) ? (x ? 2 ) ??? (x ? n ) 变形3. 求和: y y y ( x ? 0).
分析:当 x ? 0 时,对x,y分四种情况讨论 ⑴

x ? 1, y ? 1 原式 ? (1 ? 1 ? ? ? 1) ? (1 ? 1 ? ? ? 1) ? n ? n ? 2n
x ? 1, y ? 1 同变形1.(1)
同变形2.(1) 同例3

⑵ ⑶ ⑷

x ? 1, y ? 1

x ? 1, y ? 1

练习2

求和:
2 n

Sn ? (a ?1) ? (a ? 2) ? ?? (a ? n), (a ? 0)
解:∵ Sn ? (a ? a 2 ? ?? a n ) ? (1 ? 2 ? ?? n)
当a ?1 时

∴ Sn ?

n?1 ? n ? n?1 ? n ? n ? n 2 S n ? (1 ? 1 ? ? ? 1) ? ? n? ? 2 2 2 n a 1 ? a n?1 ? n ? 当 a ? 0, a ? 1 时 S n ? ? 1? a 2 n ? n2 (a ? 1) , 2

?

?

{

a 1 ? a n n?1 ? n ? ? , 1? a 2

?

?

(a ? 0, a ? 1).

Ⅳ.小结 1.等比数列求和公式:当q=1时, S n
当 q ?1 时 a1 (1 ? q n ) Sn ? 或 1? q 2.公式的推导方法:

? na1

a1 ? an q Sn ? 1? q

务必掌握数列求和的重要方法错位相减法 3. 求和时要特别注意 (1)弄清项数是多少.(2)公比是否等于1.

今天作业
课本 P69 1 、2、4(3)
课后练习 课本P66 2、3


1.已知 a1 , n, q 则


na1,
a1 ?1- q n ? 1- q
( q=1).

Sn ?

{

, (q≠1).
( q=1). (q≠1).

已知 a1 , an , q则

Sn ?

{

na1 ,
a1 - a n q , 1- q

2. 求和时要特别注意 (1)弄清项数是多少.(2)公比是否等于1.

补充练习:
? x 2 ( 1? x 3n?6 ) ( x ? 1) 3 1. x 2 ? x 5 ? x 8 ? ...... ? x 3n?5 ? ? ? 1? x ?n ? 2 (x ? . ? 1)

2. a ? a b ? a
n n?1

n ?2

b ? ...... ? ab
2

n ?1

?b ?
n

a

n ?1

( a ? b)

?b a ?b .

n ?1





一、等比数列前n项和公式与函数的关系:

() 1 q ? 1时,因为a1 ? 0,所以Sn ? na1是n的 正比例函数(常数项为0的一次函数)
n

a1 (1 ? q ) a1 a1 n (2) q ? 1时, Sn ? ?? ?q ? 1? q 1? q 1? q

a1 n 设 ? A,则 Sn ? ? Aq ? A 1? q

二、等比数列前n项和的性质: 性质1
若某数列{an}的前n项和公式为:Sn=kan+b (a≠1

a≠0),仅当k+b=0时,数列{an}才为等比数列。

Ex1 : 等比数列前n项和Sn ? 2 ? 3 ? a,
n

B_ 则a ? ___
A. -2 B.2 C. 任意实数 D. 3

Ex 2:已知等比数列{an }的前n项和Sn =2 -1 则它的前n项的平方和Tn ? ____D ___ 1 n 1 n n A ( . 2 -1) B.(2 -1)C.4 -1 D.(4 -1) 3 3
n 2

n

课本P66的练习 2 性质2:

若数列{an}是公比为q的等比数列,则
(1)Sn+m=Sn+qn. Sm (2)Sk , S2k- Sk , S3k-S2k成等比数列(S 不为0)
K

《金榜》P41 例2 、举一反三 1、2


性质1



若某数列{an}的前n项和公式为Sn=kan+b(a≠1, a≠0),仅当k+b=0时,数列{an}才为等比数列。 性质2: 若数列{an}是公比为q的等比数列,则 (1)Sn+m=Sn+qn. Sm

S偶

(2) 若项数为偶数项,则 S 奇 (3)Sk , S2k- Sk , S3k-S2k成等比数列(SK不为0)

=q

作业评讲
课本 P69 1 (2)4(3)

已知数列1, 2 x,3x , 4 x ,?, nx 求此数列前n项的和.

2

3

n ?1

,?

利用错位相减法求和

例.已知数列1,3a,5a 2 ,7a 3 ,...,? 2n -1 ? a n-1 ,...

? a ≠ 0 ? ,求前n项的和.
一般地,若数列{an }是等差数列,数列{bn } 是等比数列且公比为q,求数列{an bn }的前n 项和时可采用这种思路和方法
《金榜》P42 例4 举一反三 P44 基础达标 9(2)

补例:己知等比数列{an}的首项为2,公比为x,前n 项和为An.求数列bn=A2n的前n项和为Tn. 当x=1时,An=2n, bn=4n,Tn=2(n2+n)

2(1 ? x ) 当x ? 1时,b n ? A2 n ? 1? x 2 2n ? 2n 2 x (1 ? x ) ? ? ( x ? ?1) ? 2 Tn ? ?1 ? x 1 ? x 1? x ?0 (x ? -1) ?
2n

3.数列1,1+2,1+2+22,…,(1+2+22+….+2n-1),… 前n项和等于( B ) A. 2n+1-n B. 2n+1-n -2 C. 2n-n D. 2n 点评:求数列前n项和可先求出通项 《金榜》P44 能力提升 2、3、6 基础达标 5 、9(1)

自主完成《金榜》阶段性测试(二) 准备明天早上一二节的测试

应用两个公式,注意首项及公比
例1 已知等比数列{an}的前n项和是2,
紧接着后面的2n项的和是12,再紧 接着后面的3n项的和是S,求S
《金榜》P41 例1 后的思考,举一反三



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