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广西桂林市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)



广西桂林市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)若实数 a,b,c,d 满足 a>b,c>d,则下列不等式成立的是() A.a﹣c>b﹣d B.a+c>b+d C.ac>bd D. >

2. (5 分)命题“对任意实数 x,都有 x>1”的否定是()

A.对任意实数 x,都有 x<1 B. 不存在实数 x,使 x≤1 C. 对任意实数 x,都有 x≤1 D.存在实数 x,使 x≤1 3. (5 分)若 p 是真命题,q 是假命题,则() A.p∧q 是真命题 B.p∨q 是假命题 C.﹁p 是真命题

D.﹁q 是真命题

4. (5 分)已知等差数列{an}中,a2+a3+a4+a5+a6=100,则 a1+a7 等于() A.20 B.30 C.40 D.50 5. (5 分)设 a,b∈R,那么“ >1”是“a>b>0”的() A.充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. (5 分)△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=4,b=4 ,∠A=30°, 那么∠B=() A.30° B.60° C.120° D.60°或 120° 7. (5 分)已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点.若线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 ,则|AF|+|BF|=() A.2 B. C. 3 D.4
2

8. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值为()

A.3

B. 4

C. 6

D.8 ,A、B、C 成

9. (5 分)△ ABC 中,已知 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 等差数列,则角 C=()

A.

B.

C.



D.



10. (5 分)给出下列命题: 2 2 ①“若 a <b ,则 a<b”的逆命题; ②“全等三角形面积相等”的否命题; ③“若方程 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是(1,2)”的

逆否命题; ④“若 x(x≠0)为有理数,则 x 为无理数” 其中正确的命题的序号是() A.③④ B.①③ C.①②

D.②④

11. (5 分)已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 的最小值为() A. B. C. D.

12. (5 分)已知双曲线



=1,以右顶点为圆心,实半轴长为半径的圆被双曲线的一条

渐近线分为弧长为 1:2 的两部分,则双曲线的离心率为() A. B. C. D.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) n 13. (5 分)已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,若 Sn=2 +1,则 a3=. 14. (5 分)双曲线 x ﹣my =1(m>0)的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 的值为. 15. (5 分)在圆 x +y =9 上任取一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD,D 为垂足,若点 M 在 线段 PD 上,且满足 DM= DP,则当点 P 在圆上运动时,点 M 的轨迹方程是.
2 2 2 2

16. (5 分)若关于 x 的不等式 则实常数 λ 的取值范围是.

≥0 对任意 n∈N 在 x∈(﹣∞,λ]恒成立,

*

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分)

17. (10 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b=3,c=8,角 A 为 锐角,△ ABC 的面积为 6 . (1)求角 A 的大小; (2)求 a 的值. 18. (12 分)已知等差数列{an}满足 a3=5,a4﹣2a2=3,又等比数列{bn}中,b1=3 且公比 q=3. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 19. (12 分)给定两个命题,P:对任意实数 x 都有 ax +ax+1>0 恒成立;Q:关于 x 的方程 2 x ﹣x+a=0 有实数根;如果 P 与 Q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围. 20. (12 分)某公司今年 3 月欲抽调一批销售员推销 A 产品,根据过去的经验,每月 A 产 品销售数量 y(万件)与销售员的数量 x(人)之间的函数关系式为:y= (x
2

>0) . (1)若要求在该月 A 产品的销售量大于 10 万件,销售员的数量应在什么范围内? (2)在该月内,销售员数量为多少时,销售的数量最大?最大销售量为多少?(精确到 0.1 万件) 21. (12 分)已知数列{bn}(n∈N )是递增的等比数列,且 b1,b3 为方程 x ﹣5x+4=0 的两 根. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)若 an=log2bn+3,求证:数列{an}是等差数列; * (Ⅲ)若 cn=an?bn(n∈N ) ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
* 2

22. (12 分)已知椭圆 C: 半轴为半径的圆与直线 x﹣y+ (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 ?

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短 =0 相切,直线 l:x=my+4 与椭圆 C 相交于 A、B 两点.

的取值范围.

广西桂林市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)若实数 a,b,c,d 满足 a>b,c>d,则下列不等式成立的是()

A.a﹣c>b﹣d

B.a+c>b+d

C.ac>bd

D. >

考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用;不等式. 分析: 根据不等式的性质, 分别将个选项分析求解即可求得答案; 注意排除法在解选择题 中的应用. 解答: 解:A、∵a>b,c>d,∴﹣c<﹣d,∴a+c 与 b+c 无法比较大小,故本选项错误; B、∵a>b,c>d,∴a+c>b﹣d,故本选项正确; C、当 a>b,c>d>0 时,ac>bd,故本选项错误; D、当 a>b,c>d>0 时, ,故本选项错误.

故选 B. 点评: 本题考查了不等式的性质. 此题比较简单, 注意解此题的关键是掌握不等式的性质: 2. (5 分)命题“对任意实数 x,都有 x>1”的否定是() A.对任意实数 x,都有 x<1 B. 不存在实数 x,使 x≤1 C. 对任意实数 x,都有 x≤1 D.存在实数 x,使 x≤1 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 全称命题的否定是特称命题,写出结果即可. 解答: 解:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“对任意实数 x,都有 x>1”的否定 是:存在实数 x,使 x≤1. 故选:D. 点评: 本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系. 3. (5 分)若 p 是真命题,q 是假命题,则() A.p∧q 是真命题 B.p∨q 是假命题 C.﹁p 是真命题

D.﹁q 是真命题

考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据题意,由复合命题真假表,依次分析选项即可作出判断. 解答: 解:∵p 是真命题,q 是假命题, ∴p∧q 是假命题,选项 A 错误; p∨q 是真命题,选项 B 错误; ¬p 是假命题,选项 C 错误; ¬q 是真命题,选项 D 正确. 故选 D. 点评: 本题考查复合命题的真假情况. 4. (5 分)已知等差数列{an}中,a2+a3+a4+a5+a6=100,则 a1+a7 等于() A.20 B.30 C.40 D.50

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意和等差数列的性质可得 a4=20,再由等差数列的性质可得 a1+a7=2a4=40 解答: 解:由等差数列的性质可得 a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4, 又 a2+a3+a4+a5+a6=100,∴5a4=100,解得 a4=20, ∴a1+a7=2a4=40 故选:C 点评: 本题考查等差数列的通项公式,涉及等差数列的性质,属基础题. 5. (5 分)设 a,b∈R,那么“ >1”是“a>b>0”的() A.充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: a>b>0,可推出 ,而当 ,时,例如取 a=﹣2,b=﹣1,显然不能推出 a

>b>0,由充要条件的定义可得答案. 解答: 解:由不等式的性质,a>b>0,可推出 而当 故 ,

,时,例如取 a=﹣2,b=﹣1,显然不能推出 a>b>0. 是 a>b>0 的必要不充分条件.

故选 B. 点评: 本题为充要条件的判断,正确利用不等式的性质是解决问题的关键,属基础题. 6. (5 分)△ ABC 中,角 A ,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=4,b=4 ,∠A=30°, 那么∠B=() A.30° B.60° C.120° D.60°或 120° 考点: 专题: 分析: 解答: 正弦定理. 解三角形. 由题意和正弦定理求出 sinB,再由内角的范围和边的关系求出 B. 解:由题意得,a=4,b=4 ,∠A=30°, ,则 sinB= = ,

由正弦定理得,

因为 b>a,0<B<180°, 所以 B=60°或 120°, 故选:D. 点评: 本题考查正弦定理,内角的范围和边角的关系,以及特殊角的三角函数值,属于基 础题.

7. (5 分)已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点.若线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 ,则|AF|+|BF|=() A.2 B. C. 3 D.4

2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 A、B 到准线 x=﹣ 的距离分别为 AM,BN,则由梯形中位线的性质可得 AM+BN=2( + )=3,由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=AM+BN,从而求得结果. 解答: 解:由题意可得 F( ,0) ,设 A、B 到准线 x=﹣ 的距离分别为 AM,BN, 则由梯形中位线的性质可得 AM+BN=2( + )=3. 再由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=AM+BN=3, 故选 C. 点评: 本题主要考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,属于中档题.

8. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值为()

A.3

B. 4

C. 6

D.8

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最大值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(2,2)

将 A 的坐标代入目标函数 z=2x+y, 得 z=2×2+2=6.即 z=2x+y 的最大值为 6. 故选:C

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 利用目标函数的几何意义, 结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法. 9. (5 分)△ ABC 中,已知 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 等差数列,则角 C=() A. B. C. 或 D. 或

,A、B、C 成

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由正弦定理化边为角,利用二倍角的正弦公式得到 sin2A=sin2B,再由三角形内角 的范围得到 2A=2B 或 2A+2B=π. 由 A、B、C 成等差数列求出角 B,最后结合三角形内角和定理得答案. 解答: 解:由 ,利用正弦定理得: ,

即 sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B, ∵0<A<π,0<B<π,0<A+B<π. ∴2A=2B 或 2A+2B=π. ∴A=B 或 A+B= . .

又 A、B、C 成等差数列,则 A+C=2B,由 A+B+C=3B=π,得 B= 当 A=B= 当 A+B= ∴C= 或 时,C= 时,C= . ; .

故选:D. 点评: 本题考查了正弦定理, 考查了二倍角的正弦公式, 训练了利用等差数列的概念求等 差数列中的项,是中档题. 10. (5 分)给出下列命题:

①“若 a <b ,则 a<b”的逆命题; ②“全等三角形面积相等”的否命题; ③“若方程 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是(1,2)”的

2

2

逆否命题; ④“若 x(x≠0)为有理数,则 x 为无理数” 其中正确的命题的序号是() A.③④ B.①③ C.①②

D.②④

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 不等式的解法及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程;简易逻辑. 分析: 求出逆命题,再举例说明,即可判断①;求出逆命题,判断真假,再由互为逆否 命题等价,即可判断②; 运用椭圆的方程,得到 k 的不等式,解得 k,再由互为逆否命题等价,即可判断③; 运用反证法,即可得到 x 为无理数,即可判断④. 解答: 解:对于①,“若 a <b ,则 a<b”的逆命题为“若 a<b,则 a <b ”, 2 2 比如 a=﹣2,b=﹣1,则 a >b ,则①错; 对于②,“全等三 角形面积相等”的逆命题为“若三角形的面积相等,则它们全等”, 则显然错误,比如三角形同底等高,则它的否命题也为错,则②错; 对于③,若方程 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 2k﹣1>2﹣k>0,解得 1<
2 2 2 2

k<2. 则原命题正确,则逆否命题也正确,则③对; 对于④,若 x(x≠0)为有理数,则 x 为无理数,可以运用反证法证明, 假设 x 为非零的有理数, 为无理数,则 x 必为无理数,与条件矛盾,则④对. 综上可得,正确的选项为③④. 故选 A. 点评: 本题考查四种命题的关系和真假判断, 考查椭圆的方程及参数的范围, 考查反证法 的运用,属于基础题和易错题. 11. (5 分)已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 的最小值为() A. B. C. D.

考点: 基本不等式;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 a7=a6+2a5 求得 q=2,代入 的最小值. 求得 m+n=6,利用基本不等式求出它

解答: 解: 由各项均为正数 的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5, 可得 ∴q ﹣q﹣2=0,∴q=2. ∵ ∴ 号成立. 故 的最小值等于 , ,∴q
m+n﹣2 2



=16,∴2

m+n﹣2

=2 ,∴m+n=6, ,当且仅当 = 时,等

4

故选 A. 点评: 本题主要考查等比数列的通项公式,基本不等式的应用,属于基础题.

12. (5 分)已知双曲线



=1,以右顶点为圆心,实半轴长为半径的圆被双曲线的一条

渐近线分为弧长为 1:2 的两部分,则双曲线的离心率为() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意知圆的方程为(x+a) +y =a ,双曲线的一条渐近线方程为 y=
2 2 2

,联立

,得:c x +2a x =0,由此能求出结果.
2 2 2

2 2

3

解答: 解:由题意知圆的方程为(x+a) +y =a , 双曲线的一条渐近线方程为 y= ,

联立
2 2


3

消去 y,并整理,得:c x +2a x=0, 设渐近线与圆交于 B(x1,y1) ,C(x2,y2) , 则 x1+x2=﹣ ,x1x2=0,

∵实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线 分为弧长为 1:2 的两部分, ∴|BC|= = ,



=





=3a ,

2

∴2a=

c,∴e=

=



故选:B. 点评: 本题考查双曲线的离心率的计算,是中档题,解题时要认真审题,注意双曲线简单 性质的灵活运用. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) n 13. (5 分)已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,若 Sn=2 +1,则 a3=6. 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 Sn=2 +1,利用 a3=S3﹣S2,能求出结果. n 解答: 解:∵Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn=2 +1, 3 2 ∴a3=S3﹣S2=(2 +1)﹣(2 ﹣1)=6. 故答案为:6. 点评: 本题考查数列的第 3 项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意公式 的合理运用.
n

14. (5 分)双曲线 x ﹣my =1(m>0)的实轴长是 虚轴长的 2 倍,则 m 的值为 4. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用双曲线的标准方程即可得出 a 与 b 的关系,即可得到 m 的值. 解答: 解:双曲线 x ﹣my =1 化为 x ﹣
2 2 2

2

2

=1,

∴a =1,b = , ∵实轴长是虚轴长的 2 倍, ∴2a=2×2b,化为 a =4b ,即 1= , 解得 m=4. 故答案为:4. 点评: 熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键.
2 2

2

2

15. (5 分)在圆 x +y =9 上任取一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD,D 为垂足,若点 M 在 线段 PD 上,且满足 DM= DP,则当点 P 在圆上运动时,点 M 的轨迹方程是 .

2

2

考点: 轨迹方程. 专题: 综合题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出 P(x0,y0) ,M(x,y) ,D(x0,0) ,由点 M 在线段 PD 上,且满足 DM= DP, M 的坐标用 P 的坐标表示,代入圆的方程得答案. 解答: 解:设 P(x0,y0) ,M(x,y) ,D(x0,0) , ∵点 M 在线段 PD 上,且满足 DM= DP, ∴x0=x,y0= y, 又 P 在圆 x +y =9 上, 2 2 ∴x0 +y0 =9, ∴x + y =9,
2 2 2 2

∴点 M 的轨迹方程



故答案为:



点评: 本题考查了轨迹方程的求法,考查了代入法求曲线的轨迹方程,是中档题. ≥0 对任意 n∈N 在 x∈(﹣∞,λ]恒成立,
*

16. (5 分)若关于 x 的不等式 则实常数 λ 的取值范围是(﹣∞,﹣1]. 考点: 函数恒成立问题. 专题: 综合题;压轴题.

分析: 关于 x 的不等式 于 ≥
*

≥0 对任意 n∈N 在 x∈(﹣∞,λ]恒成立,等价 = ,知

*

对任意 n∈N 在 x∈(﹣∞,λ]恒成立,由 对 x∈(﹣∞,λ]恒成立.由此能求出 λ 的范围.

解答: 解:关于 x 的不等式 等价于 ∵ ∴ 设 ≥ = , 对 x∈(﹣∞,λ]恒成立.
*

≥0 对任意 n∈N 在 x∈(﹣∞,λ]恒成立,

*

对任意 n∈N 在 x∈(﹣∞,λ]恒成立,

,它的图象是开口向上,对称轴为 x=﹣ 的抛物线,
2

∴当 x≤﹣ 时,左边是单调减的,所以要使不等式恒成立,则 λ + 解得 λ≤﹣1,或 (舍)



当 x>﹣ ,左边的最小值就是在 x=﹣ 时取到, 达到最小值时, = ,不满足不等式.

因此 λ 的范围就是 λ≤﹣1. 故答案为: (﹣∞,﹣1]. 点评: 本题考查函数恒成立问题的应用, 解题时要认真审题, 注意挖掘题设中的隐含条件, 合理地进行等价转化. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b=3,c=8,角 A 为 锐角,△ ABC 的面积为 6 . (1)求角 A 的大小; (2)求 a 的值. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由三角形面 积公式和已知条件求得 sinA 的值,进而求得 A. (2)利用余弦定理公 式和(1)中求得的 A 求得 a. 解答: 解: (1)∵S△ ABC= bcsinA= ×3×8×sinA=6 ∴sinA= , ,

∵A 为锐角,

∴A=

. = =7.

(2)由余弦定理知 a=

点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用. 考查了学生对三角函数基础公式的熟 练记忆和灵活运用. 18. (12 分)已知等差数列{an}满足 a3=5,a4﹣2a2=3,又等比数列{bn}中,b1=3 且公比 q=3. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设等差数列{an}的公差为 d,由 a3=5,a4﹣2a2=3 列出关于首项与公差的方程 组,可求得 ,从而可得数列{an}的通项公式;

而{bn}是以 b1=3 且公比 q=3 的等比数列,从而可求得数列{bn}的通项公式; n (2)由(1)得 cn=an+bn=(2n﹣1)+3 ,利用分组求和法即可求得数列{cn}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,则由题意得 ,

解得

,所以,an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,

因为{bn}是以 b1=3 且公比 q=3 的等比数列, n 所以 bn=3 ; n (2)由(1)得 cn=an+bn=(2n﹣1)+3 , 则 Sn=1+3+5+…+ (2n﹣1) + (3+3 +3 +…+3 ) =
2 3 n

+

=n +

2



点评: 本题考查数列的求和, 着重考查等差数列与等比数列的通项公式的应用, 突出考查 分组求和,属于中档题. 19. (12 分)给定两个命题,P:对 任意实数 x 都有 ax +ax+1>0 恒成立;Q:关于 x 的方 2 程 x ﹣x+a=0 有实数根;如果 P 与 Q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题;综合题. 分析: 先对两个命题进行化简,转化出等价条件,根据 P 与 Q 中有且仅有一个为真命题, 两命题一真一假,由此条件求实数 a 的取值范围即可. 解答: 解:对任意实数 x 都有 ax +ax+1>0 恒成立
2 2

?0≤a<4;

关于 x 的方程 x ﹣x+a=0 有实数根 如果 P 正确,且 Q 不正确,有 如果 Q 正确,且 P 不正确,有 所以实数 a 的取值范围为

2

; ; . .

点评: 本题考查命题的真假判断与应用, 求解本题的关键是得出两命题为真命题的等价条 件,本题寻 找 P 的等价条件时容易忘记验证二次项系数为 0 面错,解题时要注意特殊情况 的验证.是中档题. 20. (12 分)某公司今年 3 月欲抽调一批销售员推销 A 产品,根据过去的经验,每月 A 产 品销售数量 y(万件)与销售员的数量 x(人)之间的函数关系式为:y= (x

>0) . (1)若要求在该月 A 产品的销售量大于 10 万件,销售员的数量应在什么范围内? (2)在该月内,销售员数量为多少时,销售的数量最大?最大销售量为多少?(精确到 0.1 万件) 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)依据体积列出销售量大于 10 万件的不等式,求出销售员的数量应在范围. (2)利用基本不等式求出,销售的数量最大值,然后求出最大销售量. 解答: 解: (1)由条件可知
2

>10,

整理得:x ﹣89x+1600<0.即(x﹣25) (x﹣64)<0, 解得 25<x<64. 该月月饼的销售量不少于 10 万件,则销售员的数量应在(25,64) . (2)依题意 y= = ,

∵x+ ∴ymax=

≥2

=80,当且仅当 x=

,即 x=40 时,上式等号成立.

≈11.1(万件) .

∴当 x=40 时,销售的数量最大,最大销售量为 11.1 万件. 点评: 本题考查利用基本不等式解决实际问题最值问题的应用, 考查转化思想以及计算能 力. 21. (12 分)已知数列{bn}(n∈N )是递增的等比数列,且 b1,b3 为方程 x ﹣5x+4=0 的两 根. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)若 an=log2bn+3,求证:数列{an}是等差数列;
* 2

(Ⅲ)若 cn=an?bn(n∈N ) ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)解方程 x ﹣5x+4=0,得 b1=1,b3=4,由此能求出
2

*



(Ⅱ)由 an=log2bn+3n﹣1+3=n+2,能证明数列{an}是首项为 3,公比为 1 的等差数列. n﹣1 (Ⅲ)由 cn=an?bn=(n+2)?2 ,利用错位相减法能求出数列{cn}的前 n 项和 Tn. 2 解答: (Ⅰ)解:∵b1,b3 为方程 x ﹣5x+4=0 的两根, * 数列{bn}(n∈N )是递增的等比数列, 2 解方程 x ﹣5x+4=0,得 x1=1,x2=4, ∴b1=1,b3=4,∴ ∴ . =4,解得 q=2 或 q=﹣2(舍)

(Ⅱ)证明:∵an=log2bn+3 = =n﹣1+3=n+2, ∴数列{an}是首项为 3,公比为 1 的等差数列. n﹣1 (Ⅲ)解:cn=an?bn=(n+2)?2 , ∴
2 3 n

,①

2Tn=3?2+4?2 +5?2 +…+(n+2)?2 ,② 2 3 n﹣1 n ①﹣②,得:﹣Tn=3+2+2 +2 +…+2 ﹣(n+2)?2 =3+ =1﹣(n+1)?2 , ∴ .
n

点评: 本题考查数列通项公式的求法, 考查等比数列的证明, 考查数列的前 n 项和的求法, 解题时要认真审题,注意错位相减法的合理运用.

22. (12 分)已知椭圆 C: 半轴为半径的圆与直线 x﹣y+ (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 ?

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短 =0 相切,直线 l:x=my+4 与椭圆 C 相交于 A、B 两点.

的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (Ⅰ)由已知条件推导出

,b=

,由此能求出椭圆方程.

(Ⅱ)由

,得(3m +4)y +24my+36=0,由△ >0,得 m >4,由此利用韦达定

2

2

2

理能求出

?

的取值范围.

解答: 解: (Ⅰ)由题意知

,∴
2 2

= ,



,又 b=

,解得 a =4,b =3,

∴椭圆方程为

. (4 分)

(Ⅱ)由
2

,得(3m +4)y +24my+36=0, (6 分)
2 2

2

2

由△ >0 得(24m) ﹣4×36(3m +4)>0,解得 m >4, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 ∴
2



, (8 分)

=(m +1)y1y2+4m(y1+y2)+16

=
2 2

, (10 分)

∵m >4,∴3m +4>16,∴ ∴ ? 的取值范围是(﹣4, ) .



点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查向量的数量积的求法,解题时要认真审题,注意函 数与方程思想的合理运用.



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