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2013年山东省高考文科数学真题及答案



2013 年山东省高考数学试卷(文科)
一.选择题:本题共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分. 1. (5 分)复数 z= A.25 B. C.5 (i 为虚数单位) ,则|z|( D. )

2. (5 分)已知集合 A、B 全集 U={1、2、3、4},且?U(A∪B)={4},B={1,2}, 则 A∩?UB=( )

A.{3} B.{4} C.{3,4} D.? 3. (5 分)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ,则 f(﹣1)= ( A.2 ) B.1 C.0 D.﹣2

4. (5 分)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所 示该四棱锥侧面积和体积分别是( )

A.4

,8 B.

C.

D.8,8 的定义域为( )

5. (5 分)函数 f(x)= A. (﹣3,0] ∪(﹣3,1) B. (﹣3,1]

C. (﹣∞,﹣3)∪(﹣3,0) D. (﹣∞, ﹣3 )

6. (5 分)执行两次如图所示的程序框图,若第一次输入的 a 的值为﹣1.2,第二 次输入的 a 的值为 1.2,则第一次、第二次输出的 a 的值分别为( )

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A.0.2,0.2 B.0.2,0.8 C.0.8,0.2 D.0.8,0.8 7. (5 分)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 B=2A,a=1,b= 则 c=( A. ) B.2 C. D.1 ,

8. (5 分)给定两个命题 p,q.若¬p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是¬q 的 ( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

9. (5 分)函数 y=xcosx+sinx 的图象大致为(

A.

B.

C



D. 10. (5 分)将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余分 数的平均分为 91,现场做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,
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在图中以 x 表示:则 7 个剩余分数的方差为(



A.

B.

C.36 D. 的焦点与双曲线 C2: 的右焦点

11. (5 分)抛物线 C1:

的连线交 C1 于第一象限的点 M. 若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线, 则 p=( A. B. ) C. D. 取得最小值时, x+2y

12. (5 分) 设正实数 x, y, z 满足 x2﹣3xy+4y2﹣z=0, 则当 ﹣z 的最大值为( A.0 B. C.2 ) D.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分
2 2 13. (4 分) 过点 (3, 1) 作圆 (x﹣2) + (y﹣2) =4 的弦, 其中最短的弦长为



14. (4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组 域上一动点,则直线|OM|的最小值为 . ,

所表示的区

15. (4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ABO=90°,则实数 t 的值为 .

,若∠

16. (4 分)定义“正对数”:ln+x= ①若 a>0,b>0,则 ln+(ab)=bln+a; ②若 a>0,b>0,则 ln+(ab)=ln+a+ln+b; ③若 a>0,b>0,则 ;

,现有四个命题:

④若 a>0,b>0,则 ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2. 其中的真命题有 (写出所有真命题的序号)
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三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分, 17. (12 分)某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学,他们的身高(单位:米)以 及体重指标(单位:千克/米 2)如表所示: A 身高 体重指标 1.69 19.2 B 1.73 25.1 C 1.75 18.5 D 1.79 23.3 E 1.82 20.9

(Ⅰ)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率 (Ⅱ)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指 标都在[18.5,23.9)中的概率. 18. (12 分)设函数 f(x)= ﹣ sin2ωx﹣sinωxcosωx(ω>0) ,且 y=f(x)的 ,

图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 (Ⅰ)求 ω 的值 (Ⅱ)求 f(x)在区间[

]上的最大值和最小值.

19. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD, E,F,G,M,N 分别为 PB、AB、BC、PD、PC 的中点. (Ⅰ)求证:CE∥平面 PAD (Ⅱ)求证:平面 EFG⊥平面 EMN.

20. (12 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}满足 =1﹣ ,n∈N*,求{bn}的前 n 项和 Tn.

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21. (12 分)已知函数 f(x)=ax2+bx﹣lnx(a,b∈R) (Ⅰ)设 a≥0,求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)设 a>0,且对于任意 x>0,f(x)≥f(1) .试比较 lna 与﹣2b 的大小. 22. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)A,B 为椭圆 C 上满足△AOB 的面积为 点,射线 OE 交椭圆 C 与点 P,设 的任意两点,E 为线段 AB 的中

,求实数 t 的值.

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2013 年山东省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本题共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分. 1. (5 分) (2013?山东)复数 z= A.25 B. C.5 D. (i 为虚数单位) ,则|z|( )

【分析】化简复数 z,然后求出复数的模即可. 【解答】解:因为复数 z= = ,

所以|z|= 故选 C.

=



2. (5 分) (2013?山东)已知集合 A、B 全集 U={1、2、3、4},且?U(A∪B)={4}, B={1,2},则 A∩?UB=( )

A.{3} B.{4} C.{3,4} D.? 【分析】通过已知条件求出 A∪B,?UB,然后求出 A∩?UB 即可. 【解答】解:因为全集 U={1.2.3.4.},且?U(A∪B)={4},所以 A∪B={1,2, 3}, B={1,2},所以?UB={3,4},所以 A={3}或{1,3}或{3,2}或{1,2,3}. 所以 A∩?UB={3}. 故选 A.

3. (5 分) (2013?山东)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ , 则 f(﹣1)=( A.2 B.1 ) C.0 D.﹣2

【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得 f(﹣1)=﹣f(1) ,运
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算求得结果. 【解答】解:∵已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ,则 f(﹣ 1)=﹣f(1)=﹣(1+1)=﹣2, 故选 D.

4. (5 分) (2013?山东)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主) 视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是( )

A.4

,8 B.

C.

D.8,8

【分析】 由题意可知原四棱锥为正四棱锥,由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面 边长和高,则其侧面积和体积可求. 【解答】解:因为四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,所以该四棱锥为正四 棱锥, 其主视图为原图形中的三角形 PEF,如图, 由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长 AB=2, 高 PO=2, 则四棱锥的斜高 PE= 所以该四棱锥侧面积 S= 体积 V= 故选 B. . . ,

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5. (5 分) (2013?山东)函数 f(x)= A. (﹣3,0] ∪(﹣3,1) B. (﹣3,1]

的定义域为(



C. (﹣∞,﹣3)∪(﹣3,0) D. (﹣∞, ﹣3 )

【分析】由函数解析式可得 1﹣2x≥0 且 x+3>0,由此求得函数的定义域. 【解答】解:由函数 f(x)= <x≤0, 故函数 f(x)= 故选 A. 的定义域为 {x|﹣3<x≤0}, 可得 1﹣2x≥0 且 x+3>0,解得﹣3

6. (5 分) (2013?山东)执行两次如图所示的程序框图,若第一次输入的 a 的值 为﹣1.2,第二次输入的 a 的值为 1.2,则第一次、第二次输出的 a 的值分别为 ( )

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A.0.2,0.2 B.0.2,0.8 C.0.8,0.2 D.0.8,0.8 【分析】计算循环中 a 的值,当 a≥1 时不满足判断框的条件,退出循环,输出 结果即可. 【解答】解:若第一次输入的 a 的值为﹣1.2,满足上面一个判断框条件 a<0, 第 1 次循环,a=﹣1.2+1=﹣0.2, 第 2 次判断后循环,a=﹣0.2+1=0.8, 第 3 次判断,满足上面一个判断框的条件退出上面的循环,进入下面的循环, 不满足下面一个判断框条件 a≥1,退出循环,输出 a=0.8;

第二次输入的 a 的值为 1.2, 不满足上面一个判断框条件 a<0, 退出上面的循环, 进入下面的循环, 满足下面一个判断框条件 a≥1, 第 1 次循环,a=1.2﹣1=0.2, 第 2 次判断后不满足下面一个判断框的条件退出下面的循环,输出 a=0.2; 故选 C.

7. (5 分) (2013?山东)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 B=2A, a=1,b= A. ,则 c=( C. ) D.1
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B.2

【分析】利用正弦定理列出关系式,将 B=2A,a,b 的值代入,利用二倍角的正 弦函数公式化简,整理求出 cosA 的值,再由 a,b 及 cosA 的值,利用余弦定理 即可求出 c 的值. 【解答】解:∵B=2A,a=1,b= ∴由正弦定理 ∴cosA= , = 得: , = = = ,

由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA,即 1=3+c2﹣3c, 解得:c=2 或 c=1(经检验不合题意,舍去) , 则 c=2. 故选 B

8. (5 分) (2013?山东)给定两个命题 p,q.若¬p 是 q 的必要而不充分条件, 则 p 是¬q 的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【分析】根据互为逆否命题真假性相同,可将已知转化为 q 是?p 的充分不必要 条件,进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案. 【解答】解:∵?p 是 q 的必要而不充分条件, ∴q 是?p 的充分不必要条件,即 q? ?p,但?p 不能? q, 其逆否命题为 p? ?q,但?q 不能? p, 则 p 是?q 的充分不必要条件. 故选 A.

9. (5 分) (2013?山东)函数 y=xcosx+sinx 的图象大致为(



A.

B.

C



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D. 【分析】给出的函数是奇函数,奇函数图象关于原点中心对称,由此排除 B,然 后利用区特值排除 A 和 C,则答案可求. 【解答】解:因为函数 y=xcosx+sinx 为奇函数,所以排除选项 B, 由当 x= 时, ,

当 x=π 时,y=π×cosπ+sinπ=﹣π<0. 由此可排除选项 A 和选项 C. 故正确的选项为 D. 故选 D.

10. (5 分) (2013?山东)将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低 分, 7 个剩余分数的平均分为 91, 现场做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模 糊,无法辨认,在图中以 x 表示:则 7 个剩余分数的方差为( )

A.

B.

C.36 D.

【分析】根据题意,去掉两个数据后,得到要用的 7 个数据,先根据这组数据的 平均数,求出 x,再用方差的个数代入数据和平均数,做出这组数据的方差. 【解答】解:∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的数据是 87,90,90,91,91,94,90+x. ∴这组数据的平均数是 ∴这这组数据的方差是 故选:B. (16+1+1+0+0+9+9)= =91,∴x=4. .

11. (5 分) (2013?山东) 抛物线 C1:
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的焦点与双曲线 C2:

的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一 条渐近线,则 p=( A. B. C. ) D.

【分析】 由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标,由两点式写出过两个焦点 的直线方程, 求出函数 在 x 取直线与抛物线交点 M 的横坐标时的

导数值,由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与 p 的关系,把 M 点的 坐标代入直线方程即可求得 p 的值. 【解答】解:由 所以抛物线的焦点坐标为 F( 由 ,得 , ,得 x2=2py(p>0) , ) . .

所以双曲线的右焦点为(2,0) . 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为 ,



①.

设该直线交抛物线于 M( 由题意可知 把 M 点代入①得: 解得 p= 故选:D. . ,得

) ,则 C1 在点 M 处的切线的斜率为 ,代入 M 点得 M( . )



12. (5 分) (2013?山东)设正实数 x,y,z 满足 x2﹣3xy+4y2﹣z=0,则当 最小值时,x+2y﹣z 的最大值为( A.0 B. C.2 D. )

取得

【分析】将 z=x2﹣3xy+4y2 代入

,利用基本不等式化简即可求得 x+2y﹣z 的最
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大值. 【解答】解:∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0, ∴z=x2﹣3xy+4y2,又 x,y,z 为正实数, ∴ = + ﹣3≥2 ﹣3=1(当且仅当 x=2y 时取“=”) ,

即 x=2y(y>0) , ∴x+2y﹣z=2y+2y﹣(x2﹣3xy+4y2) =4y﹣2y2 =﹣2(y﹣1)2+2≤2. ∴x+2y﹣z 的最大值为 2. 故选:C.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13. (4 分) (2013?山东)过点(3,1)作圆(x﹣2)2+(y﹣2)2=4 的弦,其中 最短的弦长为 2 .

【分析】由圆的方程找出圆心与半径,判断得到(3,1)在圆内,过此点最短的 弦即为与过此点直径垂直的弦,利用垂径定理及勾股定理即可求出. 【解答】解:根据题意得:圆心(2,2) ,半径 r=2, ∵ = <2,∴(3,1)在圆内, ,r=2, =2 .

∵圆心到此点的距离 d= ∴最短的弦长为 2 故答案为:2

14. (4 分) (2013?山东) 在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组

所表示的区域上一动点,则直线|OM|的最小值为



【分析】首先根据题意做出可行域,欲求|OM|的最小值,由其几何意义为点 O (0,0)到直线 x+y﹣2=0 距离为所求,代入点到直线的距离公式计算可得答案.
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【解答】解:如图可行域为阴影部分, 由其几何意义为点 O(0,0)到直线 x+y﹣2=0 距离,即为所求, 由点到直线的距离公式得: d= = , .

则|OM|的最小值等于 故答案为: .

15. (4 分) (2013?山东) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 若∠ABO=90°,则实数 t 的值为 【分析】利用已知条件求出 【解答】解:因为知 所以 =(3,2﹣t) , , 5 .





,利用∠ABO=90°,数量积为 0,求解 t 的值即可. , ,

又∠ABO=90°,所以

可得:2×3+2(2﹣t)=0.解得 t=5. 故答案为:5.

16. (4 分) (2013?山东)定义“正对数”:ln+x= ①若 a>0,b>0,则 ln+(ab)=bln+a; ②若 a>0,b>0,则 ln+(ab)=ln+a+ln+b; ③若 a>0,b>0,则 ;

,现有四个命题:

④若 a>0,b>0,则 ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.
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其中的真命题有 ①③④

(写出所有真命题的序号)

【分析】由题意,根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断,由于 在不同的定义域中函数的解析式不一样,故需要对 a,b 分类讨论,判断出每个 命题的真假. 【解答】解: (1)对于①,由定义,当 a≥1 时,ab≥1,故 ln+(ab)=ln(ab)=blna, 又 bln+a=blna,故有 ln+(ab)=bln+a;当 a<1 时,ab<1,故 ln+(ab)=0,又 a< 1 时 bln+a=0,所以此时亦有 ln+(ab)=bln+a,故①正确; (2)对于②,此命题不成立,可令 a=2,b= ,则 ab= ,由定义 ln+(ab)=0, ln+a+ln+b=ln2,所以 ln+(ab)≠ln+a+ln+b,故②错误; (3)对于③, i. ≥1 时,此时 当 a≥b≥1 时,ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb= 题成立; 当 a > 1 > b > 0 时 , ln+a ﹣ ln+b=lna , 此 时 ,命题成立; 当 1>a≥b>0 时,ln+a﹣ln+b=0, ii. <1 时,同理可验证是正确的,故③正确; (4)对于④, 当 a≥1,b≥1 时,ln+(a+b)=ln(a+b) ,ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln(2ab) , ∵a+b﹣2ab=a﹣ab+b﹣ab=a(1﹣b)+b(1﹣a)≤0, ∴a+b≤2ab, ∴ln(a+b)<ln(2ab) , ∴ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2. 当 a>1,0<b<1 时,ln+(a+b)=ln(a+b) ,ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln(2a) , ∵a+b﹣2a=b﹣a≤0, ∴a+b≤2a, ∴ln(a+b)<ln(2a) ,
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≥0, ,此时则 ,命



> lna , 则

成立;

∴ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2. 当 b>1,0<a<1 时,同理可证 ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2. 当 0<a<1,0<b<1 时,可分 a+b≥1 和 a+b<1 两种情况,均有 ln+(a+b)≤ ln+a+ln+b+ln2. 故④正确. 故答案为①③④.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分, 17. (12 分) (2013?山东)某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学,他们的身高(单 位:米)以及体重指标(单位:千克/米 2)如表所示: A 身高 体重指标 1.69 19.2 B 1.73 25.1 C 1.75 18.5 D 1.79 23.3 E 1.82 20.9

(Ⅰ)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率 (Ⅱ)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指 标都在[18.5,23.9)中的概率. 【分析】 (Ⅰ)写出从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成 的基本事件,查出选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件,然后直接利用古典概 型概率计算公式求解; . (Ⅱ)写出从该小组同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件,查出 选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件,利用 古典概型概率计算公式求解. 【解答】 (Ⅰ)从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基 本事件有: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (B,C) , (B,D) , (C,D)共 6 个. 由于每个同学被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件有: (A,B) , (A,C) , (B,C)共 3 个. 因此选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率为 p=
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(Ⅱ)从该小组同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (B,C) , (B,D) , (B,E) , (C,D) , (C, E) , (D,E)共 10 个. 由于每个同学被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有: (C,D) (C,E) , (D,E)共 3 个. 因此选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率 p= .

18. (12 分) (2013?山东)设函数 f(x)=



sin2ωx﹣sinωxcosωx(ω>0) , ,

且 y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 (Ⅰ)求 ω 的值 (Ⅱ)求 f(x)在区间[ ]上的最大值和最小值.

【分析】 (Ⅰ)通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角 函数的形式,利用函数的正确求出 ω 的值 (Ⅱ)通过 x 的范围求出相位的范围,利用正弦函数的值域与单调性直接求解 f (x)在区间[ ]上的最大值和最小值. ﹣ sin2ωx﹣sinωxcosωx

【解答】解: (Ⅰ)函数 f(x)= = = = .

因为 y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 又 ω>0,所以 ,解得 ω=1; ) ,

,故周期为 π

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)=﹣sin(2x﹣ 当 时, ,

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所以 因此,﹣1≤f(x) 所以 f(x)在区间[ ,



]上的最大值和最小值分别为:



19. (12 分) (2013?山东)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥ CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为 PB、AB、BC、PD、PC 的中点. (Ⅰ)求证:CE∥平面 PAD (Ⅱ)求证:平面 EFG⊥平面 EMN.

【分析】 (Ⅰ)取 PA 的中点 H,则由条件可得 HE 和 CD 平行且相等,故四边形 CDHE 为平行四边形,故 CE∥DH.再由直线 和平面平行的判定定理证明 CE∥平面 PAD. (Ⅱ) 先证明 MN⊥平面 PAC, 再证明平面 EFG∥平面 PAC, 可得 MN⊥平面 EFG, 而 MN 在平面 EMN 内, 利用平面和平面垂直的判定定理证明平面 EFG⊥平面 EMN. 【解答】解: (Ⅰ)证明:∵四棱锥 P﹣ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD, E,F,G,M,N 分别为 PB、AB、BC、PD、PC 的中点,取 PA 的中点 H, 则由 HE∥AB,HE= AB,而且 CD∥AB,CD= AB,可得 HE 和 CD 平行且相等, 故四边形 CDHE 为平行四边形,故 CE∥DH. 由于 DH 在平面 PAD 内,而 CE 不在平面 PAD 内,故有 CE∥平面 PAD. (Ⅱ)证明:由于 AB⊥AC,AB⊥PA,而 PA∩AC=A,可得 AB⊥平面 PAC.再由 AB∥CD 可得,CD⊥平面 PAC. 由于 MN 是三角形 PCD 的中位线,故有 MN∥CD,故 MN⊥平面 PAC.
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由于 EF 为三角形 PAB 的中位线,可得 EF∥PA,而 PA 在平面 PAC 内,而 EF 不在 平面 PAC 内,故有 EF∥平面 PAC. 同理可得,FG∥平面 PAC. 而 EF 和 FG 是平面 EFG 内的两条相交直线,故有平面 EFG∥平面 PAC. ∴MN⊥平面 EFG,而 MN 在平面 EMN 内,故有平面 EFG⊥平面 EMN.

20. (12 分) (2013?山东) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 S4=4S2, a2n=2an+1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}满足 =1﹣ ,n∈N*,求{bn}的前 n 项和 Tn.

【分析】 (Ⅰ)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由 S4=4S2,a2n=2an+1 得 到关于 a1 与 d 的方程组,解之即可求得数列{an}的通项公式; ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 , an=2n ﹣ 1 , 继 而 可 求 得 bn= , n ∈ N* , 于 是

Tn= +

+

+…+

,利用错位相减法即可求得 Tn.

【解答】解: (Ⅰ)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由 S4=4S2,a2n=2an+1 得: 解得 a1=1,d=2. ∴an=2n﹣1,n∈N*. (Ⅱ)由已知 + +…+ =1﹣ ,n∈N*,得: ,

当 n=1 时,

= ,

当 n≥2 时,

=(1 ﹣

)﹣(1﹣

)=

,显然,n=1 时符合.



=

,n∈N*

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由(Ⅰ)知,an=2n﹣1,n∈N*. ∴bn= ,n∈N*.

又 Tn= +

+

+…+



∴ Tn=

+

+…+

+



两式相减得: Tn= +(

+

+…+

)﹣

= ﹣ ∴Tn=3﹣

﹣ .

21. (12 分) (2013?山东)已知函数 f(x)=ax2+bx﹣lnx(a,b∈R) (Ⅰ)设 a≥0,求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)设 a>0,且对于任意 x>0,f(x)≥f(1) .试比较 lna 与﹣2b 的大小. 【分析】 (Ⅰ)由函数的解析式知,可先求出函数 f(x)=ax2+bx﹣lnx 的导函数, 再根据 a≥0,分 a=0,a>0 两类讨论函数的单调区间即可; (Ⅱ)由题意当 a>0 时, 是函数的唯一极小值点,再结合对于任

意 x>0,f(x)≥f(1) .可得出

=1 化简出 a,b 的关系,再要研究

的结论比较 lna 与﹣2b 的大小构造函数 g(x)=2﹣4x+lnx,利用函数的最值建立 不等式即可比较大小 【解答】解: (Ⅰ)由 f(x)=ax2+bx﹣lnx(a,b∈R) 知 f′(x)=2ax+b﹣ 又 a≥0,故当 a=0 时,f′(x)= 若 b≤0 时,由 x>0 得,f′(x)<0 恒成立,故函数的单调递减区间是(0,+∞) ;
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若 b>0,令 f′(x)<0 可得 x< ,即函数在(0, )上是减函数,在( ,+ ∞)上是增函数、 所以函数的单调递减区间是(0, ) ,单调递增区间是( ,+∞) , 当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 2ax2+bx﹣1=0 由于△=b2+8a>0,故有 x2= ,x1=

显然有 x1<0,x2>0, 故在区间(0, )上,导数小于 0,函数是减函数;

在区间(

,+∞)上,导数大于 0,函数是增函数

综上,当 a=0,b≤0 时,函数的单调递减区间是(0,+∞) ;当 a=0,b>0 时, 函数的单调递减区间是(0, ) ,单调递增区间是( ,+∞) ;当 a>0,函数的 单调递减区间是(0, ) ,单调递增区间是( ,+∞)

(Ⅱ)由题意,函数 f(x)在 x=1 处取到最小值, 由(1)知, 是函数的唯一极小值点故 =1

整理得 2a+b=1,即 b=1﹣2a 令 g(x)=2﹣4x+lnx,则 g′(x)= 令 g′(x)= =0 得 x=

当 0<x< 时,g′(x)>0,函数单调递增; 当 <x<+∞时,g′(x)<0,函数单调递减 因为 g(x)≤g( )=1﹣ln4<0 故 g(a)<0,即 2﹣4a+lna=2b+lna<0,即 lna<﹣2b

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22. (14 分) (2013?山东)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)A,B 为椭圆 C 上满足△AOB 的面积为 点,射线 OE 交椭圆 C 与点 P,设 【分析】 (Ⅰ)设椭圆的标准方程为 的任意两点,E 为线段 AB 的中

,求实数 t 的值. ,焦距为 2c.由题意可



,解出即可得到椭圆的方程.

(Ⅱ) 由题意设直线 AB 的方程为 x=my+n, 代入椭圆方程 x2+2y2=2, 化为 (m2+2) y2+2mny+n2﹣2=0,利用判别式、根与系数的关系即可得到弦长|AB|,再利用点 到直线的距离公式即可得到原点 O 到直线 AB 的距离, 进而得到三角形 AOB 的面 积,利用 即可得到 m,n,t 的关系,再利用 ,及中点坐标公

式即可得到点 P 的坐标代入椭圆的方程可得到 m,n,t 的关系式与上面得到的 关系式联立即可得出 t 的值. 【解答】解: (Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为 ,焦距为 2c.



,解得

,∴椭圆的方程为



(Ⅱ) 由题意设直线 AB 的方程为 x=my+n, 代入椭圆方程 x2+2y2=2, 化为 (m2+2) y2+2mny+n2﹣2=0, 则△=4m2n2﹣4(m2+2) (n2﹣2)=4(2m2+4﹣2n2)>0, (*) , ∴|AB|=
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=

=



原点 O 到直线 AB 的距离 d= ∵ ∴ ,



=







. (**)

另一方面,

=



∴xE=myE+n=

=

,即 E





,∴



代入椭圆方程得



化为 n2t2=m2+2,代入(**)得 得 ∵t>0,∴ . .经验证满足(*) .

,化为 3t4﹣16t2+16=0,解

当 AB∥x 轴时,设 A(u,v) ,B(﹣u,v) ,E(0,v) ,P(0,±1) . (u>0) . 则 又 ∴ 综上可得: , ,∴ . . , ,解得 ,或 .

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