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山东省菏泽第一中学2013年高三1月份期末阶段考试数学(文)试题



第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题 共 12 小题,每小题 5 分,共60 分。在每小题 给出的四个选项中,只 有一项是符合 题目要求的。 1、设 M ? {1,2},N ? {a } ,则 a ? 1 是 N ? M ” 的( “ ”“
2

) D.既不充分又不必要条件 ( ) D.第四象限

A.充分不必要条件 2、

复数 z ?

B.必要不充分条件

C.充要条件

1 ? 2i (i为虚数单位) 在复平面上对应的点位于 1? i
B.第二象限 ) C.第三象限

A.第一象限

3、函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x 的零点有(

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 4.已知 A 船在灯塔 C 北偏东 85? 且 A 到 C 的距离为 2km, B 船在灯塔 C 西偏北 25? 且 B 到 C 的距离为

3km ,则 A, B 两船的距离为(
A. 2 3 km 5.已知 f ( x) ? A. ? B. 3 2 km

) C. 15 km D. 13 km

2

?

1 ? ) cos x, 则 f (? ) ? f ?( ) ? ( x 2 3 1 B. C. ? ? ?
x x 3

D. ?
2

3

?

6、 已知命题 p : ?x ? (??,0), 2 ? 3 ; 命题 q:?x ? R, f ( x) ? x ? x ? 6 的极大值为 6.则下面选项中真 命题是( A. ?p) ? (?q) ( ) B. ?p) ? (?q) ( C. p ? (?q) D. p ? q )

7.在 ?ABC中,A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列,则 B ? ( A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

2? 3

8、已知正三角形 ABC 的顶点 A((1,1),B (1, 3), ,顶点 C 在第一象限,若点 ( x, y ) 在 ?ABC 内部,则

z ? ? x ? y 的 取值范围是(
A. (1 ? 3, 2)

) C. ( 3 ? 1, 2) D. (0,1 ? 3) )

B. (0,2)

9、. 已知平面内一点 P 及 ?ABC ,若 PA ? PB ? PC ? AB ,则点 P 与 ?ABC 的位置关系是 ( A.点 P 在线段 AB 上 C.点 P 在线段 AC 上 B.点 P 在线段 BC 上 D .点 P 在 ?ABC 外部

10、若函数 f ( x) ? ?log (? x), x ? 0 ,若 af (?a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是( 1

?log 2 x, x ? 0 ? ? ?
2

)

A. ? 1,0)(0,1 B. ? ?, 1 ? 1 ? ?) ( ? ) ( ? )( , C. ? 1,0)( , ?) D. ? ?, 1 ? 0,1 ( ?1? ( ? )( )

11. 已知对数函数

是增函数,则函数

的图象大致是(



12、定义方程 f ( x) ? f ' ( x) 的实数根 x0 叫做函数 f (x) 的“新驻点” ,若函数

g ( x) ? x, h( x) ? ln( x ? 1), ? ( x) ? x 3 ? 1 的“新驻点”分别为 ?,?,? ,则 ?,?,? 的大小关系为
( ) B. ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? 第? 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 D. ? ? ? ? ?

A. ? ? ? ? ?

5? 5? , cos ) ,则角 ? 的最小正值为 6 6 ? ? 1 14.在区间 [? , ] 上随机取一个数 x, cos x 的值介于 0 到 之间的概率为 2 2 2
13.已知角 ? 的 终边上一点的坐标为 (sin 15.已知 x ? 0, y ? 0, lg 2 ? lg8 ? lg 2 ,则
x y

. .

1 1 的最小值是 ? x 3y

.

16、 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 2 2

2 2 侧(左)视图

俯 视 图

正(主)视 图 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。 17、 (本小题满分 12 分)
[来源:学科网 ]

在三角形 ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a、b、c 且 b ? c ? bc ? a
2 2

2

(1)求∠A; (2)若 a ?
[来源:学科网]

3 ,求 b 2 ? c 2 的取值范围。

(18) (本小题满分 12 分) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1, 2,3, 4 , (Ⅰ)从袋中随机取出两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的 编号为 m ,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的 编号为 n ,求 n<m ? 2 的概率。

19.(本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD, 是等边三角形,已知 BD=2AD=8, AB ? 2 DC ? 4 5 . (1 )设 M 是 PC 上的一点,求证:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积.

AB//DC, △PAD

2

20(本小题满分 12 分) 某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C ( x) 当年产量不足 80

1 2 10000 ;当年产量不小于 80 千件时 C ( x) ? 51x ? , x ? 10 x(万元) ? 1450(万元) 3 x 每件商品售价为 0.05 万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完。
千件时,C ( x) ? (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解 析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

21.(本小题满分 12 分)

[来源:学科网 ZXXK]

已知数列 {a n } , {c n } 满足条件: a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? 1, c n ? (1)求证数列 {a n ? 1} 是等比数列,并求数列 {a n } 的通项公式; (2)求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn ,并求使得 Tn ?

1 . (2n ? 1)( 2n ? 3)

1 * 对任意 n? N 都成立的正整数 m 的最小值 am

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (2a ? 1) x 2 ? (a 2 ? a) x . 3 2

(Ⅰ)若 f (x) 在 x ? 1 处取得极大值,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 ?m? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f (x) 的切线,求 k 的取值范围; (Ⅲ)若 a ? ?1 ,求 f (x) 在区间[0,1]上的最大值。

数学参考答案
1—5 ADBDD 6—10 BCACA 13. 11—12 BA

5? 3
15. 4

14.

1 3

16. 2? ? 2 3 3

17、解:①由余弦定理知:cosA
2 2 2 1 =b ?c ?a = ∴∠ 2 2bc A= ? ??????4 分

3

② 由 正 弦 定 理 得 :
a b c ? ? ?2 sin A sin B sin C

∴ b = 2sinB , c = 2sinC ???? ?? 6 分 ∴b +c =4(sin B+sin C)=2(1-cos2B+1-cos2C)
2 2
2 2

2? -B) 3 4? =4-2cos2B-2cos( -2B) 3
=4-2cos2B-2cos2( =4-2cos2B-2(- 1 cos2B- 3 sin2B) 2 2

= 4 - cos2B +

3 sin2B = 4 +
2sin(2B - ????

? ) 6
??10 分



?

? ? <2 B- < 6 6 7? 6


2? 3

又∵ 0 <∠B ∴

2sin(2B-

? )≤2 6
2

?1 <

∴3<b +c ≤6 18

2

??????12 分

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

[来源:学科网]

21、 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ a n ?1 ? 2a n ? 1 ∴ a n ?1 ? 1 ? 2(a n ? 1) ,∵ a1 ? 1 , a1 ? 1 ? 2 ? 0 …………2 分 ∴数列 {a n ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 . ∴ an ? 1 ? 2 ? 2 (Ⅱ)∵ c n ?
n ?1

∴ an ? 2 ? 1
n

…………4 分
[来源:学科网 ZXXK]

1 1 1 1 ? ( ? ) ………6 分 (2n ? 1)( 2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3
5 5 7 1 1 ? ) 2n ? 1 2 n ? 3
[来源:学科网]

∴ T ? 1 (1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? n
2 3

?

1 1 1 n n . ( ? )? ? 2 3 2n ? 3 3 ? (2n ? 3) 6n ? 9

…………8 分

2 9 ∵ Tn ?1 ? n ? 1 ? 6n ? 9 ? 6n ? 15n ? 9 ? 1 ? ? 1 ,又 Tn ? 0 , 2 2 Tn 6n ? 15 n 6n ? 15n 6n ? 15n

∴ Tn ? Tn ?1 , n ? N*,即数列 {Tn } 是递增数列. ∴当 n ? 1时, Tn 取得最小值 要使得 Tn ?

1 .……10 分 15

1 1 1 对任意 n? N*都成立,结合(Ⅰ)的结果,只需 ,由此得 m ? 4 .∴正 ? m am 15 2 ? 1
…………12 分
2 2

整数 m 的最小值是 5.

22、 解: (Ⅰ)因为 f ' ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? (a ? a) ? ( x ? a)[ x ? (a ? 1)] ?????2 分 令 f ' ( x) ? 0, 得x1 ? (a ? 1), x2 ? a ,所以 f ' ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)

(? ?,a)
+ Z 0

a
[来源:Z+xx+k.Com]

(a, a ? 1)


a ?1
0 极小值
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

(a ? 1,??)
+ Z

f (x)
??4 分 所以 a ? 1

极大值

??????????5 分

(由 f ' (1) ? 0 得出 a ? 0 ,或 a ? 1 ,在有单调性 验证也可以(标准略) ) (Ⅱ)因为 f ' ( x) ? ( x ? 2a ? 1) 2 ? 1
2

????????6 分

4

因为 ?m? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f (x) 的切线,

所以 f ' ( x) ? ( x ?

2a ? 1 2 1 ) ? ? k 无实数解 ????????7 分 2 4
所以 k ? ? 1 ?? ??????8 分
4

只要 f ' ( x) 的最小值大于 k (Ⅲ )因为 a ? ?1 ,所以 a ? 1 ? 0 , 当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 对 x ? [0,1] 成立

所以当 x ? 1 时, f (x) 取得最大值 f (1) ? a ?
2

1 6

????????9 分

当 0 ? a ? 1时,在 x ? (0, a) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 单调递增 在 x ? (a,1)时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递减 所以当 x ? a 时, f (x) 取得最大值 f (a) ?

1 3 1 2 a ? a ??????10 分 3 2

[来源:学科网 ZXXK]

当 a ? 0 时, 在 x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 单调递减 所 以当 x ? 0 , f (x) 取得最大值 f (0) ? 0 ????????11 分

当 ? 1 ? a ? 0 时,在 x ? (0, a ? 1) 时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递减 在 x ? (a ? 1,1) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 单调递增 又 f (0) ? 0, f (1) ? a 2 ? 1 ,
6

当 ?1 ? a ? 当?

6 6

时, f (x) 在 x ? 1 取得最大值 f (1) ? a ?
2

1 6

6 ? a ? 0 时, 6
6

f (x) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0

当 a ? ? 6 时, f (x) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0.????1 4 分 综上所述, 当 a ? 1或 ? 1 ? a ? ? 6 时, f (x) 取得最大值 f (1) ? a 2 ? 1 6 6 当 0 ? a ? 1时, f (x) 取得最大值 f (a) ? 1 a 3 ? 1 a 2
3 2

当 a ? ? 6 时, f (x) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0 6 当?

6 ? a ? 0 时, f (x) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 . 6



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