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函数的概念



1.2.1 函数的概念 一、 教材分析 1.函数是中学数学中最重要的基本概念之一 .在中学,函数的学习大致可分为三 个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函 数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性 质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、 基本初等函数(Ⅰ) 和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段

,这是对函数概念的再认识阶段.第 三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习 ,这是函数学习的进一步深化和提 高. 2.通过学生的回顾, 再现初中变量观点描述函数的概念,为后面用集合和对应的 观点来定义函数奠定基础。通过对实例的探究,让学生感受、体验对应关系在刻 画函数概念中的作用 ,使学生对数学的高度抽象性、严密的逻辑性和广泛的应 用性有进一步认识,提高抽象概括、分析总结、数学表达交流等基本数学思维能 力;培养学生分析问题、解决问题的能力。 二、 三维目标 1﹑知识与技能: (1)掌握函数 的概念,学会用函数的定义描述各类函数; (2)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域; (3)掌握区间的概念,学会正确使用“区间”的符号表示函数的定义域与值 域. 2、过程与方法: (1)通过实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模 型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系 在刻画函数概念中的作用; (2)掌握求一些简单函数的定义域和值域的方法. 3、情态与价值:使学生感受到学习函数的必要性和重要性,激发学习的积极性. 三、 教学重点 理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数. 四、 教学难点 符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解 成对应关系,甚至认为函数就是函数值. 五、 教学策略 1.通过大量的实例让学生体会了解函数的概念. 2.通过比喻的方式人学生理解函数的概念,符号“y=f(x)”的含义. 六、 教学准备 教学手段:多媒体辅助教学,增强直观性,增大课堂容量,提高效率. 七、 教学环节 1、课堂导入 复习初中所学函数的概念,强调函数的模型化思想; 初中函数的概念:在一个变 化过程中,如果有两个变量 x 与 y,并且对于 x 的每 一个确定的 值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么就说 y 是 x 的函数. 学过的函数: 正比例函数: y ? kx ?常数k ? 0? 一次函数: y ? kx ? b ?常数k ? 0?

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反比例函数: y ?

k ?常数k ? 0 ? x

二次函数: y ? ax2 ? bx ? c ?常数a ? 0?

2、课堂讲授 ⑴阅读课本引例,体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想: 思考: (课本 P15)给出三个实例: A. 一枚炮弹发射,经 26 秒后落地击中目标,射高为 845 米,且炮弹距地面 高度 h(米)与时间 t(秒)的变化规律是 h ? 130t ? 5t 2 .

B. 近几十年,大气层中臭氧迅速减少,因而出现臭氧层空洞问题,图中曲线 是南极上空臭 氧层空洞面积的变化情况.

C. 国际上常用恩格尔系数(食物支出金额÷总支出金额)反映一个国家人民 生活质量的高低. “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.

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归纳:三个实例变量之间的关系都可以描述为:对于数集 A 中的每一个 x , 按照某种对应关系 f ,在数集 B 中都与唯一确定的 y 和它对应,记作:
f : A?B

⑵函数的定义: 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么称 f: A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function) ,记作:
y ? f ( x), x ? A

其中, x 叫自变量, x 的取值范围 A 叫作定义域 (domain) , 与的 x 值对应的 y 值叫函数值,函数值的集合 { f ( x) | x ? A} 叫值域(range) 。 显然,值域是集合 B 的子集。 注意:1.对符号“ y ? f ( x) ”的理解: ① “ y ? f ( x) ”是函数符号,可以用任意字母表示,如 y ? g ( x), y ? F ( x) 等.只 是 y ? f ( x) 是习惯性用法。 ② f(x)的含义:f(x)表示与 x 对应的函数值,而不是 f 乘 x ,比如有一个人我 们如果认识他就说张三,李四,不认识他可以说人 M 1, M 2 ,函数也是一样, 如果知道一个函数就表示为 y ? 2x ? 1, y ? x2 ,如果不知道就说函数 y=f(x),
y ? g ( x), y ? F ( x) 等.

③f(x)与 f (a ) 的区别与联系:一般而言, f (a ) 表示当 x ? a 时函数 f(x)的值,是 一个常量;而 f(x)是自变量 x 的函数,在一般情况下,它是一个变量.
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④符号 f: A ? B 表示从集合 A 到集合 B 的一个函数, f 是对应关系,在不同的问 题中,其含义是不同的,它可以是一个或几个解析式,可以是图象﹑表格,也可 以是文字描述. 2.对函数概念的理解: ①集合 A、B 必须是非空的数集. ③ 对于 A 中的任意一个数 x,都能在在集合 B 中找到唯一确定的数与它对应. ④ 数的定义域是集合 A,值域是集合 B 的子集. ⑤ 数是一种对应,可以是一对一或多对一,一对多的对应不是函数关系. 打个比方,函数就像一个加工厂,函数的定义域就是原料,值域就是产品, 对应关系就是加工方法,原料是苹果,加工方法是榨汁,产品就是苹果汁,加工 方法是做罐头,产品就是苹果罐头,原料是桃子,加工方法是榨汁,则产品就是 桃汁.对应关系 f 就是把自变量 x 怎样“加工” ,比如 y ? 2 x ? 1 ,对应关系就是 把 x 先乘以 2 再加 1, y ? x2 就是把 x 平方. ⑶我们学过函数的定义域﹑值域: ①一次函数 y=ax+b (a≠0)的定 义域是 R,值域也是 R; ②二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a≠0)的定义域是 R,值域是 B;当 a>0 时,值域
? ? 4ac ? b 2 ? 4ac ? b 2 ? ? ? ? ? B ? ?y y ? B ? y y ? ;当 a ﹤ 0 时,值域 ? ? ?。 4 a 4 a ? ? ? ? ? ? ? ? k ③ 反比例函数 y ? (k ? 0) 的定义域是 ? x x ? 0? ,值域是 ? y y ? 0? 。 x ⑷区间及写法: 设 a、b 是两个实数,且 a<b,则: (1) 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为[a,b]; (2) 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为(a,b) ; (3) 满足不等式 a ? x ? b或a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,表示 为 ?a, b? , ? a, b? ;

这里的实数 a 和 b 都叫做相应区间的端点。 (数轴表示见课本 P17 表格) 符号“∞”读“无穷大” ; “-∞”读“负无穷大” ; “+∞”读“正无穷大” 。 我们把满足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别表示为 ?a, ??? , ? a, ??? ,

? ??, b?, ? ??, b? 。

巩固练习: 用区间表示 R、{x| x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0} (学生做,教师订正) 1 ⑸例题讲解:例1.已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? , x?2 2 (1) 求 f (?3), f ( ), f ? f ? ?3? ? 的值; 3 (2) 当 a>0 时,求 f (a), f (a ? 1) 的值。 分析: (1)让学生回想函数的定义域指的是什么?函数的定义域是使函数有意义的自变

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量的取值范围,故转化为求使 x ? 3 和 有意义,则 x+3≥0, 不等式组.

1 有意义的自变量的取值范围; x ? 3 x?2

1 有意义,则 x+2≠0,转化解由 x+3≥0 和 x+2≠0 组成的 x?2

2 )表示什么含义?f(-3)表示自变量 x=-3 时对应的函 3 2 2 2 数值,f( )表示自变量 x= 时对应的函数值.分别将-3, 代入函数的对应法则 3 3 3 2 中得 f(-3),f( )的值. 3 (3)f(a)表示自变量 x=a 时对应的函数值,f(a-1)表示自变量 x=a-1 时对应的函数 值. 分别将 a,a-1 代入函数的对应法则中得 f(a),f(a-1)的值.

(2)让学生回想 f(-3),f(

? x ? 3 ? 0, 解: (1)要使函数有意义,自变量 x 的取值需满足 ? 解得-3≤x<-2 或 x>-2, ? x ? 2 ? 0.
即函数的定义域是[-3,-2)∪(-2,+∞). 1 (2)f(-3)= - 3 ? 3 + =-1; ?3? 2
2 2 1 3 33 ?3? f( )= = ? . 2 3 3 8 2 ?2 3

(3)∵a>0,∴a∈[-3,-2)∪(-2,+∞), 即 f(a),f(a-1)有意义. 1 则 f(a)= a ? 3 + ; a?2 1 1 f(a-1)= a - 1 ? 3 ? = a?2? . a ?1? 2 a ?1 课堂练习 1.求函数 y=
( x ? 1) 2 ? 1 ? x 的定义域. x ?1

答案:{x|x≤1,且 x≠-1}. 【巩固训练】1. 函数 f(x )=x-120+|x2-1|x+2 的定义域为( A.-2,12 B.(-2,+∞) C.-2,12∪12,+∞ D.12,+∞ 解析: 要使函数式有意义,必有 x-12≠0 且 x+2>0,即 x>-2 且 x≠12. 答案: C 2.若 f(x)= ( )

)

1 的定义域为 M,g(x)=|x|的定义域为 N,令全集 U=R,则 M∩N 等于 x

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A.M

B.N

C. M

D. N

分析:由题意得 M={x|x>0},N=R,则 M∩N={x|x>0}=M. 答案:A 3.已知函数 f(x)的定义域是[-1,1],则函数 f(2x-1)的定义域是________. 分析:要使函数 f(2x-1)有意义,自变量 x 的取值需满足-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1. 答案: [0,1] 4﹑课堂小结: ①从具体实例引入了函数的概念,用集合与对应的语言描述了函 数的定义及其相关概念; ②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法,同时引 出了区间的概念。 5﹑作业布置课本:练习 1,2,3 八、 教学反思:1.通过大量实例和打比喻让学生真正了解函数概念是本节 的重点,从而为解决后面的问题打下基础. 2. 引领学生不断探究解决问题,逐步培养分析问题解决问题的 能力贯穿整个课堂.

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