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数列的存在性问题+精简版



1. 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ?

3 3an , an ?1 ? , n ? 1, 2, 5 2an ? 1



(1)求证:数列 ?

?1 ? ? 1? 为等比数列; ? an ?

(2) 记 Sn ?

1 1 ? ? a1 a2

/>
1 ,若 Sn ? 100 ,求最大的正整数 n . an

2 2. 已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列, Sn 为其前 n 项和,且满足 an ? S2n?1 ,令

bn ?

1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn . an ? an ?1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式及数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ; (2) 是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) , 使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在, 求出所有的 m, n 的值;若不存在,请说明理由.

3. 已知数列 ?bn ? 前 n 项和 S n ?

3 2 1 3 n ? n . 数列 ?an ? 满足 an ? 4 ?(bn ?2) (n ? N ? ) ,数列 2 2

?cn ?满足 cn ? anbn 。
(1)求数列 ?an ? 和数列 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ; (3)若 c n ?

1 2 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。 4

4. 设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ,数列 ?bn ? 满足 bn ? (Ⅰ)若 b1 , b2 , b8 成等比数列,试求 m 的值;

an (m ? N * ) . an ? m

(Ⅱ)是否存在 m ,使得数列 ?bn ? 中存在某项 bt 满足 b1 , b4 , bt (t ? N * , t ? 5) 成等差数 列?若存在,请指出符合题意的 m 的个数;若不存在,请说明理由.

5.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? an?1 ? 3n 。设 bn ? an ? (1) 求证:数列 ?bn ? 是等比数列 (2) 求数列 ?an ? 的前 n 项的和 (3) 设 T2 n ?

1 n ?3 4

1 1 1 1 1 ,求证: T2 n ﹤3 ? ? ? ...... ? a1 a2 a3 a4 a2 n

1. 已知数列 ?bn ? 前 n 项和 S n ?

3 2 1 3 n ? n . 数列 ?an ? 满足 an ? 4 ?(bn ?2) (n ? N ? ) ,数列 2 2

?cn ?满足 cn ? anbn 。
(1)求数列 ?an ? 和数列 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ;

1 2 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。 4 解: (1)由已知和得,当 n ? 2 时, 3 1 3 1 bn ? S n ? S n ?1 ? ( n 2 ? n) ? ( (n ? 1) 2 ? (n ? 1)) ? 3n ? 2 2 2 2 2
(3)若 c n ? 又 b1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 ,符合上式。故数列 ?bn ? 的通项公式 bn ? 3n ? 2 。
3 又∵ an ? 4 ?(bn ?2) ,∴ a n ? 4
? ( bn ? 2 ) 3

?4

?

( 3n ? 2 ) ? 2 3

1 ? ( )n , 4

n 故数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? ( ) , n (2) c n ? a n bn ? (3n ? 2) ? ( ) ,

1 4

1 4

1 1 1 1 ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 S n ? 1 ? ( ) 2 ? 4 ? ( ) 3 ? 7 ? ( ) 4 ? ? ? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 , 4 4 4 4 4 4 3 1 1 1 1 1 1 S n ? ? 3 ? [( ) 2 ? ( ) 3 ? ( ) 4 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 ①-②得 4 4 4 4 4 4 4 1 1 ( ) 2 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 1 4 ? ? 3? 4 ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 1 4 4 1? 4 1 1 n ?1 ? ? (3n ? 2) ? ( ) , 2 4 2 12 n ? 8 1 n?1 2 3n ? 2 1 n ? ( ) ?? ? ?( ) 。 ∴ Sn ? ? 3 3 4 3 3 4 S n ? 1? 1 4 1 n ?1 1 n 1 n 3n ? 1 ? (3n ? 2)] ∴ c n ?1 ? c n ? (3n ? 1) ? ( ) ? (3n ? 2) ? ( ) ? ( ) ? [ 4 4 4 4 1 ? ?9 ? ( ) n ?1 (n ? 1) , 4
n (3)∵ c n ? (3n ? 2) ? ( ) ,

当 n ? 1 时, cn?1 ? cn ;当 n ? 2 时, cn?1 ? cn ,∴ (c n ) max ? c1 ? c 2 ? 若 cn ?

1 。 4

1 2 1 1 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,则 m 2 ? m ? 1 ? 即可, 4 4 4

∴ m 2 ? 4m ? 5 ? 0 ,即 m ? ?5 或 m ? 1 。

2. 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ?

3 3an , an ?1 ? , n ? 1, 2, 5 2an ? 1



(1)求证:数列 ?

?1 ? ? 1? 为等比数列; ? an ?

(2) 记 Sn ?

1 1 ? ? a1 a2

1 ,若 Sn ? 100 ,求最大的正整数 n . an

2. (1)∵

1 2 1 , ? ? an ?1 3 3an



1 1 1 ?1 ? ? ,……………………………………………………2 分 an ?1 3an 3
且∵

1 ?1 ? 0 , a1



1 ? 1 ? 0(n ? N* ) , …………………………………………………………3 分 an
?1 ? ? 1? 为等比数列. ………………………………………………………4 分 ? an ?

∴数列 ?

(2)由(1)可求得

1 2 1 ? 1 ? ? ( ) n ?1 , an 3 3



1 1 ? 2 ? ( ) n ? 1 .………………………………………5 分 an 3 1 1 ? ? a1 a2 1 1 1 ? n ? 2( ? 2 ? an 3 3

Sn ?


?

1 1 ? n ?1 1 1 ? n ) ? n ? 2 ? 3 3 ? n ? 1 ? n ,…… 7 1 3 3 1? 3

若 Sn ? 100 ,则 n ? 1 ?

1 ? 100 , 3n

∴ nmax ? 99 .…………………………………………………9 分

3. 设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ,数列 ?bn ? 满足 bn ? (Ⅰ)若 b1 , b2 , b8 成等比数列,试求 m 的值;

an (m ? N * ) . an ? m

(Ⅱ)是否存在 m ,使得数列 ?bn ? 中存在某项 bt 满足 b1 , b4 , bt (t ? N * , t ? 5) 成等差数 列?若存在,请指出符合题意的 m 的个数;若不存在,请说明理由. 17.解: (Ⅰ)因为 Sn ? n2 ,所以当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1………………3 分 又当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ,适合上式,所以 an ? 2n ? 1( n ? N )…………… …4 分
*

2n ? 1 1 3 15 , b2 ? , b8 ? , 则 b1 ? ,由 b2 2 ? b1b8 , 2n ? 1 ? m 1? m 3? m 15 ? m 3 2 1 15 ) ? ? 得( ,解得 m ? 0 (舍)或 m ? 9 ,所以 m ? 9 …………7 分 3? m 1 ? m 15 ? m
所以 bn ? (Ⅱ)假设存在 m ,使得 b1 , b4 , bt (t ? N * , t ? 5) 成等差数列,即 2b4 ? b1 ? bt ,则

2?

36 7 1 2t ? 1 ? ? ,化简得 t ? 7 ? ……………………………12 分 m?5 7 ? m 1 ? m 2t ? 1 ? m

所以当 m ? 5 ? 1, 2,3, 4,6,9,12,18,36 时,分别存在 t ? 43, 25,19,16,13,11,10,9,8 适合 题意, 即存在这样 m ,且符合题意的 m 共有 9 个 …………………………………………14 分
2 4. 已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列, Sn 为其前 n 项和,且满足 an ? S2n?1 ,令

bn ?

1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn . an ? an ?1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式及数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ; (2) 是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) , 使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在, 求出所有的 m, n 的值;若不存在,请说明理由. 4.解: (1)因为 ?an ? 是等差数列,由 an ? S2 n ?1 ?
2

(a1 ? a2 n ?1 )(2n ? 1) ? (2n ? 1)an , 2

又因为 an ? 0 ,所以 an ? 2n ? 1,

……2 分

由 bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
? 1 1 n ? )? . ……6 分 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 m n , Tn ? 所以 T1 ? , Tm ? , 3 2m ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 (1 ? ? ? ? 2 3 3 5 n (2)由(1)知, Tn ? , 2n ? 1
所以 Tn ? 若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 (

m2 n m 2 1 n ) ? ( ) ,即 ? .……8 分 2 2m ? 1 3 2n ? 1 4m ? 4m ? 1 6n ? 3
可得

解法一:由

m2 n ? , 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3

3 ?2m2 ? 4m ? 1 ? , n m2

所以 ?2m2 ? 4m ? 1 ? 0 , 从而: 1 ?

……12 分

6 6 ,又 m ? N ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 . ? m ? 1? 2 2

故可知:当且仅当 m ? 2 , n ? 12 使 数列 ? Tn ?中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列。……16 分

m2 1 n 1 1 ? ,即 2m2 ? 4 m ?1 ?0 ,……12 分 解法二:因为 ? ? ,故 2 4m ? 4 m ?1 6 6n ? 3 6 ? 3 6 n
从而: 1 ?

6 6 , (以下同上) . ? m ? 1? 2 2

5.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? an?1 ? 3n 。设 bn ? an ? (4) 求证:数列 ?bn ? 是等比数列 (5) 求数列 ?an ? 的前 n 项的和 (6) 设 T2 n ?

1 n ?3 4

1 1 1 1 1 ,求证: T2 n ﹤3 ? ? ? ...... ? a1 a2 a3 a4 a2 n



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