第七讲函数单调性

第七讲函数的单调性
一、函数的单调性
（1）函数的单调性 若函数 f(x)在区间 D 上是增函数(或减函数)， 则称函数 f(x)在区间 D 上单调递增 （或单调 递减） ，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 （2）函数增减性的定义 对于函数 f ( x) 的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , x 2 ， ⑴若当 x1 < x2 时，都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,则说 f ( x) 在这个区间上是增函数； ⑵若当 x1 < x2 时，都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,则说 f ( x) 在这个区间上是减函数. （3）单调性的图像 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. ①一般规律： 自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增， 自变量的变化与函数值 的变化相对时是单调递减. ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则 为减函数

二、函数的最大、最小值
最大值 设函数 y=f（x）的定义域为 A， 如果存在实数 M 满足： （1）对任意的 x∈A,都有 f(x)≤M; （ 2 ） 存 在 最小值 设函数 y=f（x）的定义域为 A， 如果存在实数 N 满足： （1）对任意的 x∈A,都有 f(x)≥M;

x0 ? A, 使得f ( x0 ) ? M , 称 （ 2 ） 存 在 x0 ? A, 使得f ( x0 ) ? N , 称 f ( x）在x0处 取最小值 N，记为 y min ? N

f ( x）在x0处 取最大值 M，记为 ymax ? M
三、函数的单调性常应用于如下三类问题：
（1）利用函数的单调性比较函数值的大小．

（2）利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两 个函数的大小， 求含于自变量中的某个特定的系数， 这时就应该利用函数的单调性 “脱” 去抽象的函数“外衣” ，以实现不等式间的转化．

（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值． 若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b ? 上递增，则函数值域为( f ( a ) ， f (b) )； 提示
这一连串的看似相同 的结论，结合单调函 数的图象不难理解．

若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b ? 上递减,则函数值域为( f (b) ， f ( a ) )； 若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b? 上递增，则函数值域为 [ f ( a ) ， f (b) ] ； 若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b? 上递减，则函数值域为 [ f (b) ， f ( a ) ]； 若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b? 上递增，则函数的最大值为 f (b) ，最小值为

f (a) ；
若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b? 上递减，则函数的最大值为 f ( a ) ，最小值为 f (b) ；

四．二次函数性质的再研究
二次函数 y= ax ? bx ? c （a≠0）
2

2 设相应的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 ，? ? b ? 4ac ，
2

则不等式的解的各种情况如下表：

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
（ a ? 0 ）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
五、例题讲解：

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

［例 1］如图 6 是定义在闭区间[-5， 5]上的函数 y ? f ( x) 的图象， 根据图象说出 y ? f ( x) 的单调区间， 以及在每一单调区间上， 函数 y ? f ( x) 是增函数还是减函数.

y

-5

-2

O

1

3

5 x

图6

［例 2］ 证明函数 f ( x) ?

1 在(0,+ ? )上是减函数. x

［例 3］判断并证明函数 f ( x) ? x 3 的单调性

［例 4］求函数 y ? 8 ? 2(2 ? x ) ? (2 ? x ) 的值域，并写出其单调区间
2 2 2

王新敞
奎屯

新疆

提示
利用函数的单调性求 函数的值域．这是求 函数的值域的又一种 方法．

［例 5］求函数 f ( x) ?

x ? 1 ? x ? 3 的最大值．

解析：由 f ( x) ?

x ?1 ? x ? 3 ?

4 x ?1 ? x ? 3

，

知函数 f ( x) ? 所以 f ( x) ? 【技巧提示】

x ? 1 ? x ? 3 在其定义域 [3，+??上是减函数． x ? 1 ? x ? 3 的最大值是 f (3) ? 2 ．
x ?3 ? 4 x ?1 ? x ? 3
使得问题简单化，

显然由 x ? 1 ?

当然函数定义域是必须考虑的． ［例 6］已知 f(x)在（0，+∞）上为减函数，试比较 f (a ? a ? 1)与f ( ) 的大小
2

3 4

［例7］已知 f ( x) 是定义在R上的增函数，对x∈R有 f ( x) ＞0，且 f (10) ＝1， 设 F ( x) = f ( x) ?

1 ，讨论 F ( x) 的单调性，并证明你的结论． f ( x)

解析：在 R 上任取 x1 、 x2 ，设 x1 ＜ x2 ，∴ f ( x2 ) ＞ f ( x1 ) ，

F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? [ f ( x2 ) ? ? [ f ( x 2 ) ? f ( x1 )][1 ?

1 1 ] ? [ f ( x1 ) ? ] f ( x2 ) f ( x1 )

1 ], f ( x1 ) f ( x2 )

∵ f ( x) 是 R 上的增函数，且 f (10) ＝1， ∴当 x＜10 时 0＜ f ( x) ＜1，而当 x＞10 时 f ( x) ＞1； ① 若 x1 ＜ x2 ＜10，则 0＜ f ( x1 ) ＜ f ( x2 ) ＜1， ∴0＜ f ( x1 ) f ( x2 ) ＜1， ∴1 ?

1 ＜0， f ( x1 ) f ( x2 )

∴ F ( x2 ) ＜ F ( x1 ) ； ② x2 ＞ x1 ＞10，则 f ( x2 ) ＞ f ( x1 ) ＞1 ，

∴ f ( x1 ) f ( x2 ) ＞1， ∴1 ?

1 ＞0， f ( x1 ) f ( x2 )

∴ F ( x2 ) ＞ F ( x1 ) ； 综上， F ( x) 在（－∞，10）为减函数，在（10，＋∞）为增函数. 【技巧提示】 该题属于判断抽象函数的单调性问题，用单调性定义解决是关键．

六、练习：
1、 证明函数 f ( x) ? 3x ? 2 在 R 上是增函数. 2、讨论函数 f(x) ? x 2 ? 2ax ? 3 在(-2,2)内的单调性. 3、判断函数 f ( x) ? ?3x ? 2 在 R 上是增函数还是减函数？并证明你的结论. 4、判断函数 f ( x) =

1 在(- ? ,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. x

七、课后作业：
1、已知 f ( x) ? 2 x ? 3 ，证明 g[ f ( x)] ? 3 f ( x) ? 2 在 R 上的单调性，并说明理由

2、 f ( x ) = ? x ?

? ?

5 1 5? 1 ? ? 是以( , ? )为顶点、对称轴平行于 y 轴、开口向上的抛物线 2 4 2? 4 5 5 5 5 ]与[ ,+ ? );证明它在(- ? , ]上是减函数，在 [ ,+ ? ) 2 2 2 2
y

2

（如图）;它的单调区间是(- ? , 上是增函数.

x 第 4（ 1） 题

3.已知函数 y ? x ? ax ? 3 在 x∈[-1,1]上的最小值为-3，试求 a 的值
2

4. 判断函数 f ( x) ? kx ? b 在 R 上的单调性，并说明理由.