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2014届高三理科数学第一轮复习 排列与组合



1.A、B、C、D、E五人并排站成一排,如果B必须在A的

右边(A、B可以不相邻),那么不同的排法共有
A.24种 B.60种 C.90种 D.120种

( B )

2.教室里有6盏灯,由3个开关控制,每个开关控制2盏灯,

则不同的照明方法有
A.63种 B.31种 C.

8种 D.7种

( D )

3.上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交

流会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,
会上推选3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的 种数为________. 16

4.5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中 选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员 中至少有1名老队员,且1、2号 中至少有1名新队员的排法 48 有________种.(以数字作答)
解析: ①只有 1 名老队员的排法有 C1· 2· 3=36(种); 2 C3 A3
2 ②有 2 名老队员的排法有 C2· 1· 2· 2=12(种), C3 C1 A2

所以共 48 种.

一、排列与排列数 1.排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,_________ 按照一定 的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的

一个排列.
2.排列数 所有不同排 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的___________

列的个数 ________,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,
记为Am. n

二、组合与组合数 1.组合

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 合成一组 ,叫做从
n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2.组合数 所有不同组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_____________ 的个数 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用
Cm 表示. 符号 n

三、排列数、组合数公式及性质
Am n m 组合数公式 Cn = m Am 排列数公式 n(n-1)…(n-m+1) 公 Am=___________________ = n?n-1?…?n-m+1? n n! m! 式 n! ?n-m?! = =________ m!?n-m?! 性 (1)An= n!; n 质 (2)0!= 1 备 注 (1)C0 = 1 ; n n-m (2)Cm=Cn ; n m m -1 Cm+1 (3)Cn +Cn = n n、m∈N*且 m≤n

题型一 排列应用题
例 1 有 5 个同学排队照相,求: (1)甲、乙两个同学必须相邻的排法有多少种? (2)甲、乙、丙 3 个同学互不相邻的排法有多少种? (3)乙不能站在甲前面,丙不能站在乙前面的排法有多少种? (4)甲不站在中间位置,乙不站在两端两个位置的排法有多少种?

练习1、 由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位
数,其中个位数字小于十位数字的共有 A.210个 ( B ) B.300个 C.464个 D.600个

练习2、所求的6位数中,有多少个偶数?
解:若个位排0,则有A
5 5

个偶数;若个位排
3 3

1 2,则十位可从3,4,5中任选1个,有C 1 C 3 A 3 个偶 3 3

数;若个位排4,则十位只能排5,有C 1 A 3
1 C3A3+C1A3=192. 3 3 3

个偶

5 数,由分类加法计数原理得偶数的个数为A 5 +C 1 3

求排列应用题的主要方法 (1)对无限制条件的问题——直接法; (2)对有限制条件的问题,对于不同题型可采取直接

法或间接法,具体如下:
①每个元素都有附加条件——列表法或树图法;

②有特殊元素或特殊位置——优先排列法;
③有相邻元素(相邻排列)——捆绑法; ④有不相邻元素(间隔排列)——插空法.

题型二 组合应用题
例 2 从 7 名男生 5 名女生中选取 5 人当班干部, 分别求符 合下列条件的选法总数有多少种. (1)A,B 必须当选; (2)A,B 必不当选; (3)A,B 不全当选; (4)至少有 2 名女生当选; (5)选取 3 名男生和 2 名女生分别担任班长、 体育委员等 5 种不同的工作,但体育委员必须由男生担任,班长必须由女生 担任.

组合问题的两种主要类型 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”, 则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先 将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型.考虑逆向

思维,用间接法处理.

(2)甲、乙、丙3个同学在课余时间负责一个计算机
房的周一至周六的值班工作,每天1人值班,每人值班2 天,如果甲同学不值周一的班,则可以排出的不同值班

表有
A.90种 B.89种

(

)

C.60种 D.59种 [自主解答] (1)分三种情况:恰好打 3 局,有 2 种
情形;恰好打 4 局(一人前 3 局中赢 2 局,输 1 局,第 4 局赢),共有 2C2=6 种情形;恰好打 5 局(一人前 4 局中 3 赢 2 局,输 2 局,第 5 局赢),共有 2C2=12 种情形.所 4 有可能出现的情形共有 2+6+12=20(种).

(2)特殊元素优先考虑,甲同学不值周一的班,则先考 虑甲, 分步完成: ①从除周一外的 5 天中任取 2 天安排甲, 有 C2种;②从剩下的 4 天中选 2 天安排乙,有 C2种;③ 5 4 仅剩 2 天安排丙,有 C2种.由分步乘法计数原理,可得一 2 共有 C2· 2· 2=60(种). 5 C4 C2

[答案] (1)C

(2)C

2.(2012· 济南模拟)如图所示,使电路接通,开关不同的 开闭方式有 ( )

A.11种
C.21种

B.20种
D.12种

1 1 解析:当第一组开关有一个接通时,电路接通为C 2 (C 3

+C 2 +C 3 )=14种方式;当第一组有两个接通时,电路 3 3
2 接通有C2(C1+C2+C3)=7种方式.所以共有14+7=21 3 3 3

种方式.

答案:

C

排列组合的综合应用

[例3] (1)三位数中,如果十位上的数字比百位上 的数字和个位上的数字都小,则称这个数为凹数,如

524,746等都是凹数,那么,各个数位上无重复数字的三
位凹数有 A.72个 C.240个 B.120个 D.360个 ( )

(2)现有4位教师参加说题比赛,共有4道备选题目,

若每位选手从中有放回地随机选出1道题进行说题,则恰
有1道题没有被这4位选中的情况有 ( A.288种 C.72种
[自主解答]

)

B.144种 D.36种
(1)从 0~9 这 10 个数字中任选 3 个,

3 有 C3 种,这三个数字组成的凹数有 A2个,故共有 C10 10 2 2 A2=240(个).

(2)首先选择题目,从 4 道题目中选出 3 道,选法为
3 C4, 而后再将获得同一道题目的 2 位老师选出, 选法为 C2, 4

最后将 3 道题目分配给 3 组老师,分配方式为 A3,即满足 3 题意的情况共有 C3C2A3=144(种). 4 4 3

[答案] (1)C

(2)B

解决排列组合应用问题的关键是要分析问题中有 无限制条件.对于有限制条件的排列组合问题要注意 考虑限制条件的元素或位置.对较复杂的排列组合问

题,要采用先选后排的原则.

3.某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言,要

求甲、乙两人至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,
则他们发言时顺序不能相邻,那么不同的发言顺序种类 为 A.720 C.600 B.520 D.360 ( )

解析:分两类:第一类,甲、乙两人只有一人参加,则不
3 同的发言顺序种类为C1C5A4;第二类,甲、乙同时参加, 2 4

则不同的发言顺序种类为C 2 C 2 A 2 A 2 .依加法计数原理,所 2 5 2 3
3 2 2 求的不同的发言顺序种类为C1C5A4+C2C5A2A3=600. 2 4 2 2

答案:C

题型四 均匀分组与不均匀分组问题
例 4 按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; (3)平均分成三份,每份 2 本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本; (5)分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本; (7)甲得 1 本,乙得 1 本,丙得 4 本.

解析:(1)无序不均匀分组问题.先选 1 本有 再从余下的 5 本中选 2 本有 C2种选法;最后余下 3 本全选有 5 C3种方法,故共有 C1C2C3=60(种). 3 6 5 3 (2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人, 1 2 3 在第(1)题基础上,还应考虑再分配,共有 C6C5C3A3=360(种). 3

1 C6种选法;

2 2 2 (3)无序均匀分组问题.先分三步,则应是 C6C4C2种方法, 但是这里出现了重复.不妨记 6 本书为 A、B、C、D、E、F, 若第一步取了 AB,第二步取了 CD,第三步取了 EF,记该种 分法为(AB,CD,EF),则 C2C2C2种分法中还有(AB,EF,CD)、 6 4 2 (CD,AB,EF)、(CD,EF,AB)、(EF,CD,AB)、(EF,AB, 3 3 CD),共 A3种情况,而这 A3种情况仅是 AB、CD、EF 的顺序 C2C2C2 6 4 2 不同,因此只能作为一种分法.故分配方式有 A3 =15(种). 3

(4)有序均匀分组问题.在第(3)题基础上再分配给 3 个人, 2 2 2 C6C4C2 3 2 2 2 共有分配方式 3 · 3=C6C4C2=90(种). A A3 4 1 1 C6C2C1 (5)无序部分均匀分组问题,共有 2 =15(种). A2 (6)有序部分均匀分组问题.在第(5)题基础上再分配给 3 4 1 1 C6C2C1 3 个人,共有分配方式 2 · 3=90(种). A A2 1 (7)直接分配问题.甲选 1 本有 C6种方法,乙从余下 5 本 中选 1 本有 C1种方法, 4 本留给丙有 C4种方法, C1C1 余下 共有 6 5 5 4 C4=30(种). 4

点评:均匀分组无序,而不均匀分组则有序.

变式探究 4 有 10 个相同的小球, 分给甲、 丙三个人, 乙、 每人至少一个小球.有多少种不同的分法?

解析:如下图: ○○|○○○○|○○○○ 要想把 10 个小球分成三堆,需在这 10 个小球产生的 9 个 空档处插入两个隔板,就分成三堆了, ∴共有 C2=36 种分法. 9

解决排列组合应用问题时,一是要明确问题中是排 列还是组合或排列组合混合问题;二是要讲究一些基本

策略和方法技巧.常用的有:元素位置分析法、捆绑法
或插空法、先整体后局部法、定序问题相除法、正难则 反排除法、分组分配法等.下面就常见的特殊元素、位 置优先法,捆绑或插空法及正难则反排除法举例说明.

1.特殊元素、位置优先法

[典例1] (2012· 郑州模拟)1名老师和5位同学站成一
排照相,老师不站在两端的排法共有 A.450种 ( B.460种 )

C.480种 D.500种 [解析] 法一:(元素分析法)先排老师有A 1 种方法, 4
再排学生有A5种方法,共有A1· 5=480种排法. 5 4 A5
法二:(位置分析法)先排两端有A
2 5

种排法,再排其

余位置有A4种排法,共有A2· 4=480种排法. 4 5 A4

[答案] C

[题后悟道]

解决排列组合问题最基本的方法是位

置分析法和元素分析法,若以位置为主,需首先满足特 殊位置的要求,再处理其他位置;若以元素为主,需先 满足特殊元素的要求,再处理其他元素.

2.捆绑法、插空法

[典例2] (2012· 绥化一模)有5盆各不相同的菊花,其
中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆,现把它们摆放成 一排,要求2盆黄菊花必须相邻,2盆白菊花不能相邻,则 这5盆花的不同摆放种数是 A.12 C.36 B.24 D.48 ( )

[解析]

2盆黄菊花捆绑作为一个元素与一盆红菊花

排列,2盆白菊花采用插空法,所以这5盆花的不同摆放 共有A2A2A2=24种. 2 2 3

[答案] B [题后悟道] 插空法一般是先排没有限制条件的

元素,再按要求将不相邻的元素插入排好的元素之间; 对于捆绑法,一般是将必须相邻的元素看作一个“大元 素”,然后再与其余“普通元素”全排列,但不要忘记对

“大元素”内的元素进行排列.

3.正难则反排除法
[典例3] (2012· 北京崇文一模)从6名男生和2名女生 中选出3名志愿者,其中至少有1名女生的选法共有( A.36种 C.42种 B.30种 D.60种 )

[解析] 法一:(直接法)选出3名志愿者中含有1名女
2 生2名男生或2名女生1名男生,故共有C 1 C 2 +C 2 C 1 =2× 15 2 6 6

+6=36种选法.
法二:(间接法)从8名学生中选出3名,减去全部是男
3 3 生的情况,故共有C8-C6=56-20=36种选法.

[答案] A
[题后悟道] 对于“至少”“至多”型排列组合问题,

若分类求解时,情况较多,则可从所有方法中减去不满 足条件的方法.

?针对训练

1.有6个人站成前后两排,每排3人,若甲、乙2人左右、 前后均不相邻,则不同的站法种数为 A.240 B.384 ( )

C.480

D.768

解析:由题意可知,前后两排的位置分别编 号为1、2、3、4、5、6,如图所示,则以甲

1 2 3 4 5 6

为特殊元素分类考虑:甲在1位置时,乙可在3、 5、6位置,则有3A4=72种;甲在2位置时, 4 乙可在4、6位置,则有2A
4 4

=48种;甲在3位置时,乙可

4 在1、4、5位置,则有3A 4 =72种;甲在4、5、6位置时,

与以上3种相似,则有3A4+2A4+3A4=192种. 4 4 4 故共有2×(3A4+2A4+3A4)=384种站法. 4 4 4

答案:

B

2.在一次射击比赛中,有8个泥制靶子排 成如图所示的三列(其中两列有3个靶 子,一列有2个靶子),一位神枪手按 下面的规则打掉所有的靶子:首先他选择一列,然后

在被选中的一列中打掉最下面的一个没被打掉的靶
子.则打掉这8个靶子共有________种顺序.

解析:问题相当于把这8个靶子按照编号排列后,其中各 列靶子的顺序一定.在以这8个靶子为元素的排列(被打掉 的顺序)中,同一列靶子间一定是按由下至上的顺序被打 掉,即同一类元素间的顺序一定,因而所求顺序共有 A8 8 3 3=560种. A3A2A3 2

答案:560

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.2012年某校获得校长实名推荐制的资格,该 校高三奥赛班有5名同学获得甲、乙、丙三

所高校的推荐资格,且每人限推荐一所高
校.若这三所高校中每个学校都至少有1名 同学获得推荐,那么这5名同学不同的推荐

方案共有
A.144种 C.196种

(

)

B.150种 D.256种

解析:依题意这三所高校的名额分配方式为2,2,1或 3,1,1.因此共有C 2 · 3 · C 2 3+C 3 · 1 · 5 5 C 2 3=150种不同的推荐 方案.

答案:

B

2.用6种不同的颜色给如图所示的4个格 子涂色,每个格子涂1种颜色,要求最 多使用3种颜色且相邻的2个格子不同 色,不同的涂色方法共有________种.
解析:若用2种颜色涂,有C
2 6

种选法,满足相邻格异
2 2

色、1个格子1种颜色的涂法有A

种,共有C

2 6

A

2 2



30(种);若用3种颜色涂,有C 3 种选法,任选两个不相邻 6 的格子,有3种选法,再与另两格一起涂3种颜色,则有 3×A3种,共有C3×A3×3=360(种),综上,所求涂色方 3 6 3 法总共有390种.答案:390

3.有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种 不同的分配方式?

(1)分成1本、2本、3本三组;
(2)分给甲、乙、丙三人,其中一人1本,一人2本,一 人3本; (3)分成每组都是2本的三组; (4)分给甲、乙、丙三人,每人2本.

解:(1)分三步:先选一本有C

1 6

种选法;再从余下的5本中

2 3 选2本有C 5 种选法;对于余下的三本全选有C 3 种选法,由

分步乘法计数原理知有C1C2C3=60种选法. 6 5 3
(2)由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)的基础上,还应
1 3 考虑再分配的问题,因此共有C6C2C3A3=360种选法. 5 3

2 (3)先分三步,则应是C 2 C 4 C 2 种选法,但是这里面出现了 6 2

重复,不妨记6本书为分别A、B、C、D、E、F,若第一
2 2 步取了(AB、CD、EF),则C 6 C 2 C 2 种分法中还有(AB、 4

EF、CD),(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、
3 CD、AB)、(EF、AB、CD)共有A 3 种情况,而且这A 3 种 3

情况仅是AB、CD、EF的顺序不同,因此,只算作一种
2 C2C4C2 6 2 情况,故分配方式有 =15(种). A3 3 C2C2C2 3 6 4 2 (4)在问题(3)的基础上再分配,故分配方式有 · 3 A A3 3

=C2C2C2=90(种). 6 4 2



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