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河北省定兴第三中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文



2015-2016 学年第二学期期中考试 高二文科数学试卷
(考试时间:120 分钟;分值:150 分) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.下列命题错误的个数( )

①“在三角形 ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>

B”的逆命题是真命题; ②命题 p:x≠2 或 y≠3,命题 q:x+y≠5,则 p 是 q 的必要不充分条件; ③命题“若 a +b =0,则 a,b 都是 0”的否命题是“若 a +b ≠0,则 a,b 都不是 0”. A.0 B.1 C.2 D.3 )
2 2 2 2

2.已知命题 p:? x∈R,sinx≤1,则(

A.¬p:? x0∈R,sinx0≥1B.¬p:? x∈R,sinx≥1 C.¬p:? x0∈R,sinx0>1D.¬p:? x∈R,sinx>1 3. “mn<0”是“方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线”的(
2 2

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知 i 是虚数单位,复数 A. 0 B. 1
x

?5?i 的模为( 2 ? 3i
C. 2



D. 2 )

5.设 a∈R,若函数 y=e +ax,x∈R,有大 于零的极值点,则( A.a<﹣1 B.a>﹣1
2

C.

D.

6.已知点 P 是抛物线 y =2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线 的距离之和的最 小值为( A. B.3 ) C. D.

7.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示, 则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值( )

1

A. 2 个 8.设双曲线 ﹣

B.1 个

C.3 个

D.4 个

=1(a>0,b>0)的离心率为 ) ﹣ =1 C. ﹣

,且它的一个焦点在抛物线 y2=12x 的准

线上,则此双曲线的方程为( A. ﹣ =1 B.

=1

D.



=1

9.已知具有线性相关的两个变量 x,y 之间的一组数据如表: x y 0 2.2 1 4.3 2 t ) D.4.4 ) C. (2,? 3 4.8 4 6.7

且回 归方程是 =0.95x+2.6,则 t=( A.4.7 B.4.6 C.4.5

10.点 P(1,? 3) ,则它的极坐标是( A. ( 2,

?
3

)

B. ( 2,

4? ) 3

?
3

)

D. ( 2,?

4? ) 3

11.设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x2 , g ( x) ? ln x 的图象分别交于点 M , N ,则当 | MN | 达到最 小时 t 的值为 ( A.1 ) B.

1 2

C.

5 2

D.

2 2

12.有 10 个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球 任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积 的和为( A.45 ) B.55 C.90 D.100 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把最简答案填在答题卡横线上)
2

13.在平面直角坐标系 xOy,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1F2 在 x 轴上,离心率为 的直线交于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为 .

.过 Fl

14 .函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (1, f (1)) 处的切线方程是 y ? 3x ? 2 , f (1) ? f / (1) = 15.不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? a ? 2a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为
2

. .

16.已知直线 l:x﹣y+4=0 与圆 C: 为 .

,则 C 上各点到 l 的距离的最小值

三.解答题(本大题共6小题,70 分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) . 17. (本小题满分 10 分)随机询问某校 40 名不同性别的学生在购买食物时是否读营养说明, 得到如下 2×2 列联表: 读营养说明 男 女 合计 (1)补全列联表 (2)根据以上列联表进行独立性检验,能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 “性别与是否读营养说明之间有关系”? 附 :
2

不读营养说明

合计

16 20 16

K2



P(K2≥k) k

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

n?ad-bc? .临界值表: ?a+b??c+d??a+c??b+d?

18. (本小题满分 12 分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之 间的关系进行分析研究,他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每 天每 100 颗种子中的发芽数, 得到如下资料: 日期 温差 x(℃) 发芽 y(颗) 12 月 1 日 10 23 12 月 2 日 11 25 12 月 3 日 13 30 12 月 4 日 12 26 12 月 5 日 8 16

该农科所确定 的研究方案是:先从这 5 组数据中选取 3 组数据求线性回归方程,
3

剩下的 2 组数据用于回归方程检验. (1)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的 2 组数据,请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b x ? a ; (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认为得 到的线性回归方程是可靠的,试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠? (3)请预测温差为 14℃的发芽数。
? ? ?

? 其中? ^ a= y -b x . ?^
的 2 倍,得曲线 C.

n

n

∑ ?xi- x ??yi- y ? i ∑ xiyi-n x y =1 ^ i=1 b= = n , n 2 2 2 ∑ ? x ∑ x i- x ? i-n x i=1 i=1

19.(本小题满分 12 分)将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来

2

2

(1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 20. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=|x﹣a|﹣|x+3|,a∈R. (1) 当 a=﹣1 时,解 不等式 f(x)≤1; (2) 若当 x∈[0,3]时,f(x)≤4,求 a 的取值范围. 21. (本小题满分 1 2 分) 已知椭圆 C:

x2
2

a
3 )在 C 上. 2
(1) 求椭圆 C 的方程

?

y2 b
2

的离心率为 ? 1(a>b>0)

3 6 , 点P ( , 2 3

(2) 与圆 x +y =b 相切的直线 l 与 C 交于不同两点 M, N, 当|MN|= 3 时, 求直线 l 的斜率.
2 2 2

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ?

ln x ? 1 , x

( 1) 求函数 f ( x ) 的单调区间,并判断是否有极值;
4

(2) 若对任意的 x ? 1 ,恒有 ln( x ? 1) ? k ? 1≤ kx 成立,求 k 的取值范围;

5

高二文科数学参考答案 1.——5 13. + BCBD A =1 6——10 ABCCC 14.4; 15. 11——12 DA 16.

17.解: (1) 读营养说明 男 女 合计 ???4 分 (2)因为 所以能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下, 认为“性别与是否读营养说明之间有关系”. ????10 分 18. ,???8 分 16 8 24 不读营养说明 4 12 16 合计 20 20 40

所以 y 关于 x 的线性回归方程为

.

??????? 6 分

所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的.??????? 10 分 (3)当 x=14 时,有 故温差为 14℃的发芽数约为 32 颗。?? 12 分
? ?x=x1 ?y=2y1 ?

19. (1)设(x1,y1)为圆上的点,经变换为 C 上点(x,y),依题意,得?

,由 x1+

2

y 2 2 y2 1=得 x +( ) =1,???4 分
2
6

即曲线 C 的方程为 x + =1, 4 故 C 的参数方程为?
? ?x=cost ?y=2sint ?

2

y2

(t 为参数) ???6 分

y ? ?x2+ =1 4 (2)由? ? ?2x+y=2.

2

解得?

? ?x=1 ?y=0 ?

或?

? ?x=0 ?y=2 ?

.

1 1 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则 P1P2 中点为( ,1),所求直线斜率为 k= ,于是所求直线 2 2 1 1 方程为 y-1= (x- ). 2 2 化为极坐标方程,得 2ρ cosθ -4ρ sinθ =-3,???????12 分 3 即ρ = . 4sinθ -2cosθ ???????12 分

20.解: (Ⅰ)当 a=﹣1 时,不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1. 当 x≤﹣3 时,不等式化为﹣(x+1)+(x+3)≤1,不等式不成立; 当﹣3<x<﹣1 时,不等式化为﹣(x+1)﹣(x+3)≤1,解得﹣ ≤x<﹣1; 当 x≥﹣1 时,不等式化为(x+1)﹣(x+3)≤1,不等式必成立. 综上,不等式的解集为[﹣ ,+∞) .???? 6 分 (Ⅱ)当 x∈[0,3]时,f(x)≤4 即|x﹣a|≤x+7, 由此得 a≥﹣7 且 a≤2x+7. 当 x∈[0,3]时,2x+7 的最小值为 7, 所以 a 的取值范围是[﹣7,7].?????12 分 21. 解: (Ⅰ)由题意,有 e =1﹣
2

= ,得 a =3b ,即椭圆 C 的方程为

2

2



∵点 P 在 C 上,将点 P( ∴椭圆 C 的方程为



)的坐标代入,得 b =1,进而 a =3,

2

2

;????4 分

7

(Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,不妨设 l 的方程为 x=1,代入 得 M(1, ) , N(1,﹣ ) ,|MN|= ≠ ,不合题意.???6 分



当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y=kx+m, 由题意,有 ,即 m =k +1.????7 分
2 2

将 y=kx+m 代入

,得(1+3k )x +6kmx+3m ﹣3=0,???8 分

2

2

2

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 x1+x2=

,x1x2=

,????9 分

∴|MN|=

=

×

= 整理,得 k ﹣2k +1=0,解得 k =1,k=±1.
4 2 2

,???? 11 分

综上,可知直线 l 的斜率为±1.????????12 分 22. 解: (Ⅰ) f ( x ) ?

ln x ? 1 ? ln x , (x ? 0) , f ?( x ) ? ,???1 分 x x2

即 x ? (0,1), f ?( x) ? 0 ,当 x ? (1, ??) , f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减, 在 x ? 1 处取得极大值,极大值为 f (1) ? 1 ,无极小值.????????6 分 (Ⅱ)因为 ln( x ? 1) ? k ? 1≤ kx , ? ln( x ? 1) ? 1 ≤ k ( x ? 1) ?

ln( x ? 1) ? 1 ≤k x ?1

k ≥ f ( x ?1) max 对任意的 x ? 1 恒成立,由(1)知 f ( x) max ? f (1) ?1 ,
则有 f ( x ?1) max ? 1 ,所以 k ≥ 1 .????????????12 分

8



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