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2012-2013年华南师大附中高三综合测试(含答案)



班别__________________姓名__________________考号 类别 密 封 线 内 不 要 答 题 ○???????○???????○???????○???????○???????○???????○??????○??????○??????○??????○ ???????????????????????????????????????????????????

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2012-2013 年华南师大附中高三综合测试(二)试题

数学(文科)
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本卷共 20 小题,满分 150 分,时间 120 分钟

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、已知集合 M ? {?2, ?1, 0,1, 2},N ? {x | A. {?1, 0,1} B. {?2, ?1, 0,1, 2}

1 ? 2 x ?1 ? 8,x ? R} ,则 M ? N ? ( 2
C. {0,1}



, D. {?1 0}
) D. ?1

2、设 a ? R ,若 (a ? i) 2 i ( i 为虚数单位)为正实数,则 a ? ( A.2 B.1 C.0

3、一组数据 20,30, 40,50,50,60,70,80 的平均数、中位数、众数的大小关系是 A.平均数 ? 中位数 ? 众数 C.中位数 ? 众数 ? 平均数 B.平均数 ? 中位数 ? 众数 D.众数 ? 中位数 ? 平均数 )

4、若 ? ? [ 1 8

? ?

7 , ] , sin ? ? ,则 sin 2? =( 4 2 4
B. - 1 8 C. 3 7 8

A.

3 7 D. - 8 )

5、设 Sn 为等差数列 {an} 的前 n 项和,若 S3 = 3,S6 = 24,则 a9 =( A. 13 B. 14 C. 15 D. 16

6、已知-7, a1 , a2 ,-1 四个实数成等差数列,-4, b1 , b2 , b3 ,-1 五个实数成等 比数列,则

a2 ? a1 =( b2



A.1

B.-1

C.2

D.±1

7、 函数 y ? 2 sin( A.[0,

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ] 为增函数的区间是 (
B.[

) D.[

π ] 3

π 7π , ] 12 12

C.[

π 5π , ] 3 6

5π ,π ] 6

8、已知 f ( x ) ? ( ) ,其反函数为 g (x) 则 g ( x 2 ) 是(
x

1 2



A.奇函数且在 (0,??) 上是增函数;B.偶函数且在 (0,??) 上是增函数; C.奇函数且在 (??,0) 上是增函数;D.偶函数且在 (??,0) 上是增函数;

→ → → → 9、△ABC 中,∠C = 60°,且 CA = 2,CB = 1,点 M 满足 BM = 2 AM ,则 CM · CA =( A. 4 + ) 3 B. 2 13 C. 7 D. 9 )

10、函数 y = log a x 在 [2,+?) 上恒有 | y | > 1,则 a 的取值范围是( 1 1 A. ( ,1)∪(1,2) B. (0, )∪(1,2) 2 2 1 C. (1,2) D. (0, )∪(2,+?) 2

第 II 卷

选择题(共 100 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11、 若向量 a , 满足 a ? b ? 1 , ? b 且 (2a ? 3b) ? (k a ? 4b) , 则实数 k 的值为 ****; a b

12、阅读图中的程序框图,该程序输出的结果是

***** .

13、一同学在电脑中打出如下若干个圆(图中●表示实圆,○表示空心圆) : ●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○ 若将此若干个圆依次复制得到一系列圆,那么在前 2002 个圆中,有 **** 个空心圆.

14、如图 2,圆 O 的割线 PAB 交圆 O 于 A, B 两点,割线 PCD 经过圆心 O ,已知 PA ? 6 ,

AB ?

22 , PO ? 12 ,则圆 O 的半径是__**** 。 3

第 14 题图

第 12 题图

三. 解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15、 (本小题满分 12 分)某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之 间,将测试结果按如下方式分成五组:每一组 ?13,14) ;第二组
频率 组距 0.38 0.32

?14,15) ??第五组 [17,18) .下图是按上述分组方法得到的频
率分布直方图. (I)若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,求该班 在这次百米测试中成绩良好的人数; (II)设 m 、 n 表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知

0.16

m, n??13,14) ?[17,18) .求事件 “ m ? n ? 1 ”的概率;
16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(

0.08 0.06 O

?
2

? x) cos x ? sin x cos(? ? x) ,

13

14

15

16

17

18



19题 图

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)在 ?ABC 中,已知 A 为锐角, f ( A) ? 1, BC ? 2, B ?

?
3

,求 AC 边的长;

17、 (本小题满分 14 分)已知 A、B、C 的坐标分别为 A(4,0),B(0,4),C(3 cos? ,3 sin? ) → → (1) 若 ?∈(-?,0) 且 | AC | = | BC |,求角 ? 的值; → → 2 sin 2? + sin 2? (2) 若 AC · BC = 0,求 的值; 1 + tan ? 18、 (本小题满分 14 分)
3 函数 f (x) 是定义在 [?1,1] 上的偶函数,当 x ? [?1,0] 时, f ( x) ? x ? 3ax ( a 为常数) 。

(1)当 x ? [0,1] 时,求 f (x) 的解析式; (2)求 f (x) 在[0,1]上的最大值。 19、 (本题满分 14 分)设 f ( x ) ? 有唯一实数根。 (1)求 f (x) 的解析式; (2)令 a1 ? 1, an ? f (an?1 ) 求数列 ?an ? 的通项公式。 20、 (本小题满分为 14 分)已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn = n 2-n(n ? N*) (1)求数列 {an} 的通项公式; (2)若数列 {bn} 满足 an + log 3 n = log 3 bn,求数列 {bn} 的前 n 项和; (3)若正数数列 {cn} 满足 cnn+1 = (n + 1) an+1 (n ? N*) ,求数列 {cn} 中的最大值; 2n

x 1 x ( b, c 为常数) ,若 f (2) ? ,且 f ( x) ? ? 0 只 bx ? c 2 2

2012-2013 年华南师大附中高三综合测试(二) 文科数学答案 一、选择题 1-10 题:ABDCCBCDCA 二、填空题 11、6; 12、729; 13、61; 14、8 三、解答题 15、解: (1)由直方图知,成绩在 内的人数为: (人) 所以该班成绩良好的人数为 27 人. (2)由直方图知,成绩在 的人数为 人,设为 、 、 ; 成绩在 的人数为 人,设为 、 、 、 . 若 时,有 3 种情况; 若 时,有 6 种情况;若 分别在 和 内时, A B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD z zA zB zC zD 共有 12 种情况; 所以基本事件总数为 21 种,事件“ ”所包含的基本事件个数有 12 种。 ∴P( )= 16、.解: (1) 由题设知: ,

(2)

17、解:(1) AC→ = (3cos a-4,3sin ?),BC = (3cos ?,3sin ? → -4) (1) 由 |AC→ | = |BC→ | 得 AC→2 = BC→2 , 即 (3cos ? -4) 2 + 9sin 2? = 9cos 2? + (3sin ? 2. sin ? = cos ? -4) ∵ ? ∈(-?,0), ? = -3?4 。 ∴ (2) 由 AC→ ?BC→ = 0,得 3cos ? (3cos ? -4) + 3sin ? (3sin ? -4) = 0, 解得 sin ? + c ? = 34 . 两边平方得 2sin ? cos ? = -716 , os ∴ 2sin 2? + sin 2?1 + tan ? = 2sin 2? + 2sin ? cos ?1 + sin ?cos ? = 2sin ? cos ? = - 716 。 18、解: (1)设 ,则 ,所以 ,又因为 是偶函数,所以 (2)当 时: ⅰ)当 时, 恒成立, 单调减。 ⅱ)当 时,由 ①当 时, 恒成立, 单调增。 ②当 时,由下表知:

x

+ 0 f(x) 增



综上所述:当 时, ;当 时, ; 当 时, 19、 (1) ,又 令 得 当 时得方程的实数根 和 当 时 方程有唯一实数根 或 (2)当 时, ,令 则 ,

于是

当 时, 为等比数列, 或 20、解:(1) ∵ Sn = n2-n 当 n = 1 时,有 a1 = S1 = 0 当 n≥2 时,有 an = Sn-Sn-1 = (n2-n)-((n-1)2-(n-1)) = 2n-2 当 n = 1 时也满足。 ∴ 数列 {an}的通项公式为 an = 2n-2(n∈N*) (2) 由 an + log 3n = log 3 bn 得:bn = n?3 2n(n∈N*) ∴ Tn = b1 + b2 + b3 + ? bn = 3 0 + 2?3 1 + 3?3 4 + ? + n?3 2n-2 ?? ① ∴ 9Tn = 3 2 + 2?3 4 + 3?3 6 + ? + n?3 2n ????② ②-① 得: 8Tn = n?3 2n-(1 + 3 2 + 3 4 + 3 6 + ? + 3 2n-2) = n?3 2n-3 2n-18 ∴ Tn = n?3 2n8 -3 2n-164 = (8n-1) 3 2n + 164 (3)由 cnn+1 = (n+1)an+!2n 可得:cnn+1 = n + 1,∴lncn = ln(n+1)n+1 令 f (x) = ln xx ,则 f ' (x) = 1x?x-ln xx 2 = 1-ln xx 2 , ∴ n≥2(n∈N*)时,{ln cn} 是递减数列,又 ln c1 < ln c2, ∴ 数列 {cn} 中的最大值为 c2 = 33



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