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湖北省2013年高三年级三月调考数学文科试题



湖北省2013年高三年级三月调考 数学(文科)试题
本试卷共4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。编辑人:丁济亮 ★ 祝考试顺利 ★ 注意事项: 1.考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效. 3.填 空题

和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域 内.答在试题卷上无效. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.若 a, b ? R , i 是虚数单位,且 a ? (b ? 2)i ? 1 ? i ,则 a ? b 的值为 A.1 B.2 C.3 D.4

2.已知命题 p : ?x ? R,2x ? 0 ,那么命题 ? p 为 A. ?x ? R, 2 x ? 0 C. ?x ? R,2x ≤ 0 B. ?x ? R,2x ? 0 D. ?x ? R,2 x ≤ 0

3.已知直线 l1 : y ? x ,若直线 l2 ? l1 ,则直线 l 2 的倾斜角为

π π 3π B. C. kπ ? (k ? Z ) (k ? Z ) 2 4 4 ? ? ? ? ? ? 4.平面向量 a 与 b 的夹角为 60? , a ? (2,0) , b ? 1 ,则 a ? 2b ?
A. kπ ? A. 3 B. 2 3 C.4

D.

3π 4

D.12

?( x ? y ? 3)( x ? y ) ≥ 0 5.不等式组 ? 表示的平面区域是 ?0 ≤ x ≤ 4
A.矩形 B.三角形 C. 直角梯形 D.等腰梯形

6.设 a ? R ,函数 f ( x) ? e x ? ae? x 的导函数是 f ?( x ) ,且 f ?( x ) 是奇函数,则 a 的值为

A. ?1 D.

B. ?

1 2

C



1
甲 5 8 x 6 9 0 2 7 8 9 乙 6 1 1 1 1 y 6

1 2

7.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生 参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分)的 茎叶图如右图,其中甲班学生成绩的平均分是 85, 乙班学生成绩的中位数是 83,则 x ? y 的值为 A. 7 C. 9 B. 8 D. 168

第 7 题图

8.《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样的一 道题目: 100 个面包分给 5 个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 把 较小的两份之和,则最小的 1 份为 A.

1 是 7

5 3

B.

11 6

C.

5 6

D.

10 3

9. 从

x2 y 2 ? ? 1 (其中 m, n???2 , ?5 ,4? )所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线) m n


方程中任取一个,则此方程是焦点在 y 轴上的双曲线方程的概率为(

1
A. 2

4
B. 7

2
C. 3

3
D. 4

? x ? 1 ( x ≤ 0) ,,则函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数是 10.已知函数 f ( x) ? ? ?log 2 x ( x ? 0)
A.4 位 置上) 11.已知集合 U ? {1, 2,3, 4,5,6} , M ? {1,2,4,6} ,则 ? M ? U 12.已知 cos ? ? ? ,且 tan ? ? 0 ,则 sin ? ? ▲ . B.3 C. 2 D.1

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分,请将答案填在答题卡对应题号的

4 5





13.某高三年级有 500 名同学,将他们的身高(单位:cm)数据绘制成频率分布直方图(如 图),若用分层抽样的方法选取 30 人参加 一项活动,则从身高在 [160,170) 内的学生中 选取的人数应为 ▲ . 14.某地区恩格尔系数 y (%) 与年份 x 的统计数据如下表: 年份 x 恩格尔系数 y (%) 2007 2004 47 2005 45.5 2006
源:Z+xx+k.Com] [来

43.5

41

? ? 从散点图可以看出 y 与 x 线性相关,且可得回归直线方程为 y ? bx ? 4055.25 ,据此模
型可预测 2013 年该地区的恩格尔系数(%)为



. ▲ .

15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为
y 0.035
6

0.020
正视图

1 侧视图

0.010 0.005 O 140 150 160 170 180 190 x
俯视图

第 13 题图

第 15 题图

16.已知实数 x ? [0,10] ,若执行如下左图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 47 的概率为 ▲ . 17.右下表中数阵为“森德拉姆素数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第 i 行第 j 列的数 为 aij (i, j ? N * ) ,则: (Ⅰ) a99 ? ▲
开始



(Ⅱ)表中数 82 共出现



次.

2
输入x n=1 n=n+1

3 5 7 9 11 13 ???

4 7 10 13 16 19 ???

5 9 13 17 21 25 ???

6 11 16 21 26

7 13 19 25 31

??? ??? ??? ??? ??? ??? ???

3 4 5
x=2x+1

n≤3 否 输出x 结束

6


7 ???

31 37 ??? ???

第 16 题图

第 17 题图

三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18.(本小题满分 12 分)已知 A、B、C 为 ?ABC 的三个内角且向量 ?? ? C C C 3 m ? (1, cos ) 与n ? ( 3sin ? cos , ) 共线。 2 2 2 2 (Ⅰ)求角 C 的大小: (Ⅱ)设角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 2a cos C ? c ? 2b ,试判断 ? ABC 的 形状.

19.(本小题满分 12 分)在等差数列 {an } 中, a2 ? a7 ? ?23 , a3 ? a8 ? ?29 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {an ? bn } 是首项为 1,公比为 c 的等比数列,求 {bn } 的前 n 项和 Sn .
P Q

20.(本小题满分 13 分)如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, Q 是棱 PA 上的动点 . (Ⅰ)若 Q 是 PA 的中点,求证: PC //平面 BDQ ; (Ⅱ)若 PB ? PD ,求证: BD ? CQ ; (III)在(Ⅱ)的条件下,若
B C A D

第 20 题图

PA ? PC , PB ? 3, ?ABC ? 60? ,
求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

21.(本大题满分 14 分) 已知△ ABC 的两个顶点 A, B 的坐标分别是 (0, ?1) , (0,1) ,且 AC , BC 所在直线的斜率 之积等于 m(m ? 0) . (Ⅰ)求顶点 C 的轨迹 E 的方程,并判断轨迹 E 为何种圆锥曲线; (Ⅱ)当 m ? ? 时,过点 F (1, 0) 的直线 l 交曲线 E 于 M , N 两点,设点 N 关于 x 轴的对 称点为 Q ( M , Q 不重合).求证直线 MQ 与 x 轴的交点为定点,并求出该定点的坐 标.

1 2

?? x 3 ? x 2 , x ? 1 22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ? ,其中 a ? 0 a ln x , x ≥1 ?
(Ⅰ)求 f ( x) 在 (?? ,1) 上的单调 区间; (Ⅱ)求 f ( x) 在 [ ?1, e] ( e 为自然对数的底数)上的最大值; (III)对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P 、 Q ,使得 ?POQ 是 以原点 O 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?

2013 年湖北省高三三月联考

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:(每小题 5 分,10 小题共 50 分) 1.D 2.C 3.D 4.B 5.D 6.C 7.B 8.A 9.B 10.A

二、填空题:(每小题 5 分,满 35 分) 11. {3,5} 16. 0.5 12.

3 5

13. 9

14. 29.25

15.

1 2

17.(Ⅰ) 82 ,(Ⅱ) 5

三.解答题(本大题共 5 小题, 共 65 分; 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ?? ? 18.(Ⅰ)(Ⅰ)∵ m 与 n 共线 ∴

3 C C C ? cos ( 3 sin ? cos ) 2 2 2 2
? 3 1 π 1 sin C ? (1 ? cos C ) ? sin(C ? ) ? 2 2 6 2 π 得 sin(C ? ) ? 1 6
??????????3 分 ??????????4 分

∴C=

(Ⅱ)方法 1:由已知 a ? c ? 2b (1) 2 2 2 根据余弦定理可得: c ? a ? b ? ab

? 3

???????????6 分

(2)????????8 分

(1)、(2)联立解得: b(b ? a) ? 0 ???????????10 分

b ? 0,? b ? a, 又C=
方法 2: 由正弦定理得:

?
3

, ABC 为等边三角形,???????????12 分 ??

2sin A cos C ? sin C ? 2sin B ? 2sin( A ? C) 2sin A cos C ? sin C ? 2sin A cos C ? 2cos Asin C
∴ cos A ?

????????8 分

? ?ABC 为等边三角形
方法 3:由(Ⅰ)知 C=

1 π , ∴在△ ABC 中 ∠ A ? . 2 3

???????????10 分 ???????????12 分

在 ?ABC 中根据射影定理得:

π ,又由题设得: a ? c ? 2b , 3
????????8 分

a ? c ? 2(a cos C ? c cos A) ? a ? 2c cos A

1 ? ? cos A ? ,? A ? ???????????10 分 2 3 π 又. C= , 所以 △ ABC 为等边三角形, ???????????12 分 3
19.(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差是 d . 依题意 a3 ? a8 ? (a2 ? a7 ) ? 2d ? ?6 ,从而 d ? ?3 . 所以 a2 ? a7 ? 2a1 ? 7d ? ?23 ,解得 a1 ? ?1 . 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ?3n ? 2 . (Ⅱ)由数列 {an ? bn } 是首项为 1,公比为 c 的等比数列, 得 an ? bn ? c n ?1 ,即 ? 3n ? 2 ? bn ? cn ?1 , 所以 bn ? 3n ? 2 ? cn ?1 . 所以 Sn ? [1 ? 4 ? 7 ? ?? (3n ? 2)] ? (1 ? c ? c2 ? ?? cn?1 ) ??????8 分 ??????2 分 ??????4 分 ??????6 分

?

n(3n ? 1) ? (1 ? c ? c 2 ? ? ? c n ?1 ) . 2

??????10 分

n(3n ? 1) 3n 2 ? n ?n? 从而当 c ? 1 时, Sn ? ; 2 2
n(3n ? 1) 1 ? c n ? 当 c ? 1 时, S n ? . 2 1? c
20.(Ⅰ)证明:连结 AC ,交 BD 于 O .

??????11 分

??????12 分

P

因为底面 ABCD 为菱形, 所以 O 为 AC 的中点.
Q

因为 Q 是 PA 的中点,所以 OQ// PC , 因为 OQ ? 平面 BDQ , PC ? 平面 BDQ , 所以 PC // 平面 BDQ . ???????4 分
B C A D O

(Ⅱ)证明:因为底面 ABCD 为菱 形, 所以 AC ? BD , O 为 BD 的中点. 因为 PB ? PD ,所以 PO ? BD . 因为 PO ? BD ? O ,所以 BD ? 平面 PAC .因为 CQ ? 平面 PAC , 所以 BD ? CQ . ????????????8 分

(Ⅲ)因为 PA ? PC ,所以△ PAC 为等腰三角形 .

因为 O 为 AC 的中点,所以 PO ? AC . 由(Ⅱ)知 PO ? BD ,且 AC ? BD ? O , 所以 PO ? 平面 ABCD ,即 PO 为四棱锥 P ? ABCD 的高. 因为四边形是边长为 2 的菱形,且 ?ABC ? 60 , 所以 BO ? 3 ? PO ? 6 . 所以 VP ? ABCD ? 21.(Ⅰ )由题知:
2
?

1 ?2 3? 6 ? 2 2 . 3

?????12 分

y ?1 y ?1 ? ?m x x
2

化简得: ?mx ? y ? 1( x ? 0) ???????????2 分 当 m ? ?1 时 轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的椭圆,且除去 (0,1),(0, ?1) 两点; 当 m ? ?1 时 轨迹 E 表示以 (0, 0) 为圆心半径是1的圆,且除去 (0,1),(0, ?1) 两点; 当 ?1 ? m ? 0 时 轨迹 E 表示焦点在 x 轴上的椭圆,且除去 (0,1),(0, ?1) 两点; 当 m ? 0 时 轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的双曲线,且除去 (0,1), (0, ?1) 两点; ???????????6 分 (Ⅱ )设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), Q( x2 , ? y2 ) ( x1 ? x2 ? 0) 依题直线 l 的斜率存在且不为零,则可设 l : x ? ty ? 1 ,

x2 ? y 2 ? 1( x ? 0) 整理得 (t 2 ? 2) y 2 ? 2ty ? 1 ? 0 2 ?2t ?1 y1 ? y2 ? 2 , y1 y2 ? 2 , ????????????9 分 t ?2 t ?2
代入 又因为 M 、Q 不重合,则 x1 ? x2 , y1 ? ? y2

y1 ? y2 ( x ? x1 ) 令 y ? 0 , x1 ? x2 y ( x ? x1 ) ty ( y ? y ) 2ty1 y2 得 x ? x1 ? 1 2 ? ty1 ? 1 ? 1 2 1 ? ?1 ? 2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 故直线 MQ 过定点 (2,0) . ???????????13 分

Q MQ 的方程为 y ? y1 ?

解二:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), Q( x2 , ? y2 ) ( x1 ? x2 ? 0) 依题直线 l 的斜率存在且不为零,可设 l : y ? k ( x ? 1)

x2 ? y 2 ? 1( x ? 0) 整理得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 2 2k 2 ? 2 4k 2 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , ???????????9 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 y ?y Q MQ 的方程为 y ? y1 ? 1 2 ( x ? x1 ) 令 y ? 0 , x1 ? x2 y ( x ? x1 ) k ( x1 ? 1)( x2 ? x1 ) 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) 得 x ? x1 ? 1 2 ? x1 ? ? ?2 y1 ? y2 k ( x1 ? x2 ? 2) x1 ? x2 ? 2 ???????????13 分 ?直线 MQ 过定点 (2,0)
代入

?? x3 ? x 2 , x ? 1, 22.(Ⅰ)因为 f ( x) ? ? ?a ln x, x ≥1.
当 x ? 1 时, f ?( x) ? ? x(3x ? 2) ,

2 2 ;解 f ?( x) ? 0 得到 x ? 0 或 ? x ? 1 .所以 f ( x) 在 (?? ,1) 3 3 2 2 上的单调减区间为 (?? ,0) ,( ,1) : 单调增区间为 (0, ) ??????4 分 3 3 2 2 (Ⅱ)①当 ?1 ≤ x ≤ 1 时,由(Ⅰ)知在 f ( x) (?1,0) 和 ( ,1) 上单调递减,在 (0, ) 上 3 3 2 2 4 单调递增,从而 f ( x) 在 x ? 处取得极大值 f ( ) ? . 3 3 27
解 f ?( x) ? 0 得到 0 ? x ?
[来源:Zxxk.Com]

又 f (?1) ? 2, f (1) ? 0 ,所以 f ( x) 在 [ ?1,1) 上的最大值为 2.????????6 分 ②当 1 ≤ x ≤ e 时, f ( x) ? a ln x ,当 a ? 0 时, f ( x) 在 [1, e ] 上单调递增,所以 f ( x) 在
[1, e ] 上的最大值为 a . 所以当 a ≥ 2 时, f ( x) 在 [ ?1, e] 上的最大值为 a ; a ? 2 时, f ( x) 当

在 [ ?1, e] 上的最大值为 2.

??????????8 分

(Ⅲ)假设曲线 y ? f ( x) 上存在两点 P , Q ,使得 POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, 则 P , Q 只能在 y 轴的两侧,不妨设 P(t , f (t ))(t ? 0) ,则 Q(?t , t 3 ? t 2 ) ,且 t ? 1. ?9 分

??? ???? ? 因为 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,所以 OP ? OQ ? 0 ,
即: ?t 2 ? f (t ) ? (t 3 ? t 2 ) ? 0 (1) 是否存在点 P , Q 等价于方程(1)是否有解. 若 0 ? t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t 3 ? t 2 ,代入方程(1)得: t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 ,此方程无解.?11 分 若 t ? 1,则 f (t ) ? a ln t ,代入方程(1)得到: ??????????????10 分

1 ? (t ? 1)ln t a

??12 分

1 设 h( x) ? ( x ? 1)ln x( x ≥1) , h?x n x1 ? ? 0 则 () l? ? x

在 (1, ??) 上恒成立. 所以 h ( x ) 在 [1, ??)

上单调递增,从而 h( x) min ? h(1) ? 0 ,即有 h(x) 的值域为 [0,??) (不需证明) ,所以当

a ? 0 时,方程

1 ? (t ? 1)ln t 有解,即方程(1)有解. a

所以,对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上存在两点 P , Q ,使得△ POQ 是以 O 为直 角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上. ???????14 分



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