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备战2014高考数学真题集锦:《三角函数的性质和解三角形》[1]



三角函数

3.三角函数的单调区间: ? ?? ? 3? ? ? ? (1)y ? sin x在 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 上单调递增, 在 ? 2k? ? , 2k? ? ?k ? Z ? 2 2? 2 2 ? ? ? ?
单调递减; 调递增; (3) y ? tan x 在开区间 ? ? 具有单调性. (2) y ?

cos x 在 ? 2k? , 2k? ? ? ? ? k ? Z ? 上单调递减,在 ? 2k? ? ? , 2k? ? 2? ? ? k ? Z ? 上单

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 内都是增函数.注意在整个定义域上不 2 ? 2 ?

y ? A cos(? x ? ? )、y ? A tan(? x ? ? ) 的单调区间的求解和上述类似. 5.三角函数的周期性 (1)正弦函数 y ? sin x 、余弦函数 y ? cos x 的最小正周期都是 2 ? ;正切函数 y ? tan x 的 最小正周期是 ? ,它与直线 y ? a 的两个相邻交点之间的距离是一个周期 ? .
(2)函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的最大值与最小值间的距离为其函 数的半个周期;相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期;函数取最值的点与相邻的 1 与 x 轴的交点间的距离为其函数的 个周期. 4

7.三角函数的对称性

( 1 ) 正弦 函数 y ? sin x( x ? R ) 是 奇 函数, 对称 中心 是 ? k? , 0 ?? k ? Z ? , 对称 轴是 直线

x ? k? ?

?
2

?k ? Z ? ;
? ?

(2)余弦函数 y ? cos x( x ? R ) 是偶函数,对称中心是 ? k? ?

?

x ? k? ? k ? Z ? .

? , 0 ? ? k ? Z ? ,对称轴是直线 2 ?

注意:正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点.

? k? ? ,0? ?k ? Z ? . ? 2 ? 注意:正(余)切型函数的对称中心有两类:一类是图象与 x 轴的交点,另一类是渐近线与 x 轴
(3)正切函数 y ? tan x 是奇函数,对称中心是 ? 的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处.

9. 求边问题 (1)边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c,b-c < a,c-a > b; (2)正弦定理的变式 : a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , b ? 2 R sin C ; (3)余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A .变形式:

a?b?c a?b ? ? a ; sin A ? sin B ? sin C sin A ? sin B sin A (4)利用面积公式: a ? 2 S 、ab ? 2 S ; ha sin C
(5)射影定理: a ? b cos C ? c cos B . 10.求三角形的面积问题 三角形的面积公式:

1 1 1 aha= bhb= chc (ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高) ; 2 2 2 1 1 1 (2) S ? = ab sin C = bc sin A = ac sin B ; 2 2 2 ( 3 ) S? = 1 r (a ? b ? c) ( 其 中 r 为 三 角 形 内 切 圆 半 2 a ? b ? c斜边 2S? 径), r?内切圆 ? ; , r直角?内切圆 ? 2 a?b?c
(1) S ? = (4) S ?OAB ?

1 (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB) 2 .(与向量的数量积联系) 2

(2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化 , 达到角的统一或边的统一. (3)在△ABC 中,熟记并会证明:∠A,∠B,∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°; △ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A、∠B、∠C 成等差数列且 a、b、c 成等比数列. (4)锐角三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任 意两边的平方和大于第三边的平方; 钝角角三角形 ? 三内角一个为钝角 ? 一个角的余弦值为负值 ? 两锐角的和仍为锐角 ? 两个锐角对应的两边的平方和小于第三边的平方. (5)三角形内常见的不等关系 ① a ? b ? A ? B ? sin A ? sin B ; ②锐角 ?ABC 中, A ? B ?

?
2

, sin A ? cos B ,cos A ? sin B ;

③钝角 ?ABC 中,设 C 为钝角,则 A ? B ?

?
2

, sin A ? cos B ,cos A ? sin B .

12.三角函数的最值
求三角函数的最值,主要利用正、余弦函数的有界性,一般通过三角变换化为下列基本类 型处理: (1) y ? a sin x ? b ,设 t ? sin x 化为一次函数 y ? at ? b 在闭区间 t ? [?1,1] 上的最值求之;

【方法技巧提炼】
1.如何判断函数 f (? x ? ? ) 的奇偶性 根据三角函数的奇偶性,利用诱导公式可推得函数 f (? x ? ? ) 的奇偶性,常见的结论如下: (1)若 y ? A sin(? x ? ? ) 为偶函数, 则有 ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ;若为奇函数则有 ? ? k? (k ? Z ) ;

(2) 若 y ? A cos(? x ? ? ) 为 偶 函 数 , 则 有 ? ? k? (k ? Z ) ; 若 为 奇 函 数 则 有

? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ;

(3)若 y ? A tan(? x ? ? ) 为奇函数则有 ? ? k? (k ? Z ) . 2.如何确定函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0) 当 ? ? 0 时函数的单调性 对于函数 y ? A sin(? x ? ? ) 求其单调区间,要特别注意 ? 的正负,若为负值,需要利用 诱导公式把负号提出来,转化为 y ? ? A sin(?? x ? ? ) 的形式,然后求其单调递增区间,应把

?? x ? ? 放在正弦函数的递减区间之内;若求其递减区间,应把 ?? x ? ? 放在正弦函数的递
增区间之内. 3.求三角函数的周期的方法 (1)定义法:使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f (x+T)=f (x).利用定义我们可采用取值 进行验证的思路,非常适合选择题; (2)公式法: f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 和 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的最小正周期都是 T ?

2? , |? |

f ( x) ? A tan(? x ? ? ) 的周期为 T ?

? .要特别注意两个公式不要弄混; ?

(3)图象法:可以画出函数的图象,利用图象的重复的特征进行确定,一般适应于不易直接判 断,但是能够容易画出函数草图的函数; (4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响: 一般说来, 某一周期函数解析式加绝对值或平方, 其周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性 不变,其它不定. 如 y ? sin 2 x, y ? sin x 的周期都是 ? , 但 y ? sin x ? cos x 的周期为

? 1 ? y ?| 2sin(3 x ? ) ? |, y ?| 2sin(3 x ? ) ? 2 | , y ?| tan x | 的周期不变. 6 2 6

? ,而 2

4.余弦定理的重要应用 三角形的余弦定理作为解决三角形问题的利剑,必须熟练掌握应用 .为此,就其常见的几 种变形形式,介绍如下. ①联系完全平方式巧过渡: 由 b ? c ? (b ? c ) ? 2bc 则 a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c ) ? 2bc(1 ? cos A) .
2 2 2 2 2 2 2

②联系重要不等式求范围: 由 b 2 ? c 2 ? 2bc ,则 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 2bc ? 2bc cos A ? 2bc(1 ? cos A) 当且仅当
2 2 2

b ? c 等号成立.
③联系数量积的定义式妙转化: 在 ?ABC 中,由 CA ? CB ? CA CB cos C ? ab cos C ? ab

a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? b2 ? c2 . ? 2ab 2

5.如何恰当选择正弦定理与余弦定理解题 利用正弦定理解三角形时,可将正弦定理视为方程或方程组,利用方程思想处理已知量 与未知量的关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间的关系等结论,对于相 关问题是十分有益的.利用正弦定理可解决以下两类问题:一是已知两角和一角的对边,求其 他边角;二是已知两边和一边对应的角,求其他边角,由于此时的三角形不能确定,应对它 进行分类讨论.利用正弦定理解题一般适应的特点(1)如果所给的等式两边有齐次的边的形 式或齐次的角的正弦的形式,可以利用正弦定理进行边角互换,这是高考中常见的形式; (2) 根据所给条件构造(1)的形式,便于利用正弦定理进行边角互换,体现的是转化思想的灵活 应用. 余弦定理与平面几何知识、向量、三角函数有着密切的联系,常解决一下两类问题:一 是已知两边和它们的夹角,求其他边角;二是已知三边求三角.由于这两种情形下三角形是唯 一确定的,所以其解也是唯一. 6.掌握三种类型,顺利求解三角最值 三角函数的最值既是高考中的一个重点,也是一个难点,其类型丰富,解决的方法比较多. 但是归纳起来常见的有下面三种类型: (1)可化为 y ? A sin (? x ? ? ) ? B 型函数值域: 利用三角公式对原函数进行化简、整理,最终得到 y ? A sin (? x ? ? ) ? B 的形式,然后借 助题目中给定的 x 的范围,确定 ? x ? ? 的范围,最后利用 y ? sin x 的图象确定函数的值域. 如: y ? a sin x ? b 、 y ? a sin x ? b cos x ? c

y ? a sin 2 x ? b sin x cos x ? c cos 2 x 等.
(2)可化为 y ? f (sin x) 型求函数的值域: 首先借助三角公式, 把函数化成 y ? f (sin x) 型, 然后采用换元法, 即令 t ? sin x ? [?1,1] , 构造关于 t 的函数, 然后根据具体的结构, 采取相应的方法求解.如:y ? a sin x ? b sin x ? c 、
2

y ? a sin x cos x ? b(sin x ? cos x) ? c 可 转 化 为 二 次 函 数 求 值 域 ; y ? sin x ?

a 、 sin x

y ? a tan x ? b cot x 可转化为对号函数求值域.
(3)利用数性结合思想求函数的值域: 此类题目需分析函数的结构特征,看能否转化为有几何含义的式子结构,有时也可以把 函数图象画出来,直接观察确定函数的值域.如 y ? 含义求解.

a sin x ? b ,常转化为直线的斜率的几何 c cos x ? d

【新题预测演练】
1、写出两角和的余弦公式并证明。

2.



?ABC



,



A, B, C













a, b, c

,



A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? . 2 5 (Ⅰ)求 cos A 的值; 2 cos 2
(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

3. 在直角坐标系 xOy 中, 若角 α 的始边为 x 轴的非负半轴, 终边为射线 l: y=2 2 x (x≥0). π? ? (1)求 sin?α+6?的值; ? ? (2)若点 P、Q 分别是角 α 始边、终边上的动点,且 PQ=4,求△POQ 面积最

大时,点 P、Q 的坐标.

4. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的周期为 ? ,图像的一个对称中心为 (

?
4

, 0) ,

将函数 f ( x) 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平 移

?
2

个单位长度后得到函数 g ( x) 的图像.

(1)求函数 f ( x) 与 g ( x) 的解析式; (2)是否存在 x0 ? (

? ?

, ) ,使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照某种顺序成等差数列?若存在, 6 4

请确定 x0 的个数;若不存在,说明理由 (3)求实数 a 与正整数 n ,使得 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点.

5.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°

1 (1)若 PB= ,求 PA;(2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA 2

6. 在一次抗雪救灾中,需要在 A,B 两地之间架设高压电线,为 测量 A,B 两地的距离,救援人员在相距 6000 米的 C,D 两地(A, B,C,D 在同一平面上) ,没得∠ACD=45°,∠ADC=75°,∠BCD =30°,∠BDC=15°(如右图) 。考虑到电线的自然下垂和施工 损耗等原因,实际所需电线长度大约应该是 A,B 距离的 1.2 倍, 问救援人员至少应该准备多长的电线?



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