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2.2



高中数学人教A版选修2-1第2章第2节第一课时

及其标准方程

认识椭圆

2.2.1

椭圆及其标准方程

用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,得到的 截面是一个圆.如果改变平面与圆锥轴线的夹 角,会得到椭圆、双曲线、抛物线等图形. 通常把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲 线

. 本章研究如何建立这些曲线的方程,然后利用 方程研究它们的性质,并运用这些性质解决实 际问题.

椭圆
第一定义法画椭圆.swf 第一定义法画椭圆.gsp

1.椭圆的定义:
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常 数(大于│F1F2│)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离 叫做椭圆的焦距.

求椭圆的标准方程:
平面内到两个定点F1 , F2 ( F1 F2 ? 2c, c ? 0)的距离 之和为常数2a(2a ? 2c )的点的轨迹叫椭圆.
y

M ( x, y )
x

如何建立坐 标系? 怎样设动点 的坐标?

F1

F2

解 :以椭圆两焦点F1 , F2所在直线为x轴, 线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系xOy.
设M ( x, y )是椭圆上任意一点.

求椭圆的标准方程:
平面内到两个定点F1 , F2 ( F1 F2 ? 2c, c ? 0)的距离 之和为常数2a(2a ? 2c )的点的轨迹叫椭圆. y
M( x , y )

F1

F2

x

由 MF1 ? MF2 ? 2a得 : ( x ? c )2 ? y 2 ? ( x ? c )2 ? y 2 ? 2a

移项并平方得:( x ? c )2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c )2 ? y 2 ? ( x ? c )2 ? y 2

即:a 2 ? cx ? a ( x ? c )2 ? y 2

两边再平方:a -2a cx +c x ? a x -2a cx +a c +a y
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

即:(a ? c ) x ? a y ? a (a ? c )
2 2 2 2 2 2 2 2

求椭圆的标准方程:
平面内到两个定点F1 , F2 ( F1 F2 ? 2c, c ? 0)的距离 之和为常数2a(2a ? 2c )的点的轨迹叫椭圆.
y

M( x, y )

由 | MF1 | + ? MF2 |? a得 : | =2 ( x ? )2 + ? 2 + ? ( x ? )2 ? 2 = ? a c y c y 2
x

-c?
F1

?

c

F2

(a ? c ) x ? a y ? a (a ? c )
2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 ? 2 2 ?1 2 a a ?c

求椭圆的标准方程:
平面内到两个定点F1 , F2 ( F1 F2 ? 2c, c ? 0)的距离 之和为常数2a(2a ? 2c )的点的轨迹叫椭圆.
y

M

-c?
F1

b
O

a
c
?

x y ? 2 2 ?1 2 a a ?c
x
2

2

2

替 代

F2

x y ? 2 ?1 2 a b

2

椭圆的标准方程:
焦点在x轴:
y
M
F1

x y ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b
焦点在y轴:

2

2

o
y
F2

F2

x

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

M

o
F1

x

几点说明:
(1)所谓椭圆的标准方程,一定是焦点在坐标轴 上,且两焦点的中点为坐标原点.
x2 y2 y2 x2 (2)在 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? 1 这两个标准方程中,都 a b a b 2 x y2 有a>b>0的要求.如方程 ? ? 1 (m>0,n>0) m n

就不能肯定焦点在哪个轴上. (3)通常这个常数记为2a,焦距记为2c, 且2a>2c ; 如果2a = 2c,则M点的轨迹是线段F1F2. 如果2a < 2c,则M点的轨迹不存在.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

椭圆的标准方程的再认识:

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平 方和,右边是1。 (2)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大, 则焦点在哪一个轴上。 (3)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足 a2=b2+c2。 (4)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c 的值。

尝试应用
练习1.下列方程哪些表示椭圆? 若是,则判定其焦点在何轴?写出焦点坐标. 2 2 2 2 x y x y ( 2) ? ?1 (1) ? ?1 16 16 25 16 2 2 x y (4)9x2 ? 25y 2 ? 225 ? 0 ( 3) ? ?1 2 2 m m ?1 2 2 当k取何值时,方程分 (5) ? 3x ? 2y ? ?1 别表示圆,椭圆,焦点 2 2 x y ( 6) ? ? 1 在x轴上的椭圆? 24 ? k 16 ? k

例1 求适合下列条件的标准方程:

(1) 两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0) 椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10;

(2) 两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,-2)
3 5 并且椭圆经过点 (? 2 , 2 )

x y ? ? 1表示焦点在 x轴上的椭圆, 练习1,方程 | a | ?1 a ? 3 求 a 的取值范围。

2

2

?| a | -1 ? 0 ? 分析 :由题意, ? a ? 3 ? 0 ? -3 ? a ? -2 ?| a | -1 ? a ? 3 ?

练习2:x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,

求k的取值范围

练习3,方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上 (0,4) 的椭圆, k的取值范围是________.

练习4,椭圆mx2+ny2=-mn(m<n<0)的焦点坐 标是_________________

(0, n ? m) ?

尝试应用
练习2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程.

已知两个焦点分别为F1 (0, ?4), F2 (0,4).椭圆上的点 P到两个焦点的距离和是10, 则椭圆的标准方程?
x2 y2 ? ?1 25 9

变式一:将上题焦点改为(0,-4)、(0,4), 结果如何? 变式二:将上题改为两个焦点的距离为8,椭圆上一点P 到两焦点的距离和等于10,结果如何? x 2 y2 当焦点在x轴时,方程为: 25 ? 9 ? 1
y2 x2 当焦点在y轴时,方程为: ? ?1 25 9
y2 x2 ? ?1 25 9

效果检测
1.填空:

x2 y 2 ? ? 1 ,则a=_____, (1)已知椭圆的方程为: 5 25 16 (-3,0),(3,0) b=_______,c=_______,焦点坐标为:____________ 4 3 焦距等于______; 6

x y 练习4,已知经过椭圆 ? ? 1左焦点F1的直线交 16 9 16 椭圆于A, B两点, 则? ABF2的周长为 ________
分析 : 如图,| AF1 | ? | AF2 |? 2a ? 2 ? 4 ? 8 | BF1 | ? | BF2 |? 2a ? 2 ? 4 ? 8 所以,? ABF2周长为: | AF1 | ? | AF2 | ? | BF1 | ? | BF2 |? 4a y 16 ?
B F1 A
O

2

2

F2

x

x y 练习4, AB是过椭圆 2 ? 2 ? 1左焦点F1的弦, a b 则? ABF2的周长为 ______ 4a

2

2

练习1,动点P到两定点F1 (?4,0), F2 (4,0)的距离之和 y ? 0,( ?4 ? x ? 等于8, 则点P的轨迹方程是____________ 4)
练习2, 化简方程 x ? y ? 3) ? x ? y ? 3) ? 10. ( ( 2 2 y x ? ?1 25 16 方程的几何意义 :
2 2 2 2

点( x, y )到两定点(0,-3),(0, 3)的距离之和等于10 ? 6
3.化简方程 ( x ? 3) ? y ? ( x ? 3) ? y ? 12
2 2 2 2

谈谈收获
探究定义 P={M||MF1|+|MF2|=2a(2a>2c)}.
y M

y F2
M x

不 同 点




F1

O

F2

x

O

F1

标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0?

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a
F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

a2-c2=b2 (a>b>0) 分母哪个大,焦点就在哪个轴上

定 义

|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y
M

y
F 2 M

图 形

F1

o

F2

x

o
F1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间
的关系

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 2 a b a b
F(±c,0) F(0,±c)

c2=a2-b2

题型一:椭圆第一定义
x2 1.椭圆 ? y 2 ? 1上一点P到一个焦点的距离为2. 25 则点P到另一个焦点的距离为( D ) A, 5 B, 6 C , 7
2 2

D, 8

x y 2.椭圆 ? ? 1上一点M 到左焦点F1的距离为2, 25 9 N 是MF1的中点, 则 ON 等于(B ) A, 2 B, 4 C, 8 3 D, 2

x2 y2 3,已知M为椭圆 ? ? 1上一点, MF1 ? MF2 ? 1, 3 4 则? MF1 F2是 _____ 三角形.
分析, c ? 1, 则 | F1 F2 |? 2c ? 2 3 MF2 ? 2

? MF1 ? MF2 ? 1 5 ? 由? 可得 : MF1 ? , 2 ? MF1 ? MF2 ? 2a ? 4 ? 因为 MF2 ? | F1 F2 | ? MF1 ,
2 2 2

所以, 三角形为直角三角形

x y 4.设P是椭圆 ? ? 1上一点, P到两个焦点F1 , F2 16 12 的距离之差为2, 则?PF1 F2是( B ) A.锐角三角形 C .钝角三角形 B .直角三角形 D .等腰直角三角形

2

2

x2 y2 5.已知椭圆 ? ? 1的两个焦点是F1 , F2 , 点P是椭圆 16 9 上的一个动点.如果延长F1 P到Q , 使得 PQ ? PF2 ,那么 动点Q的轨迹是________________

以F1为圆心, 半径r ? 2a ? 8的圆.

6.在平面直角坐标系中,已知?ABC的顶点A( ?4, 0) x2 y2 和C (4, 0).顶点B在椭圆 ? ? 1上, 25 9 sin A ? sin C 5 则 ? ______ sin B 4

x y 7.已知F1 , F2为椭圆 ? ? 1的两个焦点, 100 64 P为椭圆上一点, 求 PF1 PF2 的最大值. 100

2

2

a?b 2 a ?b 基本不等式 : ab ? ( ) ? 2 2
2

2

能力提升:焦点三角形的面积 x2 y2 例已知F1 , F2为椭圆 ? . ? 1的两个焦点, P为椭 25 9 圆上一点,已知?F1 PF2 ? 900.求?F1 PF2的面积.

?| PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 10 ? 由? | PF1 |2 ? | PF2 |2 ? (2c )2 ? 64 ? ? 2 得 : (| PF1 | ? | PF2 |) - 2 | PF1 | ? | PF2 |? 64 所以 :| PF1 | ? | PF2 |? 18 则 : S? F1 PF2 ? 9
F1

y

P

F2

x y 8.已知F1 , F2为椭圆 ? ? 1的两个焦点, P为椭 4 5 圆上一点,已知?F1 PF2 ? 300.求?F1 PF2的面积.

2

2

分析:由余弦定理可得|PF1|?|PF2 |

8?4 3

x2 y2 9.已知F1是椭圆 ? ? 1的左焦点, P为椭圆上的 9 5 动点, A(1,1)为定点, 则 PF1 ? PA 的最小值为( B ) A, 9 ? 2 B, 6 ? 2 C, 3 ? 2 D, 6 ? 2

x y 练习13.已知F1 , F2是椭圆 ? ? 1的两个焦点, 100 64 P是椭圆上任意一点, 且?F1 PF2 ? 的面积.
分析 :由余弦定理可得 | PF1 | ? | PF2 |

2

2

?
3

, 求?F1 PF2

y

P

64 3 3

F1

F2

x

思维拓展:
x2 y2 例,若点P是椭圆 2 ? 2 ? 1上的一点, F1和F2分别是椭圆 a b sin ? 2 的左, 右焦点, 若?F1 PF2 ? ? , 求证 : S?F1 PF2 ? b ? . 1+ cos ?

y

P

F1

F2

x

???? ???? x y 练习,已知P为椭圆 2 ? 2 ? 1上一点, PF1 ?PF2 ? 0, a b 2 b 则S? F1 PF2 ? _____
2 2

x2 y2 10.已知点P是椭圆 : ? ? 1上一点, 且点P在第 4 3 0 二象限, ?PF1 F2 ? 120 .求?F1 PF2的面积. 3 3 5

题型二:求椭圆的标准方程
例1,已知椭圆的两个焦点F1 (-2, 0), F2 (2, 0), 并且椭圆 5 3 过点M ( , - ), 求它的标准方程. 2 2 解 :由椭圆定义可知 : 2a ?| MF1 | ? | MF2 |
5 3 5 2 3 2 2 ? ( ? 2) ? (- - 0) ? ( -2) ? (- - 0)2 =2 10 2 2 2 2

所以a ? 10, c ? 2, 则b2 ? 6

又因为焦点在x轴上, 所以标准方程为 : x2 y2 ? ?1 10 6

例1,已知椭圆的两个焦点F1 (-2, 0), F2 (2, 0), 并且椭圆 5 3 过点M ( , - ), 求它的标准方程. 2 2
解 :由椭圆定义可知 : 2a ?| MF1 | ? | MF2 |
5 3 5 2 3 2 2 ? ( ? 2) ? (- - 0) ? ( -2) ? (- - 0)2 =2 10 2 2 2 2

所以a ? 10, c ? 2, 则b2 ? 6

又因为焦点在x轴上, 所以标准方程为 : x2 y2 ? ?1 10 6

例.求经过点(2,-3),且与椭圆9x2+4y2=36有共 同焦点的椭圆方程.
x2 y2 解 :已知椭圆即为 ? ? 1, 可见:c 2 ? 5. 4 9 2 2 x y 可设椭圆方程为 ? ? 1(? ? 0), ? ? ?5 把点(2, ?3)代入求得? ? 10或? ? ?2(舍 ). x y 所求椭圆方程为 ? ? 1. 10 15
2 求椭圆的标准方程的步骤: y 2 x (1)首先要判断焦点位置,设出标准方程(先定位) 也可设方程为 ? ? 1, 可求得k ? 4? k 9? k (2)根据椭圆定义或待定系数法求a,b (后定量)
2 2

6

练习已知椭圆过点A(3,0), a ? 3b, 求椭圆的标准方程 ,

讨论,(1)当焦点在x轴上时, a ? 3, b ? 1 x 2 标准方程 : ? y ?1 9 (2),当焦点在y轴上时, b ? 3, a ? 9
2

y x 标准方程 : ? ?1 81 9

2

2

例已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴, . 且经过P1 ( 6,1), P2 ( ? 3, ? 2), 求椭圆的方程.

x2 y2 分析 : 设椭圆 : 2 ? 2 ? 1( m ? 0, n ? 0) m n 1 1 ? 6 ? 1 ? m 2 ? n2 ? 1 ? m2 ? 9 ? ? 由题意 ? , 解得 : ? ? 3 ? 2 ?1 ?1 ?1 ? m 2 n2 ? n2 3 ? ?
注意:可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n), 以避免讨论焦点所在坐标轴.

4, 过点A(- 3, ?2)和B( ?2 3,1)两点的椭圆的标准方 程为:________

分析 : 设椭圆标准方程 : mx ? ny ? 1(m ? 0, n ? 0)
2 2

? 3m ? 4n ? 1 1 1 则有 ? ,得 : m ? , n ? 15 5 ?12m ? n ? 1
x y 所以,椭圆标准方程为 + =1 15 5
2 2

例.已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,
4 5 2 5 点P到两焦点的距离分别为 和 ,过P作 3 3

长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的
方程.
2 2

x 3y ?y ?1 4 5 2 5 10P 分析 : 首先2a ? ? ?2 5 5 3 3 2 2 3x y 4 5 2 2 5 2 或 ? ?1 2 再者,(2c ) ? ( ) -( ) , F1 10 F2 5 o x 3 3
5 2 10 2 得到c ? , a ? 5, b ? 3 3
2

题型三:利用椭圆定义求动点轨迹
1.若?ABC的两个顶点坐标分别为B( ?3, 0), C (3, 0). ?ABC的周长为16.求顶点A的轨迹方程.

分析,| AB | ? | AC |? 16- | BC |? 16 - 6 ? 10 ?| BC |
可见, 点A在以B, C为焦点的椭圆上, 其中2a ?| AB | ? | AC |? 10, 则a ? 5, 又c ? 3, 则b ? 4

x y 所以点A的轨迹方程为 : ? ? 1( y ? 0) 25 16

2

2

2.若?ABC中, BC ? 24, AC , AB边上的中线长 之和等于39.求?ABC的重心的轨迹方程.
x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 169 25

3.已知?ABC中, AC , AB , BC 成等差数列, 且 AB ? 4.求顶点C的轨迹方程.
x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 16 12

练习4, ?ABC中, A(?1,0), B(1,0).三边a, c, b成等差 数列, 且a ? c ? b, 则顶点C的轨迹方程是 _______

分析,由题意 : 2c ? a ? b.即 | AC | ? | BC |? 4 ? 2, 所以点C的轨迹可看作以A, B为焦点的椭圆:
x2 4

?

y2 3

? 1, 其中 ? 2 ? x ? 0.

例2, 点P为圆x ? y ? 4上任意一点, 过P向x轴作
2 2

垂线PD, 垂足为D, 求PD中点M的轨迹方程.
单圆法画椭圆

y0 解 : 设点M ( x , y ), 点P ( x0 , y0 ), 则有x ? x0 , y ? 2

因为点P ( x0 , y0 )在圆x ? y ? 4上,
2 2

则有x0 ? y0 ? 4,
2 2

把x0 ? x , y0 ? 2 y代入得 : x ? 4 y ? 4
2 2

所以点M的轨迹方程为 :

x2 4

? y ?1
2

例3,已知点A(-5, 0), 点B(5, 0), 直线AM 与直线BM 交于 4 点M , 且k AM ? k BM ? - , 求点M的轨迹方程. 9 y 2 2 x y ? ? 1 ( x ? ?5) 25 100 M 9
A

o

B

x

5,已知点A(-1,0), 点B(1,0), 直线AM 与直线BM 交于 k AM 点M , 且 ? 2, 求点M的轨迹方程. kBM

x ? -3

例4:已知两圆C1 : ( x ? 3) ? y ? 1,
2 2

C2 : ( x ? 3) ? y ? 81, 动圆在圆C2内部且和圆C2
2 2

相内切,和圆C1相外切,求动圆圆心的轨迹方程

设动圆圆心 ( x, y) M
M C2

| MC1 |? 1 ? r | MC2 |? 9 ? r

C1

| MC1 | ? | MC2 |? 10

x y ? ?1 25 16

2

2

练习6, 动圆C 和圆C1 : x ? ( y ? 4) ? 81内切, 且与圆C2 :
2 2

x ? ( y ? 4) ? 1外切, 求动圆圆心C的轨迹方程.
2 2

分析 : 设圆C的半径为r

已知圆C1的半径r1 ? 9,圆C 2的半径r2 ? 1

? r1 ? r ?| CC1 | 由题意 : ? ? r2 ? r ?| CC 2 | 则 :| CC1 | ? | CC2 |? r1 ? r2 ? 10 ?| C1C2 |? 8
可见 : 动圆圆心C的轨迹是以C1 , C2为焦点的椭圆.

其中 : a ? 5, c ? 4, 则b ? 3 所以圆心C的轨迹方程为 :
y2 25

?

x2 9

? 1( y ? ?5)

例2.已知A,B是两个定点,且│AB│=2,动点M 到A的距离是4,线段MB的中垂线 l 交MA于P 点.当M变化时建立适当的坐标系,求动点P的 \垂线轨迹.gsp 轨迹方程.
|PM|=|PB|
M P

|PA|+|PB|=4

A

B

x y ? ?1 4 3

2

2

7.过已知圆内一点作圆C与已知圆相切,则圆 心C的轨迹是( C ) (A)圆 (B)椭圆 (C)圆或椭圆 (D)线段
2 2

练习9, 点A( x0 , 0)是圆O : x ? y ? 4内一定点, 点P是 圆O上一动点, 线段AP的垂直平分线l 和半径OP交于 点Q,当P在圆上运动时, 点Q的轨迹是什么?

圆或椭圆

练习已知两圆C1 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 91 ? 0, . C 2 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0. 动圆在圆C1内部且和圆C1相内切, 和圆C 2相外切. 求动圆圆心的轨迹方程.
x y ? ?1 36 27
2 2

练习9, 点P为圆x ? y ? 4上一动点, 过P向x轴作垂
2 2

| DM | 3 线PD, 垂足为D, 点M 在DP的延长线上, 且 ? , | DP | 2 求点M的轨迹方程.

x y ? ?1 4 9

2

2

练习,?ABC的底边BC ? 16, AC和AB边的中线 长之和为30, 求?ABC的顶点A的轨迹方程.
分析 : 建立坐标系, B( ?8, 0), C (8, 0).设重心为点G. 则有:| GC | ? | GB |? 20 ? 16. x y 所以:点G的轨迹方程是椭圆: ? ? 1( y ? 0), 100 36
x 3 y 3 2 0 2 0
2 2

设A( x , y ),G ( x0 , y0 ), 则有: x0 ? , y0 ?

x y 因为点G( x0 , y0 )满足 ? ? 1( y0 ? 0) 100 36 2 2 x y 所以:点A的轨迹方程是 ? ? 1( y ? 0) 900 324

5.已知动圆C 与定圆C1 : x 2 ? ( y ? 4)2 ? 64内切, 和定圆C 2 : x 2 ? ( y ? 4)2 ? 4外切.设C (a , b),则

225 25a 2 ? 9b 2 ? ________

变式1.已知动圆与定圆C : x ? y ? 4 y ? 32 ? 0内切,
2 2

且过定圆内一定点A(0, 2).求动圆圆心P的轨迹方程.
x2 y2 ? ?1 5 9

变式3.已知圆M : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 36, 定点N ( 5, 0). 点P是圆上的动点, 点G在MP上, 点Q在NP上 ??? ? ???? ??? ??? ? ? 且满足 NP ? 2 NQ , GQ ? PN ? 0.求点G的轨迹方程. x2 y2 ? ?1 9 4

变式4.已知A, B是两个定点, 且 AB ? 2, 动点M 到A的 距离是4,线段MB的中垂线l交MA于P点.当M 变化时, 建立适当的坐标系, 求动点P的轨迹方程.
2 2

x y ? ?1 4 3

题型四:椭圆中的三角形问题
x y 例, AB是过椭圆 2 ? 2 ? 1中心O的一条弦, a b 则? AOF2面积的最大值为 : _____ bc
2 2

x2 y2 变式3.已知F1 ( ? 3, 0),F2 (3, 0)为椭圆 ? ? 1的 m n 两个焦点,点P在椭圆上,?F1PF2 ? ? , 2? 当? ? 时,?F1PF2的面积最大,求m ? n ? ____ 15 3

x y 变式2.已知F1 , F2为椭圆 ? ? 1的两个焦点, 25 16 点P在椭圆上, 若F1 , P , F2是一个直角三角形 的三个顶点, 则点P 到x轴的距离为 ______ x y 变式3.已知F1 , F2为椭圆 ? ? 1的两个焦点, 25 9 点P在椭圆上, 若F1 , P , F2是一个直角三角形 的三个顶点, 则点P 到x轴的距离为 _______
2 2

2

2

x y 练习3, 点P在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)上, a b ? POF2是面积为 3的正三角形, 则b ? _____
2

2

2

c 3c 分析 :由题意 : 点P ( , ), 2 2 则由S? POF2 1 3c ? ?c? ? 3 得:c ? 2 2 2
2 2 2

所以2a ? 2 ? 2 3, 所以 : b ? a - c ? 2 3

练习,(1)椭圆上的点与两焦点连线所成的角为90? 的点 可能有 _______ 个. ???? ???? x y (2)椭圆 ? ? 1上满足 PF1 ?PF2 ? 0的点P 有 __ 个. 8 4 x2 y2 (3), 点P 在椭圆 ? ? 1上, ?F1 PF2为钝角, 9 4 则点P的横坐标的取值范围是 : _______
2 2

椭圆的简单几何性质
2 2

引例 : 若x ? y ? 9, 则x与y的取值范围分别 是 _______;
方法一:因为 9 ? x ? y ? 0,
2 2

所以x ? 9,得:-3 ? x ? 3
2

? x ? 3cos ? 方法二:设 ? , 则x, y ? [?3, 3] ? y ? 3sin ?

椭圆的简单几何性质
利用椭圆的标准方程
x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

来研究椭圆的几何性质. (1).范围
方程中的x、y的 范围分别是: |x|≤a |y|≤b ______、______。 这说明了椭圆位 x=±a 于直线______和 y=±b ________围成的 矩形里。

y

o

x

(2).对称性 原点 坐标轴 ________是椭圆的对称轴;_________ 椭圆的对称中心 是椭圆的对称中心;__________是椭圆 的中心。 y

o

x

(3).顶点

椭圆与x、y轴的交点有 B1(0,-b),B2(0,b) _________________;因为x、y轴是该椭圆 顶点 的对称轴,所以这些交点又叫椭圆的______。 线段A1A2 线段B1B2 _________叫做椭圆的长轴,________叫做 椭圆的短轴。 长轴长为 短轴长为

A1(-a,0),A2(a,0),

2a 2b

y B2

A1
F1

b o c B1

a
F2

A2
x

a和b分别叫做椭圆 的 长半轴长 和 短 半轴长.

(4).离心率
椭圆的焦距与长轴长的比 的离心率. 离心率的范围: 0<e<1

c e? a
y

,叫做椭圆

B2 离心率的大小对 椭圆形状的影响: a b e越接近1,椭圆 o c 越扁;e越接近于 0,椭圆就越接近 于圆. 离心率对椭圆形状的影响.gsp

F1

x

直线与椭圆
一.直线与椭圆的位置关系:

) ?相 交(有 两 个 交 点 ? ) 直线与椭圆 ?相 切(有 一 个 交 点 ?相 离(没 有 交 点 ) ?
二.直线与椭圆的位置关系的研究方法:

解方程组法

基础练习
1、椭圆16 x ? 25 y ? 400, 其长轴长为 ______, 10
2 2

3 焦距是 ____ ,顶点坐标是 _________ 离心率e ? _____ 6 5

( ?5,0), (0, ?4)

2、根据下列条件求椭圆方程 : (1), 经过点A( ?3, 0), B(0, ?2). (2), 长轴的长为20, 离心率为 , 坐标轴为对称轴.
3 5

(3),中心在坐标原点, 经过P (3, 0), a ? 3b.

(1),
(3),

x 9
x 9
2

2

?

y2 4
2

?1
y2 81

(2),
x2 9

x2 100

?

y2 64

? 1或 ?
x2 64

y2 100

?1

? y ? 1或 ?

?1

x y b 2, 对于椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 线段F1 F2被点( , 0) a b 2 分成5 : 3的两段, 则此椭圆的离心率为 : _____ 4 5
x2 y2 0 0 7, 点P在椭圆 2 ? 2 ? 1上, ?PF1 F2 ? 75 , ?PF2 F1 ? 15 , a b 6 则椭圆离心率e ? _____

2

2

3
9, 弦AB过椭圆x ? 2 y ? 2的左焦点, 且k AB ? 1,
2 2

则? F2 AB的面积为 : _______

例6,点M ( x , y )与定点F (4, 0)的距离和它到定直线 l:x?
52 4

的距离的比是常数 4 ,求点M的轨迹方程. 5
| MF | | MP |

分析 : 如图, 即:
( x ? 4)2 ? y 2
52 ? x | |4

? ,
4 5

y

? ,
4 5

M?
O

?P
?F
x?

x
a2 c

化简得:

x2 25

?

y2 9

?1

x??

a2 c

总结:平面内一个动点M ( x , y )到一个定点F (c , 0) a 的距离和它到一条定直线l : x ? 的距离的比是 c c 常数e ? (a ? c ? 0)时, 这个动点的轨迹是椭圆. a 椭二定义.gsp
2

y
M
F1 F2

l

x

例7.如图,在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直 线l:x-y+4=0的距离最小,并求出最小值.
y
l

o
l1

x

例7.如图,在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直 线l:x-y+4=0的距离最小,并求出最小值.
方法一 : 设与椭圆相切的直线l1 : x - y ? m ? 0

?x - y ? m ? 0 由? 2 得 : 9 x 2 ? 16mx ? 8m 2 - 8 ? 0 x ? 8 y2 ? 8 ? 因直线l1与椭圆相切, 则? ? 0, 得 : m ? ?3 所以, 直线l1 : x - y ? 3 ? 0 2 平行线l与l1的距离d ? 即为所求. 2

例7.如图,在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直 线l:x-y+4=0的距离最小,并求出最小值.
方法二 : 设椭圆上任意点P (2 2 cos ? ,sin ? ) 点P到直线l的距离d ? 可见, d min ? 1 | 2 2 cos ? - sin ? ? 4 | 2

2 7 7 2 ? , d max ? ? 2 2 2 2

练习, 关于x的方程 2 - 2 x ? kx ? 2k ? 0有两个不等
2

实根, 则k的取值范围是 : ________

x 2 8, 椭圆 +y =1上的点到直线x ? y ? 4 ? 0的最大 4 距离为 : _______

2

x 2 0 例8, 经过椭圆 ? y ? 1的左焦点F1作倾斜角为60 的 2 直线l , 直线l与椭圆交于A, B两点, 求弦长 | AB | .

2

分析 : 直线l : y ? 3( x - 1)

? y ? 3( x - 1) ? 2 2 由? x 得 : 7 x - 12 x ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ? 2 弦长 | AB |? 1 ? k
2

8 2 ( x1 ? x2 ) - 4 x1 ? x2 ? 7
2

例9,已知椭圆x 2 ? 2 y 2 ? 2; (1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. (2)过C (2,1)引椭圆的割线, 求截得弦中点轨迹方程. (3)求过点P ( 1 , 1 )且被P 平分的弦所在直线方程. 2 2
分析 : (1), 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB中点为M ( x , y ).

? x12 ? 2 y12 ? 2 ? 由? 2 得 : ( x1 - x2 )( x1 ? x2 ) ? -2( y1 - y2 )( y1 ? y2 ) 2 ? x 2 ? 2 y2 ? 2 ? 则 : k AB ?
y1 ? y2 x1 ? x2

?-1? 2

x1 ? x2 y1 ? y2

? - 1 ? 2 x ? - 2xy =2 2 2y

则中点M的轨迹方程x +4y ? 0 ( ? 1 ? y ? 1 ) 3 3

x2 6, 过椭圆 ? y 2 ? 1的左焦点F1的直线交椭圆于A, B 2 两点, 且线段AB中点M 在直线x ? y ? 0上, 则直线AB 的方程为 : ________

k AB ? 2

x y 练习.过椭圆 ? ? 1 内一点M(2,1)引一条 16 4

2

2

弦,使弦被M点平分,求这条弦所在的直线方程.

x+2y-4=0

y

M(2,1)

x

o

例10,椭圆

x2 4

?

y2 3

? 1上是否存在关于l : y ? 4 x ? m

对称的不同两点 ? 若存在,求出这样的m的取值范围.

方法一 : 设存在满足题意两点A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则点A, B必然在直线l : y ? ? 1 x ? n上. 4
' x2 4 y2 3 1 4

? ? ?1 ? 由: ? 得 : 13 x 2 ? 8nx ? 16n 2 ? 48 ? 0, ?y ? ? x?n ? 因为? ? 0, 得 : ? 将
x1 ? x2 2 13 2

? n? ?
42 13

13 2

,

而A, B的中点也必 在直线l 上, ?
4 13 4

n ,

y1 ? y2 2

n 代入y ? 4 x ? m
13

得m ? ?

n, 所以 : ? 2

?m?

2 13

例10,椭圆

x2 4

?

y2 3

? 1上是否存在关于l : y ? 4 x ? m

对称的不同两点 ? 若存在,求出这样的m的取值范围.
方法二 : 设存在满足题意两点A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). 设AB中点M(x0 , y0 ),则点M在直线l上.
x12 4 y12 3 y2 3
2

? ? ? 由? 2 x2 ? 4 ? ?
y ?y

?1 ?1

, 作差得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) 4

=-

( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) 3

.

即: x1 ? x2 ? ? 1 2 代入
2 x0 4

3( x1 ? x2 ) 4( y1 ? y2 )

? ? 1 ,则: y0 ? 3 x0 , 4
2 13 13

由于y0 ? 4 x0 ? m得:x0 ? ? m , y0 ? ?3m ?
y0 2 3

? 1得: ?

?m?

2 13 13

.

练习, 对称问题 : x y (1)已知椭圆C : ? ? 1上存在着关于 9 4 直线l : y ? 2 x ? m对称两点, 求m的取值范围.
2 2

练习, 椭圆的对称轴是坐标轴, 若椭圆与直线 l : x ? y ? 1 ? 0交于两点A,B,AB |? 2 2, AB中 | 点M 与椭圆中心连线斜率为
2 2

, 求椭圆方程.

分析 : 设椭圆:nx 2 ? my 2 ? 1(m>0,n>0) 设点A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ), AB中点M( x0 , y0 ).

? nx 2 ? my 2 ? 1 由? 得:( n ? m ) x 2 ? 2mx ? m ? 1 ? 0, ? x ? y ?1 ? 0 则: x0 ? 因 | AB |?
x1 ? x2 2

?

m n? m

, y0 ?

n n? m

, 则k OM =

2 2

=

y0 x0

?

n m

.

( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2 2

n ? m ? nm ( m ? n )2 2 2

?2 2
2 3

n 则:n 2 ? 3nm ? m 2 ? n ? m ? 0,且 m ?

,得:n ? 1 .m ? 3

练习,已知椭圆

x2 a2

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0)上点B(0, b),

过B作椭圆割线交于点P , 求 | BP | 的最大值.
分析 : 设点P ( x0 , y0 ), 则 所以, | BP | ? (1 ?
2 a2 b2 x0 2 a2

?

y0 2 b2

? 1, x0 ? ?
2

a2 b2

( b 2 ? y0 2 )

) y0 2 ? 2by0 ? b 2 ? a 2
a4 a 2 ? b2

??

c2 b2

( y0 ?
b3 b2 ? a 2 b3 b2 ? a 2

b3 b2 ? a 2

) ?
2

因为 ? b ? y ? b (1)当 (2)当 ? ? b时, 即b ? a ? ? ? b时, 即a ? 2b,| BP |max ? 2b
a2 c

2b,| BP |max ?

练习,点A为椭圆的长轴上一个端点, 且椭圆上存在 点P使得OP ? PA, 则离心率的取值范围是______
2 2

?e?1

练习,椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) A为左顶点, B为短轴

的顶点, F 为右焦点, 且AB ? BF , 则这个椭圆的离心 率为 __________

5 ?1 2

练习, 椭圆上一点到两焦点的距离分别为d1和d 2 , 焦距2c, 若d1 , 2c, d 2成等差数列, 则离心率为 _____
1 2

练习,过椭圆左焦点F的直线交椭圆于两点A, B.若 | AF |:| BF |? 2 : 3, AB的倾斜角是450 , 则离心率e=____
2 5

16, 椭圆

x2 12

?

y2 3

? 1和直线l : x ? y ? 9 ? 0, 在l 上取一点

M , 经过点M 且以椭圆焦点F1 , F2为焦点另作椭圆,问: M 在何处时, 所作的椭圆的长轴最短, 求椭圆的方程.
x2 y2 4 12, 点P在椭圆C : 2 ? 2 ? 1上, PF1 ? F1 F2 , PF1 ? , a b 3 14 PF2 ? (1), 求椭圆C的方程. 3 2 2 (2)若直线l 过圆x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0的圆心M , 交椭圆 C 于A, B两点, 且AB关于点M 对称, 求直线l的方程.

10, 直线l : y ? mx ? 1与椭圆C : ax 2 ? y 2 ? 2交于A, B 两点,以OA, OB为邻边作平行四边形OAPB , (1),当a ? 2时, 求点P的轨迹方程. (2), 若a , m满足a ? 2m 2 ? 1, 求? OAPB的面积 函数S (a )的值域.

22(2)F1是椭圆

x2 9

?

y2 5

? 1的左焦点, P是椭圆上动点,

A(1,1)为定点, 则 | PA | ? | PF1 | 最小值是 __;

11, 过点M (0,1)的直线l 交椭圆4 x ? y ? 4于A, B两点, ??? 1 ??? ??? ? ? ? 1 1 动点P 满足OP ? (OA ? OB ), N ( , ) 2 2 2 (1), 动点P的轨迹方程.
2 2

(2), NP 的最小值与最大值.

24,(1)在椭圆x 2 ? 3 y 2 ? 3上一点P到直线l : x ? y ? 6 ? 0 的最小距离是 ____; 若椭圆与坐标轴的正半轴交点是A, B , M 是第一象限 椭圆上的一点, 则四边形AOBM的面积最大值是 _____;

x y 26,已知点P ( x , y )是椭圆E : ? ? 1上一点, 25 16 2 2 (1)求x ? y 的最值. (2),四边形ABCD内接于椭圆E , A(5, 0), C (0, 4), 求四边形ABCD面积的最大值.

2

2

x2 y2 28, 过点P ( ? 3, 0)作直线l与椭圆 ? ? 1交于 4 3 A, B两点, 求? AOB的最大面积及此时的直线方程.

x2 y2 29,已知过椭圆 2 ? 2 ? 1左焦点F1的直线交椭圆 a b 3 20 于P , Q两点, e ? , PQ ? , 且OP ? OQ , 2 9 求椭圆方程

x y 练习 .M是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)上一点, 1 a b F1 , F2 分别为左, 右焦点, I是?MF1 F2的内心, 直

2

2

MI 线MI交x轴于N , 则 ? ( B ) IN
(A) c/a (B) a/c (C) b/c (D) c/b y
M I F1 N F2

椭圆内切.gsp

x

17,已知圆B : ( x ? c) 2 ? y 2 ? 4a 2 (a ? c ? 0的常数)且A(?c, 0), 点M 在圆B上运动, 线段AM 的垂直 平分线交MB于点P.
c (1)求点P的轨迹方程;(2)若满足题设的点P, 使得?APB取得最大的角 ? 时, 求 a 的值; 2

18, 椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0), 点A、B分别是椭圆的右顶点和上方的顶点,

F 是椭圆的右焦点, 过F 作FM // AB交椭圆于M 和N , 且 | AB |? 2 | FM | . (1)求离心率;(2)若 | MN |? 2 ? 3, 求此椭圆方程.

y x 19、设椭圆 a2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0), 顶点A1 (?a, 0), A2 (a, 0), B1 (0, ?b), B2 (0, b).P为椭圆上一点,
2

2

连线B1 P交x轴点为Q, B2 P与交x轴点为R, 试问 | OA2 |2 与 | OQ || OR | 是否相等, 证明你的结论.



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