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数学竞赛教案讲义(1)——集合与简易逻辑



第一章 集合与简易逻辑
一、基础知识 定义 1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母 来表示;集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素 x 在集合 A 中,称 x 属于 A, 记为 x ? A ,否则称 x 不属于 A,记作 x ? A 。例如,通常用 N,Z,Q,B,Q+分别表示自 然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数

集,不含任何元素的集合称为空集,用 ? 来 表示。集合分有限集和无限集两种 w.k.s.5.u.c.o.m 集合的表示方法有列举法: 将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集 合的方法,如{1,2,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。 例如{有理数}, {x x ? 0} 分别表示有理数集和正实数集。 定义 2 子集:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素, 则 A 叫做 B 的子集,记为 A ? B ,例如 N ? Z 。规定空集是任何集合的子集,如果 A 是 B 的子集,B 也是 A 的子集,则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集,而且 B 中存在元素不属 于 A,则 A 叫 B 的真子集。 定义 3 交集, A ? B ? {x x ? A且x ? B}. 定义 4 并集, A ? B ? {x x ? A或x ? B}. 定义 5 补集,若 A ? I , 则C1 A ? {x x ? I , 且x ? A} 称为 A 在 I 中的补集。 定义 6 差集, A \ B ? {x x ? A, 且x ? B} 。 定义 7 集合 {x a ? x ? b, x ? R, a ? b} 记作开区间 ( a, b) ,集合

{x a ? x ? b, x ? R, a ? b} 记作闭区间 [a, b] ,R 记作 (??,??).
定理 1 集合的性质:对任意集合 A,B,C,有: (1) A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ); (2) A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ; (3) C1 A ? C1 B ? C1 ( A ? B); (4) C1 A ? C1 B ? C1 ( A ? B). 【证明】这里仅证(1) 、 (3) ,其余由读者自己完成。 (1) 若 x ? A ? (B ? C) , 则x? A, 且 x? B 或 x ?C , 所以 x ? ( A ? B) 或 x ? ( A ? C ) , 即 x ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ; 反之,x ? ( A ? B) ? ( A ? C ) , 则 x ? ( A ? B) 或 x ? ( A ? C ) ,

即 x ? A 且 x ? B 或 x ? C ,即 x ? A 且 x ? ( B ? C ) ,即 x ? A ? ( B ? C ). (3) 若 x ? C1 A ? C1 B , 则 x ? C1 A 或 x ? C1 B , 所以 x ? A 或 x ? B , 所以 x ? ( A ? B) , 又 x ? I ,所以 x ? C1 ( A ? B) ,即 C1 A ? C1 B ? C1 ( A ? B) ,反之也有

C1 ( A ? B) ? C1 A ? C1 B.
定理 2 加法原理:做一件事有 n 类办法,第一类办法中有 m1 种不同的方法,第二类办法 中有 m2 种不同的方法, … ,第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事一共有

N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法。定理 3 乘法原理:做一件事分 n 个步骤,第一步
有 m1 种不同的方法,第二步有 m2 种不同的方法,…,第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完 成这件事一共有 N ? m1 ? m2 ? ?? mn 种不同的方法。 二、方法与例题 1.利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合。 例 1 设 M ? {a a ? x ? y , x, y ? Z} ,求证:
2 2

(1) 2k ? 1 ? M , (k ? Z ) ; (2) 4k ? 2 ? M , (k ? Z ) ; (3)若 p ? M , q ? M ,则 pq ? M .

2.利用子集的定义证明集合相等,先证 A ? B ,再证 B ? A ,则 A=B。 例 2 设 A,B 是两个集合,又设集合 M 满足

A ? M ? B ? M ? A ? B, A ? B ? M ? A ? B ,求集合 M(用 A,B 表示) 。

3.分类讨论思想的应用。

例3

A ? {x x 2 ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0}, C ? {x x 2 ? mx ? 2 ? 0} ,若

A ? B ? A, A ? C ? C ,求 a , m.

4.计数原理的应用。 例 4 集合 A,B,C 是 I={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集, (1)若 A ? B ? I ,求 有序集合对(A,B)的个数; (2)求 I 的非空真子集的个数。

5.配对方法。 例 5 给定集合 I ? {1,2,3,?, n} 的 k 个子集: A1 , A2 ,?, Ak ,满足任何两个子集的交集非 空,并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质,求 k 的值。

6.竞赛常用方法与例问题。 定理 4 容斥原理;用 A 表示集合 A 的元素个数,则 A ? B ? A ? B ? A ? B ,

需要 xy 此结论可以 A? B ?C ? A ? B ? C ? A? B ? A?C ? B ?C ? A? B ?C ,
推广到 n 个集合的情况,即
n n

?
1?i ? j ? k ? n

? Ai ? ? Ai ? ? Ai ? A j ?
i ?1 i ?1 i? j

?

Ai ? A j ? Ak ? ? ? (?1) n?1 ? Ai .
i ?1

n

定义 8 集合的划分:若 A1 ? A2 ? ? ? An ? I ,且 Ai ? Aj ? ?(1 ? i, j ? n, i ? j) ,则 这些子集的全集叫 I 的一个 n -划分。 定理 5 最小数原理:自然数集的任何非空子集必有最小数。 定理 6 抽屉原理:将 mn ? 1 个元素放入 n(n ? 1) 个抽屉,必有一个抽屉放有不少于 m ? 1 个元素,也必有一个抽屉放有不多于 m 个元素;将无穷多个元素放入 n 个抽屉必有一个抽 屉放有无穷多个元素。 例6 求 1,2,3,…,100 中不能被 2,3,5 整除的数的个数。

例7

S 是集合{1,2,…,2004}的子集,S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7,问 S 中最多 含有多少个元素?

例8

求所有自然数 n(n ? 2) ,使得存在实数 a1 , a2 ,?, an 满足:

{ ai ? a j }1 ? i ? j ? n} ? {1,2,?,

n(n ? 1) }. 2

例 9 设 A={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,……,n},在 A 中取三个数,B 中取两个数组 成五个元素的集合 Ai , i ? 1,2, ? ,20, Ai ? A j ? 2,1 ? i ? j ? 20 . 求 n 的最小值。

例 10 集合{1,2,…,3n}可以划分成 n 个互不相交的三元集合 {x, y, z} ,其中 x ? y ? 3z , 求满足条件的最小正整数 n.

三、基础训练题 1.给定三元集合 {1, x, x 2 ? x} ,则实数 x 的取值范围是___________。
2 2.若集合 A ? {x ax ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R, x ? R} 中只有一个元素,则 a =___________。

3.集合 B ? {1,2,3} 的非空真子集有___________个。
2 4.已知集合 M ? {x x ? 3 x ? 2 ? 0}, N ? {x ax ? 1 ? 0} ,若 N ? M ,则由满足条件的实

数 a 组成的集合 P=___________。 5.已知 A ? {x x ? 2}, B ? {x x ? a} ,且 A ? B ,则常数 a 的取值范围是___________。 6.若非空集合 S 满足 S ? {1,2,3,4,5} ,且若 a ? S ,则 6 ? a ? S ,那么符合要求的集合 S 有___________个。 7.集合 X ? {2n ? 1 n ? Z}与Y ? {4k ? 1 k ? Z}之间的关系是___________。 8.若集合 A ? {x, xy, xy ? 1} ,其中 x ? Z , y ? Z 且 y ? 0 ,若 0 ? A ,则 A 中元素之和 是___________。
2 9.集合 P ? {x x ? x ? 6 ? 0}, M ? {x mx ? 1 ? 0} ,且 M ? P ,则满足条件的 m 值构成

的集合为___________。
? 2 10.集合 A ? {x y ? 2 x ? 1, x ? R }, B ? { y y ? ? x ? 9, x ? R} ,则

A ? B ? ___________。

1 ? S ;2 ) 11. 已知 S 是由实数构成的集合, 且满足 1) 若a?S , 则
S 中至少含有多少个元素?说明理由。

1 ?S 。 如果 S ? ? , 1? a

12.已知 A ? {( x, y ) y ? a x }, B ? {( x, y ) y ? x ? a}, C ? A ? B ,又 C 为单元素集合,求 实数 a 的取值范围。 四、高考水平训练题 1.已知集合 A ? {x, xy, x ? y}, B ? {0, x , y} ,且 A=B,则 x ? ___________,

y ? ___________。
2. I ? {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A ? I , B ? I , A ? B ? {2}, (C1 A) ? (C1 B) ? {1,9},

(C1 A) ? B ? {4,6,8} ,则 A ? (C1 B) ? ___________。
2 3.已知集合 A ? {x 10 ? 3 x ? x ? 0}, B ? {x m ? 1 ? x ? 2m ? 1} ,当 A ? B ? ? 时,实

数 m 的取值范围是___________。 4.若实数 a 为常数,且 a ? A ? ? x

? ? ? ?

? ? ? 1?, 则a ? ___________。 ax2 ? x ? 1 ? ? 1

5.集合 M ? {m 2 , m ? 1,?3}, N ? {m ? 3,2m ? 1, m 2 ? 1 } ,若 M ? N ? {?3} ,则

m ? ___________。
6.集合 A ? {a a ? 5 x ? 3, x ? N ? }, B ? {b b ? 7 y ? 2, y ? N ? } ,则 A ? B 中的最小元素 是___________。 7. 集合 A ? {x ? y, x ? y, xy}, B ? {x 2 ? y 2 , x 2 ? y 2 ,0}, 且 A=B, 则 x ? y ? ___________。 8.已知集合 A ? {x ___________。 9.设集合

x ?1 ? 0}, B ? {x px ? 4 ? 0} ,且 B ? A ,则 p 的取值范围是 2? x

A ? {( x, y ) y 2 ? x ? 1 ? 0}, B ? {( x, y ) 4 x 2 ? 2 x ? 2 y ? 5 ? 0}, C ? {( x, y) y ? kx ? b} ,
问:是否存在 k , b ? N ,使得 ( A ? B) ? C ? ? ,并证明你的结论。 10.集合 A 和 B 各含有 12 个元素, A ? B 含有 4 个元素,试求同时满足下列条件的集合 C 的个数:1) C ? A ? B 且 C 中含有 3 个元素;2) C ? A ? ? 。
2 2 2 11.判断以下命题是否正确:设 A,B 是平面上两个点集, C r ? {( x, y ) x ? y ? r } ,若

对任何 r ? 0 ,都有 Cr ? A ? Cr ? B ,则必有 A ? B ,证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题 1.已知集合 A ? {x x ? 0}, B ? {z z ? 范围是___________。

m2 x ?1 , x ? 2}, B ? ?, 且B ? A ,则实数 m 的取值 mx ? 1

2.集合 A ? {1,2,3,?,2n,2n ? 1} 的子集 B 满足:对任意的 x, y ? B, x ? y ? B ,则集合 B 中元素个数的最大值是___________。 3.已知集合 P ? {a, aq, aq2 }, Q ? {a, a ? d , a ? 2d} ,其中 a ? 0 ,且 a ? R ,若 P=Q,则 实数 q ? ___________。 4. 已知集合 A ? {( x, y ) x ? y ? a, a ? 0}, B ? {( x, y ) xy ? 1 ? x ? y } , 若 A ? B 是平面 上正八边形的顶点所构成的集合,则 a ? ___________。 5.集合 M ? {u u ? 12m ? 8n ? 4l, m, l, n ? Z} ,集合

N ? {u u ? 20p ? 16q ? 12r, p, q, r ? Z} ,则集合 M 与 N 的关系是___________。
} ,集合 A 满足: A ? M ,且当 x ? A 时,15 x ? A ,则 A 6.设集合 M ? {1,2,3,?,1995
中元素最多有___________个。 7.非空集合 A ? {x 2a ? 1 ? x ? 3a ? 5}, B ? {x 3 ? x ? 22 } ,≤则使 A ? A ? B 成立的所 有 a 的集合是___________。 8.已知集合 A,B,aC(不必相异)的并集 A ? B ? C ? {1,2,?, n}, 则满足条件的有序三 元组(A,B,C)个数是___________。
2 2 9.已知集合 A ? {( x, y ) ax ? y ? 1}, B ? {( x, y ) x ? ay ? 1}, C ? {( x, y ) x ? y ? 1} ,问:

当 a 取何值时, ( A ? B) ? C 为恰有 2 个元素的集合?说明理由,若改为 3 个元素集合,结 论如何? 10.求集合 B 和 C,使得 B ? C ? {1,2,?,10} ,并且 C 的元素乘积等于 B 的元素和。 11.S 是 Q 的子集且满足:若 r ? Q ,则 r ? S ,?r ? S , r ? 0 恰有一个成立,并且若

a ? S , b ? S ,则 ab ? S , a ? b ? S ,试确定集合 S。
12.集合 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的若干个五元子集满足:S 中的任何两个元素 至多出现在两个不同的五元子集中,问:至多有多少个五元子集? 六、联赛二试水平训练题 1. S1 , S 2 , S3 是三个非空整数集,已知对于 1,2,3 的任意一个排列 i, j , k ,如果 x ? S i ,

y ? S j ,则 x ? y ? Si 。求证: S1 , S 2 , S3 中必有两个相等。

2.求证:集合{1,2,…,1989}可以划分为 117 个互不相交的子集 Ai (i ? 1,2,?,117) ,使 得(1)每个 Ai 恰有 17 个元素; (2)每个 Ai 中各元素之和相同。 3.某人写了 n 封信,同时写了 n 个信封,然后将信任意装入信封,问:每封信都装错的情 况有多少种? 4.设 a1 , a2 ,?, a20 是 20 个两两不同的整数,且整合 {ai ? a j 1 ? i ? j ? 20} 中有 201 个 不同的元素,求集合 { ai ? a j 1 ? i ? j ? 20} 中不同元素个数的最小可能值。 5. 设 S 是由 2 n 个人组成的集合。 求证: 其中必定有两个人, 他们的公共朋友的个数为偶数。 6.对于整数 n ? 4 ,求出最小的整数 f ( n) ,使得对于任何正整数 m ,集合

{m, m ? 1,?, m ? n ? 1} 的任一个 f (n) 元子集中,均有至少 3 个两两互质的元素。
7.设集合 S={1,2,…,50},求最小自然数 k ,使 S 的任意一个 s 元子集中都存在两个不同 的数 a 和 b,满足 (a ? b) ab 。 8.集合 X ? {1,2,?,6k}, k ? N ? ,试作出 X 的三元子集族&,满足: (1)X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含; (2) & ? 6k ( & 表示 &的元素个数 )。
2

, 2, ?,m } ,求最小的正整数 m ,使得对 A 的任意一个 14-分划 9.设集合 A ? {1
A1 , A2 ,?, A14 ,一定存在某个集合 Ai (1 ? i ? 14) ,在 Ai 中有两个元素 a 和 b 满足
b?a?
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

4 b。 3



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