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华师大二附中高三数学高考模拟试卷2013


华师大二附中高三数学高考模拟试卷
(考试时间:120 分钟 满分:150 分)

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,只要求直接填写结果,每个个空格 填对得 4 分,否则一律得零分.

x2 y 2 1.椭圆 ? ? 1 的焦点坐标为 9 25
2.方程 log 2 (5 x ? 4) ? log 2 ( x ? 2) 的解是
2





3.设 S n 是等比数列 {an } 的前 n 项的和,若 a3 ? 2a6 ? 0 ,则 4.函数 f ( x ) ? sin 2 x ? e
|sin x ? cos x|

S6 的值是 S3




的最大值与最小值之差等于

5.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,若 E 为 A1C1 与 B1 D1 的交点 F 为 DD1 的中点,则直线 EF 与直线 BC 所成角的大小等于 6.设函数 y ? 2 cos(? x ? ? ) ? 0 ? ? ? .

? ?

??

? 的图像过点 P (0,1) ,则函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图 2?

像与 x 轴的交点中离原点最近的一个点的坐标是 . 7.试构造一个二次函数,使其与右图确定的函 数图像有且只有两个交点,且两交点的横坐标 都在

5 7 和 之间.该函数的解析式可以为 2 2

. (答案不唯一) 8.如图,在四面体 D ? ABC 中, DA ? 面 ABC , AB ? BC , DA ? AB ? BC ? 1 ,则四面体 D ? ABC 的外接球 的表面积为 . 9.有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将 其随机地并排摆放到书架的同一层上, 则同一科目的书都不相邻的概率为 . 10. (理科)已知直线 l 经过点 P (1,1) ,倾斜角 ? ?

?
6

, l 与圆 ?

? x ? 2 cos ? (? ? R ) 相交与 ? y ? 2sin ?


两点 A , B ,则点 P 到 A , B 两点间的距离之积为

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?x ? 0 ?y ? 0 ? (文科)已知 x, y 满足不等式 ? ,且目标函数 z ? 9 x ? 6 y 最大值的变化范围 ?x ? 2 y ? t ? ?2 x ? y ? 4
[20, 22] ,则 t 的取值范围为


11.如图,线段 AB 长度为 2,点 A, B 分别在 x 非负半轴和 y 非负 半轴上滑动,以线段 AB 为一边,在第一象限内作矩形 ABCD ,

???? ???? BC ? 1 , O 为坐标原点,则 OC ? OD 的取值范围为



12.一个学生在玩数字分拆游戏,他的分拆规则如下:第 1 次任取一个非零数 x ,以后每次 将上一次得到的每一个数 x 分拆成两个数,保持两数的和与原数一致, 并要求其中一个为其 相反数.则 2013 次分拆后得到的所有数中不同的数的个数为 . 13.设集合 A( p, q ) ? {x ? R | x ? px ? q ? 0} ,当实数 p, q 取遍 [ ?1,1] 的所有值时,所有
2

集合 A( p, q ) 的并集为



14.在实数集 R 中定义一种运算“ ? ” ,具有性质: ①任意 a, b ? R , a ? b ? b ? a ; ②对任意 a ? R , a ? 0 ? a ; ③对任意 a, b ? R , ( a ? b) ? c ? c ? (ab) ? (a ? c ) ? (b ? c ) ? 2c , 现有 f n ?1 ( x ) ? f n ( x ) ?1 , f1 ( x ) ? x ?

1 ,则 f 2013 ( x ) 在 R 上的最小值为 x



二、选择题: (本大题满分 20 分)本大题共有 4 小题,每题 5 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 15.甲,乙两人分别独立参加某高校自主招生考试,若甲,乙能通过面试的概率都为 则面试结束后通过的人数 ? 的数学期望 E? 是( A. )

2 , 3

4 3

B.

11 9

C .1

D.

8 9

16.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 2 S5 ? 13a4 ? 5a8 ? 10 ,则下列数中恒为常数 的是( A. a8 ) B. S 9 C. a17 D. S17

17.若 a, b 是实数,则“ 0 ? ab ? 1 ”是“ a ? A.充分不必要条件 C.充分且必要条件

1 1 ”或“ b ? ”的( b a



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
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18.设 A , B , M 是椭圆

x2 ,且存在锐角 ? ,使 ? y 2 ? 1 上的三点(异于椭圆顶点) 2


???? ? ??? ? ??? ? OM ? cos ? OA ? sin ? OB ,则 OA2 ? OB 2 的值为(
A.1 B.2 C.3 D.4

三、解答题: (本大题满分 74 分)本大题共有 5 题.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 19. (本小题满分 12 分)在 △ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 B ? C ,

2b ? 3a .
(1)求 cos A 的值; (2) cos(2 A ?

?
4

) 的值.

20. (本小题 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面

ABCD 为直角梯形, AD ? BC , ?ADC ? 90? ,平面
PAD ? 底面 ABCD , Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 上
的点, PA ? PD ? 2 , BC ?

1 AD ? 1 , CD ? 3 . 2

(1)求证:平面 PQB ? 平面 PAD ; (2)若二面角 M ? BQ ? C 为 30? ,若 PM ? tMC ,试确 定 t 的值.

第 3 页 共 3 页

21. (本小题满分 14 分)过抛物线 y ? 4 x 上一点 A(1, 2) 作抛物
2

线的切线,分别交 x 轴于点 B ,交 y 轴于点 D ,点 C (异于点 A ) 在抛物线上,点 E 在线段 AC 上,满足 AE ? ?1 EC ;点 F 在线段

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? 满足 BF ? ?2 FC , 线段 CD 与 EF 交于点 P . ?1 ? ?2 ? 1 , BC 上,
(1)设 DP ? ? PC ,求 ? ; (2)当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程.

??? ?

??? ?

22. (本小题满分 16 分)已知数列 {an } 的首项为 1,记
1 2 k n f (n) ? a1Cn ? a2 C n ? ? ? ak C n ? ? an C n (n ? N ? ) .

(1)若 {an } 为常数列,求 f (4) 的值; (2)若 {an } 为公比为 2 的等比数列,求 f ( n) 的解析式; (3)数列 {an } 能否成等差数列,使得 f ( n) ? 1 ? ( n ? 1)2 对一切 n ? N 都成立?若能,求
n

?

出数列 {an } 的通项公式;若不能,请说明理由.

23.设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在非零正常数 l 使得对于任意 x ? M ( M ? D ) ,有 且 f ( x ? l ) ? l ? f (x ) , 则称 f ( x) 为 M 上的高调函数, 若 x?l?D, l 称为该高调函数的阶. 对任意正实数 l , f ( x) 恒为 l 阶高调函数,则称它为超高调函数. (1)判断函数 f ( x ) ? x 是否为 [0, ??) 上的高调函数?
2

(2) 如果定义域为 R 的函数 f ( x) 是奇函数, 当 x ? 0 , f ( x ) ?| x ? a | ? a , 且 f ( x) 为 R
2 2

上的 1 阶高调函数,求实数 a 的取值范围. (3)试写出一个定义域为 R 的超高调函数,并说明理由.

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