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湖南省衡阳八中、永州四中、郴州一中湘南三校2015-2016学年高一数学下学期入学分班考试试题(理科班)



衡阳八中、永州四中、郴州一中湘南三校联盟 2015-2016 年度高一年级理科分班联考综合检测理科数学(试题卷)
注意事项: 1.本卷共 25 题,满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.考生领取到试卷后, 应检查试卷是否有缺页漏页, 重影模糊等妨碍答题现象, 如有请立即向监考老师通报。 3.考区填写:衡阳八中 A1 永州四中 A2 郴州一中 A3 4.分数线

通告:经过三校命题组联合商议,三校的分数线分别如下: A 衡阳八中 永州四中 郴州一中 118 106 106 B 86 82 80 C 69 64 62 控制线 48 42 42

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.4π

D.

6.已知某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得 这个几何体的体积是( )

二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 【一】必做题(以下三题考生必须作答,每题 5 分,共 15 分)

A.

B.

C.1

D.2

13.已知函数 是 .

则满足不等式

的 x 的取值范围

14.如图,P 是二面角α ﹣AB﹣β 棱 AB 上的一点,分别在α ,β 上引射线 PM, PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α ﹣AB﹣β 的大小是 __________.

一.选择题(每题 5 分,共 60 分。在每题后面所给的四个选项中,只有一个是 正确的)

第 6 题图

第 7 题图 ) 15.已知圆 C:x +y ﹣2ax﹣2(a﹣1)y﹣1+2a=0(a≠1)对所有的 a∈R 且 a≠1 总存在直线 l 与圆 C 相切,则直线 l 的方程为 . 【二】选做题(以下三题考生任选一题作答,共 5 分。三题都选者按第 16 题计 分,请将所选题号在答题卡上涂黑) 16.给出下列命题: ①已知集合 M 满足??M? {1,2,3},且 M 中至少有一个奇数,这样的集合 M 有 6 个;
2 2

7.已知斜四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的各棱长均为 2,∠A1AD=60°,∠BAD=90°,平 面 A1ADD1⊥平面 ABCD,则直线 BD1 与平面 ABCD 所成的角的正切值为(

1.对实数 a 与 b,定义新运算“?”:
2 2

.设函数 f(x)= A. B.
2 2

(x ﹣2)?(x﹣x ),x∈R.若函数 y=f(x)﹣c 的图象与 x 轴恰有两个公共 点,则实数 c 的取值范围是( )

C.

D. )

8.直线 x﹣y+3=0 被圆(x+2) +(y﹣2) =2 截得的弦长等于(

A.

B.

A. 9.过点(

B. )引直线 l 与曲线 y=

C.2

D.

相交于 A,B 两点,O 为坐标原 ) D.

②已知函数 f(x)= 0);

的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是(﹣12,

C.

D. )

点,当△ABO 的面积取得最大值时,直线 l 的斜率等于( D.(0,3) A. B. C.

2.已知函数 f (2x﹣1) 的定义域为 (1, 2) , 则函数 f (x+1) 的定义域为 ( A.(0,2)
2

③函数 f(x)=loga(x﹣3)+1(a>0 且 a≠1)图象恒过定点(4,2); ④已知函数 f(x)=x +bx+c 对任意实数 t 都有 f(3+t)=f(3﹣t),则 f(1) >f(4)>f(3). 10.函数 ,若互不相等的实数 x1,x2,x3 满 ) D.(﹣1, 其中正确的命题序号是 (写出所有正确命题的序号) . 17.对于四面体 ABCD,以下说法中,正确的序号为 ②若 AB⊥CD,BC⊥AD,则 BD⊥AC; ③若所有棱长都相等,则该四面体的外接球与内切球的半径之比为 2:1; ④若以 A 为端点的三条棱两两垂直,则 A 在平面 BCD 内的射影为△BCD 的垂心; ⑤分别作两组相对棱中点的连线,则所得的两条直线异面. 2 2 18.已知点 p(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA、PB 是圆 C:x +y ﹣2y=0 的两条切线,A、B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值 为 . 三.解答题(分两部分,共 70 分) 【一】必做题(以下五题考生必做,共 60 分)
2

B.(1,2) ) B.a≥﹣3

C.(1,3)

3.如果函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间[4,+∞)上是递增的,那么实数 a 的取值范围是( A.a≤3 C.a≤5 D.a≥5 ,有下列四个命题: 则 ∥ ∥ ; 则 ∥ .

足 f(x1)=f(x2)=f(x3),则 x1+x2+x3 的取值范围为( 4.已知两个不同的平面 ①若 ③若 ∥ , ,则 ∥ , 和两个不重合的直线 ; ,则 ) C.2 D.3
2

A.(﹣5,4] 3]

B.(﹣5,3)
x ﹣x

C.(﹣1,4)

①若 AB=AC,BD=CD,E 为 BC 中点,则平面 AED⊥平面 ABC;

②若 ; ④若

11.已知函数 f(x)=ka ﹣a (a>0 且 a≠1)在 R 上是奇函数,且是增函数, 则函数 g(x)=loga(x﹣k)的大致图象是( )

其中正确命题的个数是( A.0 B.1

5.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a,b 是方程 x +x+c=0 的 A. 两个实根,且 0≤c≤ ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是 ( ) B. ) C. D. 12.已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,则球面面积是(

1

19.(本题满分 10 分)如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,BA=BD= ,AD=2,PA=PD= ,E,F

分别是棱 AD,PC 的中点,二面角 PADB 为 60°. (1)证明:平面 PBC⊥平面 ABCD; (2)求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.

20.(本题满分 11 分)提高五爱隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间 的交通状况,现将隧道内的车流速度记作υ (单位:千米/小时),车流密度记 作 x(单位:辆/千米).研究表明:当隧道内的车流密度达到 180 辆/千米时, 会造成该路段道路堵塞,此时车流速度为 0 千米/小时;当车流密度不超过 30 辆/千米时,车流速度为 50 千米/小时;当 30≤x≤180 时,车流速度υ 是车流 密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0<x≤180 时,求函数υ (x)的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多少时,车流量(单位时间内通过隧道内某观测点的车 辆数,单位:辆/小时)f(x)=x?υ (x)可以达到最大,并求出最大值.

23.(本题满分 14 分)已知函数 g(x)=ax ﹣2ax+1+b(a≠0,b<1),在区间

2

[2,3]上有最大值 4,最小值 1,设 f(x)= (Ⅰ)求 a,b 的值;



(Ⅱ)不等式 f(2 )﹣k?2 ≥0 在 x∈[﹣1,1]上恒成立,求实数 k 的范围; (Ⅲ)方程 的范围. 有三个不同的实数解,求实数 k

x

x

21.(本题满分 12 分)定义:圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆 的距离比λ ; (1)设圆 C0:x +y =1,求过 P(2,0)的直线关于圆 C0 的距离比λ = 方程; (2)若圆 C 与 y 轴相切于点 A(0,3),且直线 y=x 关于圆 C 的距离比λ = 求此圆 C 的方程; (3)是否存在点 P,使过 P 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆 C1: (x+1) +y =1 与 C2:(x﹣3) +(y﹣3) =4 的距离比始终相等?若存在,求出 相应的 P 点坐标;若不存在,请说明理由. (3)设 ,若函数 f(x)与 h(x)的图象有且 只有一个公共点,求实数 a 的取值范围. 25.如图,圆 (1)若圆 (2)已知 : 的方程; (点 在点 的左侧) . 过点 .
2 2 2 2 2 2

的直线

【二】选做题(考生需从下面的两题中任选一题作答,共 10 分。两题都选者按 第 24 题计分。) 24.已知函数 f(x)=log9(9 +1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若函数 y=f(x)的图象与直线 没有交点,求 b 的取值范围;
x



与 轴相切,求圆 , 圆 与 :

22.(本题满分 13 分)如图所示,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=BB1,AC1⊥平 面 A1BD,D 为 AC 的中点. (1)求证:B1C∥平面 A1BD; (2)求证:B1C1⊥平面 ABB1A1; (3)设 E 是 CC1 上一点,试确定 E 的位置使平面 A1BD⊥平面 BDE,并说明理由.

轴相交于两点

任作一条直线与圆 使得

相交于两点

.问:是否存在实数 ,

?若存在,求出实数 的值,若不存在,请说明理由.

2

化简可得 k(2m+n﹣1)+(m﹣2n﹣3)=0,或 k(2m﹣n+5)+(3﹣m﹣2n)=0, 2015-2016 年度湘南三校联盟理科入学联考数学参考答案 一.选择题(每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 D 5 C 6 B 7 C 8 D ∴直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 . 即有 或 , 20.(Ⅰ)由题意知,当 0≤x≤30 时,v(x)=50; 9 当 30≤ 10 12x)=ax+b, x≤180 11 时,设 v( B D A D 由已知可得 ,解得 . 解得 时, ,此时 所以函数υ (x)= , 当 时, ,此时 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f(x)= ,矛盾,舍去! 当 时,此时 ,矛盾,舍去! 综上所述,实数 的取值范围是 14.90° 15.y=﹣x+1 16.①④ 17.①②④ 三.解答题(共 70 分) 19.(1)连接 PE,BE, ∵PA=PD,BA=BD,而 E 为 AD 中点, ∴PE⊥AD,BE⊥AD,∴∠PEB 为二面角 P﹣AD﹣B 的平面角. 在△PAD 中,由 PA=PD= 在△ABD 中,由 BA=BD= ,AD=2,解得 PE=2. ,AD=2,解得 BE=1. 解得 k=± , (x﹣2);
2 2 2

二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. 当 或 . ),使得使过 P 的任意两条互相垂

则存在这样的点 P(1,﹣1)和(﹣ , 直的直线 分别关于相应两圆的距离比始终相等. 22. (1)证明:连接 AB1 与 A1B 相交于 M,

当 0≤x≤30 时,f(x)=50x 为增函数, ∴当 x=30 时,其最大值为 1500. 当 30≤x≤180 时,f(x)=﹣ x +60x=﹣ (x﹣90) +2700, 当 x=90 时,其最大值为 2700, 综上,当车流密度为 90 辆/千米时,车流量最大,最大值为 2700 辆. 21.(1)设过 P(2,0)的直线方程为 y=k(x﹣2), 圆 C0:x +y =1 的圆心为(0,0),半径为 1,
2 2 2 2

. 18.2

由题意可得

=



则 M 为 A1B 的中点,连接 MD, 又 D 为 AC 的中点, ∴B1C∥MD, 又 B1C?平面 A1BD, ∴B1C∥平面 A1BD. (2)∵AB=BB1, ∴四边形 ABB1A1 为正方形, ∴AB1⊥A1B, 又∵AC1⊥面 A1BD, ∴AC1⊥A1B, ∴A1B⊥面 AB1C1,
2 2 2

即有所求直线为 y=±

(2)设圆 C 的方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r , 由题意可得 a +(3﹣b) =r ,①
2 2 2

在△PEB 中,PE=2,BE=1,∠PEB=60?, 由余弦定理,解得 PB= ∴∠PBE=90?,即 BE⊥PB. 又 BC∥AD,BE⊥AD,∴BE⊥BC,∴BE⊥平面 PBC. 又 BE? 平面 ABCD,∴平面 PBC⊥平面 ABCD. (2)连接 BF,由(1)知,BE⊥平面 PBC, ∴∠EFB 为直线 EF 与平面 PBC 所成的角. ∵PB= ∴AM= ,∠ABP 为直角,MB= PB= ,∴EF= . = . 由题意可得 = , , y﹣n=﹣ (x﹣m),又 C1:(x+1) +y =1 的圆心为(﹣1,0),半径为 1, C2:(x﹣3) +(y﹣3) =4 的圆心为(3,3),半径为 2,
2 2 2 2

=



|a|=r②,

=

r③

解方程可得 a=﹣3,b=3,r=3,或 a=1,b=3,r=1. 则有圆 C 的方程为(x+3) +(y﹣3) =9 或(x﹣1) +(y﹣3) =1; (3)假设存在点 P(m,n),设过 P 的两直线为 y﹣n=k(x﹣m)和
2

∴A1B⊥B1C1, 又在直棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BB1⊥B1C1, ∴B1C1⊥平面 ABB1A1. (3)当点 E 为 CC1 的中点时, 平面 A1BD⊥平面 BDE, ∵D、E 分别为 AC、CC1 的中点, ∴DE∥AC1, ∵AC1⊥平面 A1BD, ∴DE⊥平面 AB1D,又 DE? 平面 BDE, ∴平面 A1BD⊥平面 BDE.
3

又 BE=1,∴在直角三角形 EBF 中,sin∠EFB=

23. (Ⅰ)(1)g(x)=a(x﹣1) +1+b﹣a 当 a>0 时,g(x)在[2,3]上为增函数
2

∴k>0. 由 或﹣3;但 ,不合,舍去;而 ; 方程(*)的两根异号?(a﹣1)?(﹣1)<0,即﹣a+1<0,解得:a>1.

故 当 a<0 时,g(x)在[2,3]上为减函数 24.(1)因为 y=f(x)为偶函数,所以? x∈R,f(﹣x)=f(x), 故 ∵b<1 ∴a=1,b=0 (Ⅱ)由(Ⅰ)即 g(x)=x ﹣2x+1.
2

25.(Ⅰ)因为 得 由题意得 故所求圆 C 的方程为 (Ⅱ)令 恒成立 即 所以 假设存在实数 , , (2)由题意知方程 解.
x

, ,所以 . ,

即 log9(9 +1)﹣kx=log9(9 +1)+kx 对于? x∈R 恒成立. 即

﹣x

x

. 即(2k+1)x=0 恒成立, 而 x 不恒为零,所以 . 即方程 log9(9 +1)﹣x=b 无
x

,得

方程 f(2 )﹣k?2 ≥0 化为

x

x

当直线 AB 与 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 代入 得, ,





,k≤t ﹣2t+1 记 ?(t)=t ﹣2t+1
2

2

令 g(x)=log9(9 +1)﹣x,则函数 y=g(x)的图象与直线 y=b 无交点.

∵x∈[﹣1,1]∴ ∴φ (t)min=0 ∴k≤0

因为

设 ,从而 . 因为

从而

任取 x1、x2∈R,且 x1<x2,则 (Ⅲ)方程 于是 化为 |2 ﹣1| ﹣(2+3k)|2 ﹣1|+(1+2k)=0,|2 ﹣1|≠0 令|2 ﹣1|=t,则方程化为 t ﹣(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0)
x 2 x 2 x x

,即 g(x1)>g(x2),



所以 g(x)在(﹣∞,+∞)是单调减函数.

因为 ∞,0).

, 所以

. 所以 b 的取值范围是 (﹣

∵方程 ∴由 t=|2 ﹣1|的图象知,
x

有三个不同的实数解, (3)由题意知方程 令 3 =t>0,则关于 t 的方程 有一个正根. 若 a=1,则 ,不合,舍去;
x

有且只有一个实数根. 因为 (记为(*))有且只 , 所以 , 即 , 得 . 当直线 AB 与 轴垂直时,也成立. 故存在 ,使得

t ﹣(2+3k)t+(1+2k)=0 有两个根 t1、t2, 且 0<t1<1<t2 或 0<t1<1,t2=1 记 ?(t)=t ﹣(2+3k)t+(1+2k)
2

2

若 a≠1,则方程(*)的两根异号或有两相等正根. 则 或
4



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