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第七讲函数单调性



第七讲函数的单调性
一、函数的单调性
(1)函数的单调性 若函数 f(x)在区间 D 上是增函数(或减函数), 则称函数 f(x)在区间 D 上单调递增 (或单调 递减) ,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 (2)函数增减性的定义 对于函数 f ( x) 的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , x 2 , ⑴若当 x1 < x2

时,都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,则说 f ( x) 在这个区间上是增函数; ⑵若当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,则说 f ( x) 在这个区间上是减函数. (3)单调性的图像 在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的. ①一般规律: 自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增, 自变量的变化与函数值 的变化相对时是单调递减. ②几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图象上升,则为增函数,图象下降则 为减函数

二、函数的最大、最小值
最大值 设函数 y=f(x)的定义域为 A, 如果存在实数 M 满足: (1)对任意的 x∈A,都有 f(x)≤M; ( 2 ) 存 在 最小值 设函数 y=f(x)的定义域为 A, 如果存在实数 N 满足: (1)对任意的 x∈A,都有 f(x)≥M;

x0 ? A, 使得f ( x0 ) ? M , 称 ( 2 ) 存 在 x0 ? A, 使得f ( x0 ) ? N , 称 f ( x)在x0处 取最小值 N,记为 y min ? N

f ( x)在x0处 取最大值 M,记为 ymax ? M
三、函数的单调性常应用于如下三类问题:
(1)利用函数的单调性比较函数值的大小.

(2)利用函数的单调性解不等式,常见题型是,已知函数的单调性,给出两 个函数的大小, 求含于自变量中的某个特定的系数, 这时就应该利用函数的单调性 “脱” 去抽象的函数“外衣” ,以实现不等式间的转化.

(3)利用函数的单调性确定函数的值域,求函数的最大值和最小值. 若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b ? 上递增,则函数值域为( f ( a ) , f (b) ); 提示
这一连串的看似相同 的结论,结合单调函 数的图象不难理解.

若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b ? 上递减,则函数值域为( f (b) , f ( a ) ); 若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b? 上递增,则函数值域为 [ f ( a ) , f (b) ] ; 若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b? 上递减,则函数值域为 [ f (b) , f ( a ) ]; 若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b? 上递增,则函数的最大值为 f (b) ,最小值为

f (a) ;
若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b? 上递减,则函数的最大值为 f ( a ) ,最小值为 f (b) ;

四.二次函数性质的再研究
二次函数 y= ax ? bx ? c (a≠0)
2

2 设相应的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 ,? ? b ? 4ac ,
2

则不等式的解的各种情况如下表:

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
五、例题讲解:

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

[例 1]如图 6 是定义在闭区间[-5, 5]上的函数 y ? f ( x) 的图象, 根据图象说出 y ? f ( x) 的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数 y ? f ( x) 是增函数还是减函数.

y

-5

-2

O

1

3

5 x

图6

[例 2] 证明函数 f ( x) ?

1 在(0,+ ? )上是减函数. x

[例 3]判断并证明函数 f ( x) ? x 3 的单调性

[例 4]求函数 y ? 8 ? 2(2 ? x ) ? (2 ? x ) 的值域,并写出其单调区间
2 2 2

王新敞
奎屯

新疆

提示
利用函数的单调性求 函数的值域.这是求 函数的值域的又一种 方法.

[例 5]求函数 f ( x) ?

x ? 1 ? x ? 3 的最大值.

解析:由 f ( x) ?

x ?1 ? x ? 3 ?

4 x ?1 ? x ? 3



知函数 f ( x) ? 所以 f ( x) ? 【技巧提示】

x ? 1 ? x ? 3 在其定义域 [3,+??上是减函数. x ? 1 ? x ? 3 的最大值是 f (3) ? 2 .
x ?3 ? 4 x ?1 ? x ? 3
使得问题简单化,

显然由 x ? 1 ?

当然函数定义域是必须考虑的. [例 6]已知 f(x)在(0,+∞)上为减函数,试比较 f (a ? a ? 1)与f ( ) 的大小
2

3 4

[例7]已知 f ( x) 是定义在R上的增函数,对x∈R有 f ( x) >0,且 f (10) =1, 设 F ( x) = f ( x) ?

1 ,讨论 F ( x) 的单调性,并证明你的结论. f ( x)

解析:在 R 上任取 x1 、 x2 ,设 x1 < x2 ,∴ f ( x2 ) > f ( x1 ) ,

F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? [ f ( x2 ) ? ? [ f ( x 2 ) ? f ( x1 )][1 ?

1 1 ] ? [ f ( x1 ) ? ] f ( x2 ) f ( x1 )

1 ], f ( x1 ) f ( x2 )

∵ f ( x) 是 R 上的增函数,且 f (10) =1, ∴当 x<10 时 0< f ( x) <1,而当 x>10 时 f ( x) >1; ① 若 x1 < x2 <10,则 0< f ( x1 ) < f ( x2 ) <1, ∴0< f ( x1 ) f ( x2 ) <1, ∴1 ?

1 <0, f ( x1 ) f ( x2 )

∴ F ( x2 ) < F ( x1 ) ; ② x2 > x1 >10,则 f ( x2 ) > f ( x1 ) >1 ,

∴ f ( x1 ) f ( x2 ) >1, ∴1 ?

1 >0, f ( x1 ) f ( x2 )

∴ F ( x2 ) > F ( x1 ) ; 综上, F ( x) 在(-∞,10)为减函数,在(10,+∞)为增函数. 【技巧提示】 该题属于判断抽象函数的单调性问题,用单调性定义解决是关键.

六、练习:
1、 证明函数 f ( x) ? 3x ? 2 在 R 上是增函数. 2、讨论函数 f(x) ? x 2 ? 2ax ? 3 在(-2,2)内的单调性. 3、判断函数 f ( x) ? ?3x ? 2 在 R 上是增函数还是减函数?并证明你的结论. 4、判断函数 f ( x) =

1 在(- ? ,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. x

七、课后作业:
1、已知 f ( x) ? 2 x ? 3 ,证明 g[ f ( x)] ? 3 f ( x) ? 2 在 R 上的单调性,并说明理由

2、 f ( x ) = ? x ?

? ?

5 1 5? 1 ? ? 是以( , ? )为顶点、对称轴平行于 y 轴、开口向上的抛物线 2 4 2? 4 5 5 5 5 ]与[ ,+ ? );证明它在(- ? , ]上是减函数,在 [ ,+ ? ) 2 2 2 2
y

2

(如图);它的单调区间是(- ? , 上是增函数.

x 第 4( 1) 题

3.已知函数 y ? x ? ax ? 3 在 x∈[-1,1]上的最小值为-3,试求 a 的值
2

4. 判断函数 f ( x) ? kx ? b 在 R 上的单调性,并说明理由.



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