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2013.2.3.1平面向量基本定理



北京市三里屯一中

2.3.1平面向量基本定理

北京市三里屯一中

? ? ? 如图, 有非零向量a , 则 b 与 a共线的

条件是什么 ?

? a ? b
? ? 向量b 与非零向量a共线条件是: ? ? 有且只有一个实数 ?,使b ? ?a .

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给定平面内两个向量 e1 , e2 , 请你作出向量

3e1 ? 2e2 , e1 ? 2e2 .
?? ? e2
?? ?? ? 3e1 ? 2e2

?? ? 2e2

O

?? e1

? ?? ? ?? ?? ?2e2 e1 ? 2e2

?? e1

O

?? 3e1

? 同一平面内的任一向量 a 是否都可以用形如 ?1 e1 ? ?2 e2 的向量表示?
将三个向量的起点移到同一点: M ?? ? C e
2

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?? e1

显然: a ? OM ? ON ?? O N e1 根据向量共线的条件 , 存在唯一的一对

?? ? e2

? a

实数 ?1,?2,使得: OM ? ?1 e1 , ON ? ?2 e2 , ? 故a ? ?1 e1 ? ?2 e2 .

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1.平面向量基本定理:

?? ?? ? 如果e1、是同一平面内的两个 e2 不共线的向量, ? 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对 实数?1、?2,可使 ? ?? ?? ? a ? ?1 e1 +?2 e2 ? ?? ? ? 这里不共线的向量e1、叫做表示这一平面内 e2

所有向量的一组基底.

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问题一: 在刚才我们总结的定理 中,

基底 e1, e2 是不是唯一的呢?
基底不共线也不唯一, 任意两个不共线的向量均可作基底. 问题二:给定基底e1, e2 之后,任意一个

? 向量a的表示是不是唯一的呢 ?

给定基底后,任意一个向量的表示是唯一的.

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2.向量夹角定义 不共线的向量有不同的方向,这种位置关系如何刻画?

? ? ???? ? ??? ? ? 规定:对于两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a ,OB ? b ? ? 称∠AOB为向量 a 与 b 的夹角.
向量的夹角的取值范围应如何约定为宜?

B a b b

[0°,180°]
a

O

A

起点相同

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当? ? 0 , a、 b同向;
o

当? ? 180 , a、 b反向;
o

当? ? 90 , a与b垂直, 记作a ? b.
o

B b

[0°,180°]
a

O

A

起点相同

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??? ? ??? ? 练习:已知正三角形ABCZ中,求向量 AB 和 BC
的夹角
A

B 起点相同

C

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定理的应用:

平行四边形ABCD两条对角线 例1. 如图, 相交点M且 AB ? a , AD ? b, 用a , b表示 MA , MB , MC , MD .

D

? b
A

C M

? a

B

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定理的应用:

OB 不共线, 且 AP ? t AB 例2. 如图, OA、 ( t ? R ), 用 OA, OB 表示 OP .

本题的实质是:
已知O、A、B三点不共线, 若点 P 在直线 AB 上, 则 OP ? mOA ? nOB, 且 m ? n ? 1.

P

B
O A

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例3.如图,在平行四边形ABCD中,M是AB的中点,

求证M、N、C三点共线.

1 点N是BD上的一点, BN ? BD 3

??? ? ? ???? ? 设 AB ? a, AD ? b ???? ? 1? 1? MN ? ? ? a ? b 6 3 ???? ? 1? ? MC ? ? ? a ? b ???? ? ???? ?2 MC ? 3MN

D
N

C

A

M

B

所以M、N、C三点共线

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练习:设D、E、F分别是 ABC的边BC、CA、AB上的 点,且AF=(1/2)AB,BD=(1/3)BC,CE=(1/4)CA.若记

AB=m,CA=n.试用m,n表示DE、EF、FD
B F A D

??? ? 2 ?? 5 ? DE ? ? m ? n 3 12 ??? ? 1 ?? 3 ? EF ? m ? n 2 4 ??? ? 1 ?? 1 ? FD ? m ? n 6 3

E

C

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课堂小结
平面向量基本定理及其应用 向量夹角的定义

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