9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 中医中药 >>

高一数学《函数的单调性与最值》第二课时教案


1

函数的单调性与最值 第二课时
教学目标:
1. 使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的,它是函数单调性的应用. 2. 启发学生学会分析问题,认识问题和创造性的解决问题.

3. 通过渗透数形结合的数学思想,对学生进行辩证唯物主义的教育.

新知探究
知识探究一
观察下列两个函数图像:

y
M M

y

x o
x0 图1

o
图2

x0

x

思考 1:这两个函数图像有何共同特征:函数图像上最高点的纵坐标叫什么名称?

这两个函数图象有何共同特征? 这两个函数图象有何共同特征?

图像均有最高点,图像最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值, 图像均有最高点,图像最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.

1

思考 2:高函数 y=f(x)图像上最高点的纵坐标为 M,则对函数定义域内任意自变量 x,f(x)与 M 的大小关系如何?

成立. 对函数定义域内任意自变量 x,均有 f(x) ≤ M 成立.
2

思考 3:设函数 f(x)=1- x ,则 f(x) ≤ 2 成立吗?f(x)的最大值是 2 吗?为什么?

成立, f(x)的最大值不是 2,因为找不到一个自变量 x.,使得 f(x) ≤ 2 成立,但 f(x)的最大值不是 2,因为找不到一个自变量 x.,使得 f(x)=2 成立
思考 4:怎样定义函数 f(x)的最大值?用什么符号表示?

一般地, 满足: 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: 的定义域为 , (1) 对于任意的 x ∈ I,都有 f(x) ≤ M; , ; (2) 存在 x 0 ∈ I,使得 f(x 0 )=M. 使得 那么, 的最大值( 那么,我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值(maximum value) 的最大值 )
思考 5:函数的最大值是函数值域中的一个元素吗?如果函数 f(x)的值域是 (a,b) ,则函数 f(x) 存在最大值吗?

最大值是函数值域中的一个元素,函数图像上有最高点时,这个函数才存在最大值, 最大值是函数值域中的一个元素,函数图像上有最高点时,这个函数才存在最大值, 最高点必须是函数图像上的点, f(x)的值域是 a,b) 的值域是( ,则 没有最大值. 最高点必须是函数图像上的点,因此若 f(x)的值域是(a,b) 则 f(x)没有最大值. , f(x)没有最大值

2

知识探究二 知识探究二
观察下列两个函数图像:

y

y

m

m x0 图1 x x0

o

o
图2

x

思考 1:这两个函数图像上各有一个最低点,函数图像上最低点的纵坐标叫什么名称?

函数图像上最低点的纵坐标称为函数的最小值. 函数图像上最低点的纵坐标称为函数的最小值.
思考 2:仿照函数最大值的定义,怎样定义函数 f(x)的最小值?

一般地, 满足: 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: 的定义域为 , ; (3) 对于任意的 x ∈ I,都有 f(x) ≥ M; , (4) 存在 x 0 ∈ I,使得 f(x 0 )=M. 使得 那么, 的最小 那么,我们称 M 是函数 y=f(x)的最小值(minimum value) 的最 ) 理论迁移
2

例 1 "菊花"烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果 烟花距地面的高度 h 米与时间 t 秒之间的关系为 h(t )=-4.9t 2 +14.7t+18,那么烟花冲出后什么 时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到 1 米)?

例 2 已知函数 f(x)=

2 (x ∈ [2,6]),求函数的最大值和最小值. x 1

归纳基本初等函数的单调性及最值 归纳基本初等函数的单调性及最值
1. 正比例函数:f(x)=kx(k ≠ 0),当 k 0 时,f(x)在定义域 R 上为增函数;当 k 0 时,f(x)在 定义域 R 上为减函数, 在定义域 R 上不存在最值, 在闭区间 [a,b] 上存在最值, k 0 当 时函数 f(x)的最大值为 f(b)=kb,最小值为 f(a)=ka, 当 k 0 时, ,最大值为 f(a)=ka, 函数 f(x) 的最小值为 f(b)=kb. 2. 反比例函数:f(x)=

k (k ≠ 0),在定义域(- ∞ ,0) ∪ (0,+ ∞ )上无单调性,也不存在 x

3

最值.当 k 0 时,在(- ∞ ,0)(0,+ ∞ )为减函数;当 k 0 时,在(- ∞ ,0)(0,+ ∞ ) , , 为增函数.在闭区间[a,b]上,存在最值,当 k 0 时函数 f(x)的最小值为 f(b)= 最大值为 f(a)=

k , b

k k k , 当 k 0 时, 函数 f(x)的最小值为 f(a)= ,最大值为 f(b)= . a a b 3. 一次函数:f(x)=kx+b(k ≠ 0),在定义域 R 上不存在最值,当 k 0 时,f(x)为 R 上的增, 当 k 0 时,f(x)为 R 上的减函数,在闭区间[m,n]上,存在最值,当 k 0 时函数 f(x) 的最小值为 f(m)=km+b,最大值为 f(n)=kn+b, 当 k 0 时, 函数 f(x)的最小值为 f(n)=kn+b,
最大值为 f(m)=km+b.
2 4. 二次函数:f(x)=ax +bx+c,

当 a 0 时,f(x)在(- ∞ ,-

b b )为减函数,在(,+ ∞ )为增函数,在定义域 R 上 2a 2a

有最小值 f(

b 4ac b 2 )= ,无最大值. 2a 4a

当 a 0 时,f(x)在(- ∞ ,-

b b )为增函数,在(,+ ∞ )为减函数,在定义域 R 上 2a 2a

b 4ac b 2 有最大值 f( )= ,无最小值. 2a 4a
二次函数是闭区间上的最值问题是高考考查重点和热点内容之一,我们将在后面的专题 3 中具体讲解.

证明函数单调性作差中常用方法
例 1 证明函数 f(x)=x 3 +x 在 R 上是单调增函数. 配方法

例 2 证明函数 f(x)= - x 在定义域上是减函数. 分子有理化

例 3 讨论函数 f(x)=

ax 在 x ∈ (-1,1)上的单调性,其中 a 为非零常数. x 1
2

含字母参数时,要讨论参数范围

4

常用结论
例 4 讨论函数 f(x)=

1 的单调性. x + x +1
2

总结:1.函数 y=-f(x)与函数 y=f(-x)的单调性相反. 2. .函数 y=f(x)+c 与函数 y=f(x)的单调性相同. 3.当 c 0 时,函数 y=cf(x)与函数 y=f(x)的单调性相同,当 c 0 时,函数 y=cf(x)与 函数 y=f(x)的单调性相反. 4.若 f(x) ≠ 0,则函数 f(x)与

1 具有相反的单调性. f ( x)

5.若 f(x) ≥ 0,则函数 f(x)与

f (x) 具有相同的单调性.

6.对于函数 f(x)与 g(x)可以总结为: 增+增=增,增—减=增,减+减=减,减—增=减 7.当函数 f(x)和 g(x)的单调性相同时,复合函数 y=f[g(x)]是增函数; 当函数 f(x)和 g(x)的单调性相反时,复合函数 y=f[g(x)]是减函数. 简称为口诀"同增异减" . 练习: 1.已知 y=f(x)与 y=g(x)均为增函数,判断下列函数在公共定义域内的单调性. (1) y=-2f(x) (2) y=f(x)+2g(x) 2. 求函数 y= x + x 1 的最小值.
4

抽象函数的单调性
没有具体的函数解析式的函数,我们称为抽象函数,根据题目研究抽象函数的单调性, 是一类重要的题型, 证明抽象函数的单调性常用定义法; 还有一类型的题目是利用抽象函数 的单调性求参数范围. 例 1 已知函数 f(x)对任意 x,y ∈ R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x 0 时,f(x) 0,f(1)=-(1) 求证 f(x)在 R 上是减函数. (2) 求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

2 ,. 3

例 2 已知 y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(1-a) f(a 2 -1),求 a 的取值范围.

练习: 1. 定义域在(0,+ ∞ )上的函数 f(x)满足:(1)f(2)=1; (2) f(xy)=f(x)+f(y); (3) 当 x y 时, 有 f(x) f(y),若 f(x)+f(x-3) ≤ 2,求 x 的取值范围.

5

2. 已知函数 f(x)的定义域为 R,且 f(

1 )=2,对任意 m ,n ∈ R 都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,当 2

1 时,f(x) 0 . 2 1 (1).求 f(- )的值. 2
x (2)求证 f(x)在定义域 R 上是增函数.

函数单调性的应用 1.利用函数的单调性比较函数值的大小
例 1 如果函数 f(x)=x 2 +bx+c,对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),比较 f(1),f(2),f(4)的大小. 例 2 已知函数 y=f(x)在[0,+ ∞ )上是减函数,试比较 f(

3 )与 f(a 2 -a+1)的大小. 4

2.利用函数的单调性解不等式
例 3 已知 f(x)是定义在 R 上的单调函数,且 f(x)的图像过点 A(0,2),和点 B(3,0) (1)解方程 f(x)=f(1-x) (2) 解不等式 f(2x) f(1+x) (3) 求适合 f(x) ≥ 2 或 f(x) ≤ 0 的 x 的取值范围.
5

3.利用函数的单调性求参数的取值范围
已知函数的单调性,求函数解析式中参数的范围,是函数单调性的逆向思维问题.这类问题 能够加深对概念,性质的理解. 例 3 已知 f(x)=x 2 -2(1-a)x+2 在(- ∞ ,4)上是减函数,求实数 a 的取值范围.

例 4 已知 A=[1,b](b 1 ),对于函数 f(x)= 求 b 的值.

1 (x-1) 2 +1,若 f(x)的定义域和值域都为 A, 2

练习:已知函数 y=f(x)=-x 2 +ax-

a 1 + 在区间[0,1]上的最大值为 2,求实数 a 的值. 4 2

6

求函数值域的一般方法
1.二次函数求最值,要注意数形结合 与二次函数有关的函数,可以用配方法求值域,但要注意函数的定义域. 注意函数的定义域. 注意函数的定义域 例 1:求函数 y= - x + x + 2 的最大值和最小值.
2

2 例 2:求 f(x)=x -2ax+x2,x ∈ [-1,1],求 f(x)的最小值 g(a).

3 - 2a, a ≥ 1 g(a)= 2 a 2 ,1 a 1 3 + 2a, a ≤ 1
2.形如 y=ax+b ±

cx + d 的形式,可用换元法,即设 t= cx + d ,转化成二次函数再求值

域, 注意新元 t 的范围 t ≥ 0) (注意新元 例 3:求函数 y=x+ 2 x 1 的值域.

cx + d (a ≠ 0 )型的函数可借助反比例函数求其值域,这种方法也常被称为分离常 ax + b 6 c 数法.这种函数的值域为{y|y ≠ } a 3x + 1 例 4:求函数 y= 的值域. x2
3.形如 y= 4.利用单调性求值域:当函数图像不好作或作不出来时,单调性成为求值域的首选方法. 当函数图像不好作或作不出来时,单调性成为求值域的首选方法. 当函数图像不好作或作不出来时 性成为求值域的首选方法 例 5:求函数 f(x)=

x 在区间[2,5]上的最大值与最小值. x 1

5. 分段函数的最值问题 分段函数的最大值为各段上最大值的最大者,最小值为各段上最小值的最小者, 分段函数的最大值为各段上最大值的最大者,最小值为各段上最小值的最小者,故求 分段函数函数的最大或最小值,应该先求各段上的最值,再比较即得函数的最大,最小值. 分段函数函数的最大或最小值,应该先求各段上的最值,再比较即得函数的最大,最小值.

1 2 x , ( 2 ≤ x ≤ 1) 例 6:已知函数 f(x)= 求 f(x)的最大最小值. 1 , (1 x ≤ 2) x

赞助商链接

更多相关文章:
函数单调性最值学案(第二课时)
函数单调性最值学案(第二课时)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。1.3.1 单调性与最大(小)值(第二课时)学案学习目标: 1、理解函数的最大(小)值及其几何...
2.2.1.2 函数的单调性与最值(准高一新授课教案)
2.2.1.2 函数的单调性与最值(准高一新授课教案)_数学_高中教育_教育专区。函数的单调性与最值(准高一新授课教案)有答案和详解 第2 课时 函数的最大值...
数学必修一函数的单调性与最值教案
数学必修一函数的单调性与最值教案_数学_高中教育_教育专区。3.1.1 单调性与最值 (一)学习目标: 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念,掌握增(减)函数...
高一数学《函数的单调性与最值》学案
高一数学《函数的单调性与最值》学案 - 1.高一数学《函数的单调性与最值》学案 2.定义 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I: (1) 如果对于 -1 某个...
最新人教版高一数学必修1第一章《单调性与最大(小)值》教案(第2...
最新人教版高一数学必修1第一章《单调性与最大(小)值》教案(第2课时) - 第 2 课时 函数的最值 导入新课 思路 1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个...
高中数学教案,函数单调性与最值
高中数学教案,函数单调性与最值_数学_高中教育_教育专区。考向一 函数单调性的判断 知识点:单调性判断手法:①带值,②画图: ③简单单调性判定手法: “—f(x)...
《2.3函数的单调性与最值》 教案
《2.3函数的单调性与最值》 教案_数学_高中教育_教育专区。一轮复习标准教案函数的单调性与最值适用学科 适用区域 数学 新课标 1. 知识点 2. 3. 4. 教学...
2011新高一数学函数的单调性与最值教案[1]_2
2011新高一数学函数的单调性与最值教案[1]_2_数学_高中教育_教育专区。教师 ...二、新课教学 (一)函数单调性定义 1.增函数一般地,设函数 y=f(x)的定义...
高中数学同步课时跟踪检测《函数的单调性与最值》
高中数学同步课时跟踪检测《函数的单调性与最值》 - 课时跟踪检测(六) 函数的单调性与最值 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) ...
2011新高一数学函数的单调性与最值教案
2011新高一数学函数的单调性与最值教案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2011新高一数学函数的单调性与最值教案_数学_高中教育_教育...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图