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6.2 等差数列(一)



【课题】 6.2
【教学目标】 知识目标: (1)理解等差数列的定义; (2)理解等差数列通项公式. 能力目标:

等差数列(一)

通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力. 【教学重点】 等差数列的通项公式. 【教学难点】 等差数列通项公式的推导. 【教学设计】 本节的主要内容是等差数列的定义、 等差数列的通项公式.

重点是等差数列的定义、 等 差数列的通项公式;难点是通项公式的推导.等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特 点: an?1 ? an ? d (常数).例 1 是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义. 教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳 方法是不完全归纳法.因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明.例 2 是求等差数列 的通项公式及其中任一项的巩固性题目 ,注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四 个量: a1 , d , n, an , 只要知道其中任意三个量,就可以求出另外的一个量. 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 6.2 等差数列. *创设情境 兴趣导入 【观察】 将正整数中 5 的倍数从小到大列出,组成数列: 播放 课件 观看 课件 介绍 了解 从实 例出 发使 学生 0 学 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间

教 过

学 程 (1)

教师 行为

学生 行为

教学 意图 自然

时 间

5,10,15,20,?. 将正奇数从小到大列出,组成数列: 1,3,5,7,9,?. 观察数列中相邻两项之间的关系,

质疑 (2)

思考

的走 向知 识点

发现:从第 2 项开始,数列(1)中的每一项与它前一项的差 都是 5;数列(2)中的每一项与它前一项的差都是 2.这两个 数列的一个共同特点就是从第 2 项开始,数列中的每一项与它 前一项的差都等于相同的常数. 引导 分析 自我 分析

引导 式启 发学 生得 出结 果 5

*动脑思考 探索新知 如果一个数列从第 2 项开始,每一项与它前一项的差都等 于同一个常数,那么,这个数列叫做等差数列.这个常数叫做 等差数列的公差,一般用字母 d 表示. 由 定 义 知 , 若 数 列 ?an ? 为 等 差 数 列 , d 为 公 差 , 则
an?1 ? an ? d ,即

总结 归纳

思考

带领 学生 分析

仔细 分析 讲解 关键

理解

记忆

an?1 ? an ? d

(6.1)

词语

10 *巩固知识 典型例题 例1 已知等差数列的首项为 12, 公差为?5, 试写出这个 说明 强调 观察 通过 例题 进一 步领 引领 思考 会等 差数 讲解 说明 主动 求解 列通 项公 45

数列的第 2 项到第 5 项. 解 由于 a1 ? 12, d ? ?5 ,因此

a2 ? a1 ? d ? 12 ? ?? 5? ? 7 ;

a3 ? a2 ? d ? 7 ? ?? 5? ? 2 ; a4 ? a3 ? d ? 2 ? ?? 5? ? ?3;

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 式

时 间

a5 ? a4 ? d ? ?3 ? ?? 5? ? ?8.
*运用知识 强化练习 1. 已知 ?an ? 为等差数列, a5 ? ?8 ,公差 d ? 2 ,试写出 提问 巡视 2. 写出等差数列 11,8,5,2,?的第 10 项. 指导 动手 求解

及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 25

这个数列的第 8 项 a8 .

*创设情境 兴趣导入 你能很快地写出例 1 中数列的第 101 项吗? 显然,依照公式(6.1)写出数列的第 101 项,是比较麻烦 的,如果求出数列的通项公式,就可以方便地直接求出数列的 第 101 项. 引导 分析 参与 分析 质疑 思考

从实 际事 例使 学生 自然 的走 向知 识点 30

*动脑思考 探索新知 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则 总结 归纳 思考 归纳 带领 学生 总结 问题 仔细 分析 讲解 关键 词语 (6.2) 理解 记忆 得到 等差 数列 通项 公式 35

a1 ? a1 ,

a2 ? a1 ? d ,
a3 ? a2 ? d ? ?a1 ? d ? ? d ? a1 ? 2d , a4 ? a3 ? d ? ?a1 ? 2d ? ? d ? a1 ? 3d ,
. . . . . . 依此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式
an ? a1 ? ? n ? 1? d .

知道了等差数列 ?an ? 中的 a1 和 d ,利用公式(6.2) ,可以

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

直接计算出数列的任意一项. 在例1的等差数列 {an } 中, a1 ? 12 , d ? ?5 ,所以数列的 通项公式为
an ? 12 ? (n ? 1)(?5) ? 17 ? 5n ,

引导 启发 学生 思考 求解

数列的第 101 项为
a101 ? 17 ? 5 ? 101 ? ?488 .

【想一想】 等差数列的通项公式中,共有四个量: an 、 a1 、 n 和 d , 只要知道了其中的任意三个量,就可以求出另外的一个量. 针 对不同情况,应该分别采用什么样的计算方法? *巩固知识 典型例题 例 2 求等差数列 . . ? 1,5,11 ,17, . 的第 50 项. 解 式为 由于 a1 ? ?1, d ? a2 ? a1 ? 5 ? ?? 1? ? 6, 所以通项公 引领 思考 说明 强调 观察

通过 例题 进一 步领 会

an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?1 ? (n ? 1) ? 6 ? 6n ? 7,

讲解 说明

主动 求解 注意 观察

即 故

an ? 6n ? 7.

学生 是否

a50 ? 6 ? 50 ? 7 ? 293.
例3 解 在等差数列 ?an ? 中, a100 由于公差 d ?

引领 分析

观察

理解 知识 点 45

1 ? 48, 公差 d ? , 求首项 a1. 3

1 , 故设等差数列的通项公式为 3
an ? a1 ? (n ? 1) ? 1 3

强调 含义

思考 求解

教 过 由于 a100 ? 48 ,故

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

1 48 ? a1 ? (100 ? 1) ? , 3
解得
a1 ? 15.

反复 强调

说明 【小提示】
n ? 100 , 本题目初看是知道 2 个条件, 实际上是 3 个条件:

领会

an ? 48, d ?

1 . 3

思考 求解

例4

小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好

构成一个等差数列,他们三人的年龄之和为 120 岁,爷爷的年龄 比小明年龄的 4 倍还多 5 岁,求他们祖孙三人的年龄. 分析 知道三个数构成等差数列,并且知道这三个数的 50

和 ,可以将这三个数设为 a ? d , a , a ? d , 这样可以方便地求 出 a ,从而解决问题. 解 设小明、爸爸和爷爷的年龄分别为 a ? d , a , a ? d , 其中 d 为公差 则

??a ? d ? ? a ? ?a ? d ? ? 120, ? ? 4?a ? d ? ? 5 ? a ? d
解得

a ? 40, d ? 25
从而

a ? d ? 15, a ? d ? 65.
答 小明、爸爸和爷爷的年龄分别为 15 岁、40 岁和 65 岁. 【注意】 将构成等差数列的三个数设为 a ? d , a , a ? d ,是经常使 用的方法.

教 过 *运用知识 强化练习 练习 6.2.2

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

启发 引导

思考 了解

可以 交给 学生

2 8 1.求等差数列 ,1, ,?的通项公式与第 15 项. 5 5
2.在等差数列 ?an ? 中, a5 ? 0 , a10 ? 10 ,求 a1 与公差 d . 3.在等差数列 ?an ? 中, a5 ? ?3 , a9 ? ?15 ,判断-48 是 否为数列中的项,如果是,请指出是第几项.

提问 巡视 指导

动手 求解

自我 发现 归纳

60 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 等差数列的通项公式是什么? 结论: 等差数列的通项公式 质疑 小组 讨论 及时 了解 学生 知识 回答 归纳 强调 理解 掌握 情况

an ? a1 ? ? n ? 1? d .

以小组 讨论师

强化

生共同 归纳的 形式强 调重点 突破难 点

70

*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 写出等差数列 引导 回忆

检验 学生 学习 效果 提问 反思

1 3 7 , ,1, ,? 5 5 5 的通项公式,并求出数列的第 11 项.

培养 学生

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 总结

时 间

巡视 指导

动手 求解

反思 学习 过程 的能 力 80

*继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 6.2(必做) ;学习指导 6.3(选 做) (3)实践调查:寻找生活中等差数列的实例 90 说明 记录 分层 次要 求



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