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1.1.1正弦定理(第二课时)



1.1.1正弦定理
第二课时 主讲老师:张胜波

1、在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求c.
2、在△ABC 中,已知 a=5 2,c=10,A=30° , 求 B、C.

3、已知△ABC 中,a= 2,b= 3,B=60° ,那么角 A 等于( ) B.90° D.30°

A

.135° C.45°

课后探究:

a b c ? ? ?k sin A sin B sin C
那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有 关的量来表示吗?

A

A C B B` b =2R sinB O b C B` B

A O b C

O
B

b

b =2R sinB

b =2R sinB

a b c = = =2R. sinA sinB sinC

在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即 a b c ? ? sin A sin B sin C
变式:

?1?sin A : sin B : sin C ? a : b : c
? 2? a sin B ? b sin A; b sin C ? c sin B; c sin A ? a sin C

a b c (3) ? ? sin A sin B sin C a?b?c ? ? 2 R. sin A ? sin B ? sin C
或a ? 2 R sin A,b ? 2 R sin B,c ? 2 R sin C.

讨论:

已知两边及夹角,怎样求 三角形面积?

数学建构

三角形面积公式:

c
B

1 1 1 S Δ A B C ? ab sinC ? b csinA ? acsinB A 2 2 2 1 b 证明:∵ S Δ A B C ? ah a
ha
D

a



1 1 1 S Δ A B C ? ab sinC ? b csinA ? acsinB 2 2 2

1 1 S Δ A B C ? acsinB ? ab sinC 2 2 1 同理 S Δ A B C ? b csinA 2


而 C

h a ? A D ? c ?sin B ? b sin C

2

判断三角形的形状
a b c ? ? , co sA co sB co sC 试判断ΔAB C 的形状 . 在ΔAB C 中, 已知



a 令 ? k,由正弦定理,得 sin A

a ? k sinA, ? k sinB, ? k sinC b c

sinA sinB sinC ? ? 代入已知条件,得: cosA cosB cosC



tanA ? tanB? tanC

又A,B,C ?(0 ,π), A ? B ? C, ?
从而ΔABC为正三角 形。

在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且

sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.
【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A

=sin2B+sin2C转化为边的关系式,从而判断
△ABC的形状.

【解】 在△ABC 中, a b c 根据正弦定理: = = =2R. sin A sin B sin C a 2 b 2 c 2 2 2 2 ∵sin A=sin B+sin C,∴( ) =( ) +( ) , 2R 2R 2R

即 a2=b2+c2.∴A=90° ,∴B+C=90° . 由 sin A=2sin Bcos C,得 sin 90° =2sin Bcos(90° -B), 1 2 ∴sin B= . 2 ∵B 是锐角, 2 ∴sin B= , 2 ∴B=45° ,C=45° . ∴△ABC 是等腰直角三角形.

若本例中的条件“sin A=2sin B cos C”改为
“sin2A=2sin B sin C”,试判断△ABC的形状.

解:由sin2A=sin2B+sin2C,
得a2=b2+c2.∴A=90°. ∵sin2A=2sin B sin C, ∴a2=2bc,∴b2+c2=2bc. ∴b=c,

∴△ABC为等腰直角三角形.

? 在△ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c, 若b=acos C,试判断△ABC的形状. ? 解析: ∵b=acos C, ? 由正弦定理得:sin B=sin A·cos C. ? ∵B=π-(A+C), ? ∴sin(A+C)=sin A·cos C. ? 即sin Acos C+cos Asin C=sin A·cos C, ? ∴cos Asin C=0,

∵A、C∈(0,π), π ∴cos A=0,∴A=2, ∴△ABC 为直角三角形.

判断三角形的形状
2

a tan A ,试判断 在△ABC中,若 2 ? b tan B △ABC的形状。
解:由正弦定理,得
sin 2 A tan A ? 2 sin B tan B

sin 2 A sin A cos B ? · ,∵ sin A ? 0, sin B ? 0 2 sin B cos A sin B

∴sin A cos A ? sin B cos B, 即sin 2 A ? sin 2 B
?2 A ? 2k? ? 2B


2 A ? 2k? ? ? ? 2 B(k ? Z )
0 ? A ? ?,? B ? ?,∴k ? 0,则A ? B 0



2 故△ABC为等腰三角形或直角三角形。

A?

?

?B

判断三角形的形状,主要看其是否是正三角形、 等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三 角形等,要特别注意“等腰直角三角形”与“等 腰三角形或直角三角形”的区别.

备用
1、在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C, 且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.
a 2 sin A cos B 2、在?ABC中,若 2 ? ,判断?ABC的形状。 b cos A sin B

3.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,
cos(A ? C ) ? cos B ? 3 b2 2,

? ac ,求 B



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