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3.1不等关系与不等式



苏轼:《题西林壁》
? 横看成岭侧成峰 ? 远近高低各不同

现实世界和日常生活中,既有相等 关系,又存在着大量的不等关系,如: 1、今天的天气预报说:明天早晨最低温 度为25℃,明天白天的最高温度为31℃; 25℃≤t≤31℃ 2、三角形ABC的两边之和大于第三边; AB+AC>BC或…… 3、a是一个非负实数。 a≥0

/> 上述两标志的意义是什么?用不等式表 示是 V≤10 , V≥50 .

这是某酸奶的质量检查规定 脂肪含量(f) 不少于2.5% 蛋白质含量(p) 不少于2.3%

从表格中你能获得什么信息? 用数学关系来反映就是: f≥2.5% p≥2.3%

用不等式(组)来表示不等关系
1.不等式 用不等号(<、>、 ≤ 、 ≥ 、 ≠ )表 示不等关系的式子叫不等式。 “不等号”是英国数学家哈里奥特 ( T.Harriot )于 1631 年开始使用的,但 当时并没有被数学界所接受,直到 100 多 年后,才逐渐成为标准的应用符号。

1、下列各式中的不等式有 (1)8<9;

5

个。

(2)a+b=0;

(3)a2+1>0; (4)3x-1≤x; (5)x-y≠1; (7)4-2x; (6)3-x=0; (8)x2+y2>0.

2、用适当的符号表示下列关系: a< 0 (1) a是负数; a≥0 (2) a是非负数; (3) a与b的和小于5; a+b<5 (4) x与2的差大于-1;x-2>-1 (5) x的4倍不大于7; 4x≤7 1 (6) y的一半不小于3. y ≥3
2

例1、有一个两位数大于50而小于60,其个位数字 比十位数字大2,试用不等式(组)表示上述关系
分析:设个位数字为

?50 ? 10b ? a ? 60 ?a ? b ? 2 ? ? ?0 ? a ? 9 ? ?0 ? b ? 9 ?a ? N ? ? ? ?b ? N

a , 十位数字为 b

,则

练习1:若需在长为4000mm圆钢上,截出长 为698mm和518mm的两种毛坯,问怎样写出 满足上述所有不等关系的不等式组?

分析:
设698mm与 518mm分别x 与 y个

?698 x ? 518 y ? 4000 ?x ? 0 ? ? y ? 0 ? ? ? x, y ? N

比较两数(式)大小的方法:
(1)若a-b=0则a___b = (2) 若a-b>0则a___b >

(3) 若a-b<0则a___b <

注:比较两数大小 可以用作差法.

1、在下列各题的横线中填入适当的不等号.

< 6 ? 2 6; ⑴ ( 3 ? 2) 2 _____
< 6 ? 1) 2 ; ⑵ ( 3 ? 2) 2 ____(
1 1 < ⑶ ______ ; 5?2 6? 5

> log 1 b. ⑷若0 ? a ? b , log 1 a ____
2 2

例1.比较x2-x与x-2的大小. 解:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2

=(x-1)2+1,
因为(x-1)2≥0, 所以(x2-x)-(x-2)>0,

因此x2-x>x-2.

作差,与零比较大小.

练习 1.比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.

解: ∵ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4)
? (a 2 ? 2a ? 15) ? (a 2 ? 2a ? 8) ? ?7 ∴ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4) <0
∴ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4)

练习2. 比较 x 3 与 x 2 ? x ? 1 的大小. 解:x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1 =x2(x-1)+(x-1) =(x-1)(x2+1), ∵ x2+1>0, ∴ 当x>1时,x3>x2-x+1; 当x=1时,x3=x2-x+1, 当x<1时,x3<x2-x+1.

性质1:如果a>b,那么b<a;如果b<a, 那么a>b. 性质1表明,把不等式的左边和右边交 换位置,所得不等式与原不等式异向,我 们把这种性质称为不等式的对称性。 性质2:如果a>b,b>c,那么a>c.
这个性质也可以表示为c<b,b<a,则c<a. 这个性质是不等式的传递性。

性质3:如果a>b,则a±c>b±c.
性质3表明,不等式的两边都加(减) 上同一个实数,所得的不等式与原不等式 同向. 推论1:不等式中的任意一项都可以把它 的符号变成相反的符号后,从不等式的 一边移到另一边。 (移项法则)

性质5:如果a>b,c>d,则a+c>b+d. 根据不等式的传递性得 a+c>b+d.
几个同向不等式的两边分别相加,所得的不等

式与原不等式同向。
练习:若-1<x<2,1<y<10,则x+y的范围是 (0,12) . 拓展:你还能求出x-y的范围吗?

1 ? y ? 10 ? ?10 ? ? y ? ?1
? ?11 ? x ? y ? 1

性质4:如果a>b,c>0,则ac>bc;

如果a>b,c<0,则ac<bc.
(可乘性)负改正不改

性质6:如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd.
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘, 所得的不等式与原不等式同向。 练习:若x>3,y>5,则xy的范围是 xy>15 ; ;

拓展:若x<-1,y<-10,则xy的范围是 xy>10

性质7:a

? b ? 0 ? a ___ > b (n ? N , n ? 2)
n n

练习:若x>2,则x2________ : >4 拓展:若x<-5呢? x2>25 若-1<x<3呢? 0≤x2<9

性质8: a

> b (n ? N , n ? 2) ? b ? 0 ? a ___

n

n

1.设a ? b, 用“ ?”或“ ?”填空 .
(1)a ? 3 ___ < b?3 a b (3) ? ___ > ? 3 3 (2)2a ___ < 2b (4) ? 5a ___ > ? 5b

2.对于实数a,b,c中,下列命题 正确的是哪些?

若a ? b, 则ac ? bc ×
2 2

√ 2 2 若a ? b ? 0, 则a ? ab ? b √ 1 1 若a ? b ? 0, 则 ? × a b

若ac ? bc , 则a ? b
2 2

一、复习回顾
不等式的性质有哪些?
性质1:如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.

性质2:如果a>b,b>c,那么a>c. 性质3:如果a>b,则a±c>b±c. 性质4:如果a>b,c>0,则ac>bc;
如果a>b,c<0,则ac<bc.

性质5:如果a>b,c>d,则a+c>b+d.
n > 性质7:a ? b ? 0 ? a ___ b (n ? N , n ? 2) n n > b (n ? N , n ? 2) 性质8: a ? b ? 0 ? a ___ n

性质6:如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd.

例1:应用不等式的性质,证明下列不等式:
1 1 (1)已知a>b,ab>0,求证: ? ; a b

(2)已知a>b, c<d,求证:a-c>b-d;
a b (3)已知a>b>0,d>c>0,求证: ? c d

1 1 ? 练习. ; a b 1 1 (3)a ? b ? a 成立的个数是( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

已知a>b,不等式:(1)a2>b2;(2)

练习:若a>b,则下列不等式
⑤ a >b ;⑥ lg(a-b)>0中,成立的个数为(B) ( A) 0 ( B) 1 ( C) 2 ( D) 3
b ① a+b>a-b;② ac>bc; ③ ? 1 ;④ 2a>2b ; a 2 2

x 例4.如果30<x<36,2<y<6,求x-2y及 y

的取值范围。 18<x-2y<32,

x 5 ? ? 18 y

练习:若-3<a<b<1,-2<c<-1,求(a-
b)c2的取值范围。 因为-4<a-b<0,1<c2<4,

所以-16<(a-b)c2<0

例5.若 ?

?
2

≤? ? ? ≤

?
2

,求

? ?? ? ??
2 , 2

的取值范围。

?

?
2

?

? ??
2

?

?
2

,?

?
2



? ??
2

?0

? 1? x? y ? 3 已知 ? ,求4x+2y的取 ?? 1 ? x ? y ? 1 值范围。

练习.已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a- b≤5,求9a-b的取值范围。 解:设9a-b=m(a-b)+n(4a-b) =(m+4n)a-(m+n)b, 令m+4n=9,-(m+n)=-1,解得, 5 8 m ? ? ,n ? 3 3 8 5 所以9a-b= ? (a-b)+ (4a-b) 3 3

由-4≤a-b≤-1,得
5 5 20 ≤ ? ( a ? b) ≤ 3 3 3

由-1≤4a-b≤5,得
8 8 40 ? ≤ (4a ? b) ≤ 3 3 3

以上两式相加得-1≤9a-b≤20.

小结

小结
内 容

不等式的性质 对称性 传递性 加法性质 乘法性质 指数运算性质 倒数性质

a?b?b?a a ? b ? b ? a; a ? b, b ? c ? a ? c a ? b ? a ? c ? b ? c; a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d a ? b, c ? 0 ? ac ? bc; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd a ? b ? 0 ? a n ? bn ; a ? b ? 0 ? n a ? n b 1 1 a ? b, ab ? 0 ? ? a b

关于不等式性质的学习要注意 要弄清每一性质的条件和结论,注意条件的放宽和加强,以及条件 与结论之间的相互联系.特别要注意有些性质的逆命题成立的;有 些性质的逆命题不成立



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