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必修一函数的奇偶性已用课件



周口市沈丘县第二高级中学 主讲老师:宋海忠

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教学目标
?奇函数的概念 ?偶函数的概念 ?函数奇偶性的判断 【重点】函数奇偶性的概念

【难点】函数奇偶性的判断
【教法】自学辅导法、讨论法、讲授法

【学法】归纳-------讨论-------练习
【教学手段】多

媒体电脑与投影仪
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生活中的对称现象

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4

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结论 : 引入课题
? 我们发现上面几个图形和函数图象都 具有对称性,有的关于直线对称,有 的关于点呈中心对称,有的有特殊的 对称性 ? 那么在我们数学领域里,我们也会 研究函数图象的对称性!

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引入新课
观察下图,思考并讨论以下问题:
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗? (2) 相应的两个函数值对应x的值是如何体现这些特征 的?

f(x)=x2
f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)

f(x)=|x|
f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)

实际上,对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x), 这时我们称函数y=x2为偶函数. 7

1.偶函数P33
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
2 例如,函数 f ( x) ? x ? 1, f ( x) ? x 2 ? 1 都是偶函数,
2

它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.

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观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图),你能发
现两个函数图象有什么共同特征吗?

f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

实际上,对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时 我们称函数y=x为奇函数.
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2.奇函数P35
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)= - f(x),那么f(x)就叫做奇函数. 注意: (1)、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性, 函数的奇偶性是函数的整体性质; (2)、由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性 的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x, 则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域 关于原点对称).
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(3)、奇、偶函数定义的逆命题也成立,即 若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x) 成立. 若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x) 成立. (4)、若一个函数f(x)是奇函数,且当x=0时有定义,
3x ? m 0 如 : 若函数 f ( x) ? 2 是奇函数 , 则m ? ____ x ?1

则:

f(0)=0

(5)、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么 我们就说函数f(x)具有奇偶性.
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例1、(P35例5)判断下列函数的奇偶性:

(1) f ( x) ? x

4

1 (3) f ( x ) ? x ? x

( 2) f ( x) ? x 1 ( 4) f ( x ) ? 2 x
5

解(1)函数的定义域是R,对定义域内任 意一个x,都有 f ? ? x ? ? ? ? x ?4 ? x 4 ? f ? x ? ,

所以函数

f ? x? ? x

4

是偶函数

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用定义判断函数奇偶性的步骤:
(1)、先求定义域,看是否关于原点对称; (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
例2.判断下列函数的奇偶性:

(1) f ( x) ? 5 偶函数 (3) f ( x) ? x ? 1
非奇非偶函数
2

(2) f ( x) ? 0既奇又偶函数 (4) f ( x) ? x , x ?[?1,3]
2

非奇非偶函数

(5) f ( x) ? x ? | x ? a | (a ? R)
当a=0时,偶函数, 当a≠0时,非奇非偶函数
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例3.

ax ? 1 已知f ( x) ? (a, b, c ? Z )是奇函数, bx ? c 且f (1) ? 2, f (2) ? 3, 求a, b, c的值.
2

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3.奇偶函数图象的性质
(1)、奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么就称这个函数为奇函数. (2)、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称, 那么就称这个函数为偶函数.
说明:奇偶函数图象的性质可用于: a、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性
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例4、已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴右边的图 象如下图,画出在y轴左边的图象. 解:画法略

y

相等

0

x

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例5.(课本39页A组6题)已知函数f(x)是定义

在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1 + x). 画出函数f(x)的图象,并求出函数的解析式.

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例6.(课本39页B组3题)已知函数f(x)是偶

函数,而且在(0,+∞)上是减函数,判断 f(x)在(-∞,0)上的是增函数还是减函数, 并证明你的判断.

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本课小结
1、两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,
f(x)为奇函数 ? 如果都有f(-x)=f(x) ? f(x)为偶函数 如果都有f(-x)=-f(x) 2、两个性质:

它的图象关于原点对称 ? 一个函数为偶函数 ? 它的图象关于y轴对称 一个函数为奇函数
3、判断函数的奇偶性:先看定义域,后验关系式。
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布置作业
第 页 题

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