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二项式定理与杨辉三角综合习题课



展开式系数和问题及求法

1? 若? 1 ? 2x ? 例? 1
2

2011

? a0 ? a1 x ? ,

a2 x ? ?? a2011 x

2011

a2011 a1 a2 则 ? 2 ? ?? 2011 的值为 (    C) 2

2 2 A. 2 B. 0 C. ?1 D. ?2

展开式系数和问题及求法

2 2n ? 2 ? 设( ? x ) ? a0 ? a1 x 练习 2 2 2n ?1 2n ? a2 x ? ?? a2n?1 x ? a2n x , 则(a0 ? a2 ? a4 ? ?? a2n ) ? 1 n 2 4 . (a1 ? a3 ? a5 ? ?? a2n?1 ) ? ___
2

二项式定理在数列的应用
例 2. 已知 ?an ? 是等比数列, 公比为 q 求

a1C ? a2C ? a3C ?
0 n 1 n 2 n

? an?1C

n n

的值.

a1 (1 ? q)
倒序相加法

n

二项式定理在数列的应用
练习 设 ?a ? 为等差数列, S 为其 前 n 项的和 ( n ? N )求证:
n
n
*

a1C ? a2C ? a3C ?
0 n 1 n 2 n

? an?1C

n n

Sn ?1 n ? 2 n?1

倒序相加法

求展开式中系数最大(小)的项

3.在(2 x ? 3) 的展开式中 例3 , 求其项的最大系数 与最大二项式系数的比
20

? ?3 ?C 2 ? 3 ? C 2 ? r 20? r r r ? 1 20 ? r ?1 r ?1 C 2 ? 3 ? C 2 ? 3 ? 20 ? 20
r 20 20 ? r r r ?1 20 ? r ? 1 20 r ?1

11.6 ? r ? 12.6

所以它们的比是

C 23 5 7 13 ? ?2 ?3 C 11

12 8 12 20 10 20

求多项式的展开式中特定的项(系数) 例题 5:求 (
6

式中 x 项的系数.

x ? 1) (2 x ? 1) 的展开
6 5

C C (?1) 2 x
r 6 s 5

s 5? s

16? r ?2 s 2

例题点评 对于较为复杂的二项式与二项式乘积 利用两个通项之积比较方便运算

? ?640

可化为二项式问题及解法
例题 6 设f(x)是定义在R上的一个给定 0 0 0 的函数,函数g(x)= Cn f( )x (1-x)n+C1 n n 1 2 n -1 2 f( )x(1-x) +C f( )x2 (1-x)n-2+…+ n n n n f(C n )xn(1-x)0 (x≠0,1). n n (1)当f(x)=1时,求g(x); 1 (2)当f(x)=x时,求g(x).

x

能力提升

若n∈N且n>1, 求证:2<(1+
1 n ) <3. n

0 2 1 2 2 2 n 2 n 思考2求证: (Cn ) ? (Cn ) ? (Cn ) ? ? (Cn ) ? C2 n. 略证:由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n,两边展开 后比较xn的系数得:

C C ?C C
0 n n n 1 n

n ?1 n n n

?C C
2 n 0 n

n? 2 n

?

?C

n ?1 n

C ?C C ?C
1 n

n 2n

m n? m 再由 Cn 得 ? Cn

(C ) ? (C ) ? (C ) ?
0 2 n 1 2 n 2 2 n

? (C ) ? C .
n 2 n n 2n

求多项式的展开式中特定的项(系数) 6 5 6 ( x ? 1) (2 x ? 1) 例题 5:求 的展开式中 x 项 的系数. 6? r r 6?r r 6 解 ( x ? 1) 的通项是 C6 ( x ) ? C6 x 2

(2 x ? 1) 的通项是
5

C (2 x) (?1) ? C (?1) 2 x 5 ( x ? 1) (2 x ? 1) 的通项是
s 5 6 s s 5

5? s

s 5? s 5? s

C C (?1) 2 x
s 5 r 6

s 5? s

16? r ? 2 s 2

由题意知 16? r ? 2 s ? 6 2

r ? 2s ? 4 (r ? 0
?r ? 0 解得 ? ?s ? 2

6, s ? 0

5)

?r ? 2 ? ?s ? 1

?r ? 4 ? ?s ? 0

x 的系数为: 0 4 0 5 1 2 4 2 0 2 3 C5 C6 (?1) 2 ? C5C6 (?1)2 ? C5 C6 (?1) 2
所以 例题点评 对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两 个通项之积比较方便运算

6

? ?640

求展开式中系数最大(小)的项
例6.在(2 x ? 3) 的展开式中, 求其项的最大系数
20

与最大二项式系数的比
解: 设 r ? 1项是系数最大的项,则

? ?3 ?C 2 ? 3 ? C 2 ? r 20 ? r r r ?1 20 ? r ?1 r ?1 ? ?3 ?C20 2 ? 3 ? C20 2
r 20 20 ? r r r ?1 20 20 ? r ?1 r ?1

11.6 ? r ? 12.6
12 20 8 12

系数最大的项是第 13项 即C 2 3
10 二项式系数最大的项为第11项,即 C20

所以它们的比是

12 8 12 C20 23 5 7 13 ? ? 2 ?3 10 C20 11

0 1 解析 (1)当f(x)=1时,g(x)= Cn · (1-x)n+ Cn · x(1-x)n-1

+…+ C ·xn=[(1-x)+x]n=1.
0 1 1 n (2)当f(x)=x时,g(x)= C· · (1-x) + Cn· x· (1-x)n-1 n n n
0 n n +…+ Cn · · x n.

n n

n n k k ?1 因为 Cn · = Cn , ? 1 n

0 n-1+ 1 x2· n-2+…+ n?1 n 所以g(x)= Cn x · (1x ) (1x ) · x C C ?1 n?1 n?1 0 n?1 n-1 n-1+ 1 x(1-x)n-2+…+ =x[Cn (1x ) ·x ] C C ?1 n?1 n?1 =x· [(1-x)+x]n-1=x.

解析
1 ?1? 依题设,令x ? , 2 a2011 a1 a2 1 2011 得(1 ? 2 ? ) ? a0 ? ? 2 ? ? ? 2011 , 2 2 2 2 a2011 a1 a2 则a0 ? ? 2 ? ? ? 2011 ? 0. 2 2 2 a2011 a1 a2 令x ? 0,得a0 ? 1,故a0 ? ? 2 ? ? ? 2011 ? ?1,故选C. 2 2 2 2 2n 2 令 x ? 1 ,得 a ? a ? ? ? a ? ( ? 1) . ? ? 0 1 2n 2 2 令x ? ?1,得a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2n ?1 ? a2n ? ( ? 1) 2n , 2

则(a0 ? a2 ? ? ? a2n ) 2 ? (a1 ? a3 ? ? ? a2n ?1 ) 2 ? (a0 ? a2 ? ? ? a2n ? a1 ? a3 ? ? ? a2n ?1 )(a0 ? a2 ? ? ? a2n ? a1 ? a3 ? ? ? a2n ?1 ) ? (a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a2n ?1 ? a2n )(a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2n ?1 ? a2n ) 2 2 2n ?( ? 1) ? ( ? 1) 2n 2 2 1 2n 1 1 ? (? ) ? n .故填 n . 2 4 4

评析 有关二项式展开式的“系数和”问题,通常是应用
“赋值法”求解,同时,赋值时一定要分析“已知与待求” 式的特征,恰当“取值”化归.

备选题 若n∈N且n>1,求证:2<(1+

1 n ) < 3. n

1 n 1 1 2 1 n 1 证明 (1+ n ) =1+ Cn· n + Cn · n 2 +…+ Cn · n n 1 1 >1+ Cn · =2. n n(n ? 1) n(n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1)(n ? 2) ??? 2 ?1 1 n 又(1+ ) =2+ 2!n 2 + +…+ 3 3!n n !n n n <2+ 1 + 1 +…+ 1 2! n! 3! 1 1 <2+ + 2 +…+ 1 2 2 2 n ?1 1 1 (1 ? n ?1 ) 1 2 2 =2+ =3- n?1 <3,故原不等式成立. 1 2 1? 2



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