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2009-2010学年上海市普陀区同济二附中高一(上)期末数学试卷



2009-2010 学年上海市普陀区同济二附中高一(上) 期末数学试卷
一、填空题(本大题共有 12 题,每题填对得 3 分,满分 36 分) 1. (3 分)函数 的定义域是 _________ .
﹣1

2. (3 分) (2008?上海)若函数 f(x)的反函数为 f (x)=x (x>0) ,则 f(4)= _________ .

3. (3 分)若 f(x)=x,
2

2

,则 f(x)?g(x)= _________ .

4. (3 分)设全集 U={2,3,a +2a﹣3},集合 A={2,|a+1|},CUA={5},则 a= _________ . 2 5. (3 分)集合 A={x||x﹣2|≤2},x∈ R,B={y|y=﹣x },﹣1≤x≤2,则 CR(A∩ B)= _________ . 6. (3 分)已知集合 7. (3 分)若函数 则 A∩ B _________ . 是奇函数,则实数 a 的值为 _________ .

8. (3 分) 定义在 R 上的奇函数 f (x) 在[0, +∞) 上的图象如图所示, 则不等式 xf (x) <0 的解集是 _________ .

9. (3 分)设函数 f(x)=
x

则不等式 f(x)>f(1)的解集是 _________ .

10. (3 分) (2009?山东) 若函数 f (x) =a ﹣x﹣a (a>0, 且 a≠1) 有两个零点, 则实数 a 的取值范围是 _________ . 11. (3 分) 设 x, y, a∈ R , 且当 x+2y=1 时,
+

的最小值为

. 则当

时, 3x+ay 的最小值是 _________ .

12. (3 分)设函数 f(x) ,g(x)的定义域分别为 Df,Dg,且 Df? Dg.若对于任意 x∈ Df,都有 g(x)=f(x) ,则称 2 函数 g(x)为 f(x)在 Dg 上的一个延拓函数.设 f(x)=x +2x,x∈ (﹣∞,0],g(x)为 f(x)在 R 上的一个延拓 函数,且 g(x)是偶函数,则 g(x)= _________ . 二、选择题(本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,选对得 4 分,否则一律得零 分,满分 16 分) 13. (4 分)如果 0<a<b,那么下列不等式中错误的是( ) A.a+c<b+c B. C.ac2<bc2 D. 14. (4 分)设函数 A.k≥1 B.k≥1 的定义域为 R,则 k 的取值范围是( C.﹣9≤k≤1 ) D.0<k≤1

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www.jyeoo.com 或 k≤﹣9 15. (4 分)下列函数在定义域上,既是奇函数又是减函数的是( ) 3 A. B. C.y=﹣x

D.

16. (4 分) (2007?安徽)图中的图象所表示的函数的解析式为(



A. y= |x﹣1|(0≤x≤2)

B.

y= ﹣ |x﹣1|(0≤x≤2)

C.

y= ﹣|x﹣1|(0≤x≤2)

D.y=1﹣|x﹣1|(0≤x≤2)

三、解答题: (本题共有 5 题,共 48 分) 17. (8 分)已知集合 A={x| ,x∈ R}B={x|x﹣2a|≤2.x∈ R},若 A∪ B=R,求实数 a 的取值范围. , , ,1,2,3}.已知 a∈ A,使得幂函数 f(x)=x 为奇函数;指数
a

18. (8 分)给出集合 A={﹣2,﹣1,
x

函数 g(x)=a 在区间(0,+∞)上为增函数. (1)试写出所有符合条件的 a,说明理由; (2)判断 f(x)在(0,+∞)的单调性,并证明; (3)解方程:f[g(x)]=g[f(x)]. 19. (10 分)某村计划建造一个室内面积为 800m 的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1m 宽 2 的通道,沿前侧内墙保留 3m 宽的空地,设矩形温室的一边长为 xm,蔬菜的种植面积为 Sm (如图所示) . (1)试建立 S 关于 x 的函数关系式; (2)当矩形温室的长和宽分别为多少时,蔬菜的种植面积最大,并求出最大值.
2

20. (10 分)已知 (1)画出函数 y=H(x﹣1)+2 的图象; (2)试讨论方程 H(x﹣1)+2=m 根的个数.

,H(x)=f(x)?g(x) .

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21. (12 分)已知函数 f(x)=3x +(p+2)x+3,p 为实数. (1)若函数是偶函数,试求函数 f(x)在区间[﹣1,3]上的值域; (2)已知 α:函数 f(x)在区间 上是增函数,β:方程 f(x)=p 有小于﹣2 的实根.试问:α 是 β 的什

2

么条件(指出充分性和必要性)?请说明理由.

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2009-2010 学年上海市普陀区同济二附中高一(上) 期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题共有 12 题,每题填对得 3 分,满分 36 分) 1. (3 分)函数 的定义域是 (3,+∞) .

分析: 无理式被开方数大于等于 0,分母不等于 0,解答即可. 解答: 解:要使函数有意义:

即: 解得:x>3. 故答案为: (3,+∞) . 点评: 本题考查对数函数的定义域,考查学生发现问题解决问题的能力,是基础题. 2. (3 分) (2008?上海)若函数 f(x)的反函数为 f (x)=x (x>0) ,则 f(4)= 2 .
﹣1

2

1 2 分析: 令 f(4)=t? f (t)=4? t =4(t>0)? t=2. 解答: 解:令 f(4)=t


∴ f (t)=4, 2 ∴ t =4(t>0) ∴ t=2. 答案:2. 点评: 本题考查反函数的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用. 3. (3 分)若 f(x)=x, ,则 f(x)?g(x)= .

﹣1

专题: 计算题。 分析: 由题意,将两个函数 f(x)=x,

的解析式相乘,即可得到所求的解析式,由于两个函数的定义域

不相同,故要用两个函数定义域的公共部分做为新函数的定义域. 解答: 解:由题意 f(x)=x, 又 f(x)=x 的定义域为 R, 故 f(x)?g(x)的定义域是(0,+∞) 所以 f(x)?g(x)= 故答案为: 点评: 本题考查求函数的解析式,由题意知,将此两函数解析式相乘即可得到新函数的解析式,本题解题的关键是求
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,故 f(x)?g(x)= 的定义域是(0,+∞)

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www.jyeoo.com 出新函数的定义域,这也是本题的易错点,求函数解析式的题师题一般要求出定义域,切记 4. (3 分)设全集 U={2,3,a +2a﹣3},集合 A={2,|a+1|},CUA={5},则 a= ﹣4 或 2 .
2

分析: 根据补集的性质 A∪ (CUA)=U,再根据集合相等的概念列方程组,从而可得结论. 解答: 解:由题意,根据补集的性质 A∪ (CUA)=U, ∴ ∴ ,∴ a=﹣4 或 2.

故答案为:﹣4 或 2. 点评: 本题的考点是集合关系中的参数取值问题,主要考查集合的基本运算,补集的性质,集合相等的概念.是基础 题. 5. (3 分)集合 A={x||x﹣2|≤2},x∈ R,B={y|y=﹣x },﹣1≤x≤2,则 CR(A∩ B)= (﹣∞,0)∪ (0,+∞) . 考点: 交、并、补集的混合运算。 专题: 计算题。 分析: 求出集合 A 中的绝对值不等式的解集,确定出集合 A,再根据 x 的范围求出二次函数 y=﹣x2 的值域确定出集 合 B,先求出两集合的交集,由全集为 R,求出两集合交集的补集即可. 解答: 解:由集合 A 中的不等式|x﹣2|≤2, 变形得:﹣2≤x﹣2≤2,解得:0≤x≤4, 所以集合 A=[0,4], 2 由集合 B 中的二次函数 y=﹣x ,﹣1≤x≤2,得到:﹣4≤y≤0, 所以集合 B=[﹣4,0], 所以 A∩ B={0},由全集为 R,
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2

则 CR(A∩ B)=(﹣∞,0)∪ (0,+∞) . 故答案为: (﹣∞,0)∪ (0,+∞) 点评: 此题属于以其他不等式的解法及二次函数的值域为平台,考查了补集及交集的运算,是一道基础题.

6. (3 分)已知集合

则 A∩ B



考点: 指数函数单调性的应用。 专题: 计算题。 分析: 先分别化简集合 A,B,再求它们的交集,注意可以利用数轴求交集. 解答: 解:由题意,
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∴ 故答案为: 点评: 本题的考点是指数函数单调性的应用,主要考查利用单调性解不等式,考查集合的交集运算,关键是正确解不 等式.

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www.jyeoo.com 7. (3 分)若函数 是奇函数,则实数 a 的值为 1 .

考点: 函数奇偶性的性质。 专题: 计算题。 分析: 由函数 a 的值 解答: 解:由函数 ∴

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是奇函数可得 f(﹣x)=﹣f(x)对定义域内的任意 x 都成立.代入可求

是奇函数可得 f(﹣x)=﹣f(x)对定义域内的任意 x 都成立

∴ a=1 故答案为:1 点评: 本题主要考查了奇函数的定义的应用,属于基础试题,注意解答本题时也可以利用奇函数的性质 f(0)=0 进 行求解 8. (3 分)定义在 R 上的奇函数 f(x) 在[0,+∞) 上的图象如图所示,则不等式 xf(x)<0 的解集是 ﹣2)∪ (2,+∞) . (﹣∞,

考点: 奇偶性与单调性的综合。 专题: 图表型。 分析: 由 f(x)是奇函数得函数图象关于原点对称,可画出 y 轴左侧的图象,利用两因式异号相乘得负,得出 f(x) 的正负,由图象可求出 x 的范围得结果. 解答: 解: (1)x>0 时,f(x)<0,∴ x>2, (2)x<0 时,f(x)>0,∴ x<﹣2, ∴ 不等式 xf(x)<0 的解集为(﹣∞,﹣2)∪ (2,+∞) . 故答案为: (﹣∞,﹣2)∪ (2,+∞) . 点评: 本题主要考查函数奇偶性的性质以及函数图象的应用.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 Y 轴 对称.
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9. (3 分)设函数 f(x)=

则不等式 f(x)>f(1)的解集是 (﹣3,1)∪ (3,+∞) .

考点: 一元二次不等式的解法。 专题: 计算题。 分析: 根据函数

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先求 f(1) ,再对 x 的值进行讨论,将不等式 f(x)>f(1)可化为

整式不等式,求出不等式的解集即可.
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www.jyeoo.com 解答: 解:∵ 1>0,∴ f(1)=3, 故不等式 f(x)>f(1)? f(x)>3, ① 如果 x<0 则 x+6>3? x>﹣3 ② 如果 x≥0 有 x ﹣4x+6>3? x>3 或 0≤x<1 综上,原不等式的解集: (﹣3,1)∪ (3,+∞) . 故答案为: (﹣3,1)∪ (3,+∞) . 点评: 本题考查分段函数,一元二次不等式的解法,考查运算求解能力,考查分类讨论思想、化归与转化思想.属于 基础题. 10. (3 分) (2009?山东)若函数 f(x)=a ﹣x﹣a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 (1,+∞) . 考点: 函数的零点。 专题: 作图题。 分析: 根据题设条件,分别作出令 g(x)=ax(a>0,且 a≠1) ,h(x)=x+a,分 0<a<1,a>1 两种情况的图象,结 合图象的交点坐标进行求解. 解答: 解:令 g(x)=ax(a>0,且 a≠1) ,h(x)=x+a,分 0<a<1,a>1 两种情况.
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2

x

在同一坐标系中画出两个函数的图象,如图,若函数 f(x)=a ﹣x﹣a 有两个不同的零点,则函数 g(x) ,h(x) 的图象有两个不同的交点.根据画出的图象只有当 a>1 时符合题目要求. 故答案为: (1,+∞)

x

点评: 作出图象,数形结合,事半功倍.
+

11. (3 分)设 x,y,a∈ R ,且当 x+2y=1 时,

的最小值为

.则当

时,3x+ay 的最小值是



考点: 基本不等式在最值问题中的应用。 专题: 计算题。 分析: 由题设条件, 可在 上乘以 x+2y 构造出积为定值的形式, 由基本不等式求得
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的最小值为 3+2a+2



从而得到 3+2a+2 小值是 解答:

=

,同理可得当

时,3x+ay 的最小值是 3+2a+2

,即可求得 3x+ay 的最

解:由题意 x,y,a∈ R ,且当 x+2y=1 时, 由于 =( ) (x+2y)=3+2a+ = )=3+2a+

+

的最小值为 ,等号当

. 时取到

≥3+2a+2

故有 3+2a+2

∴ 3x+ay=(3x+ay ) (

≥3+2a+2

=

,等号当

时取到

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www.jyeoo.com 故答案为: 点评: 本题考查基本不等式在最值问题中的应用,及构造出积为定值的技巧,解题的关键是由题设条件构造出积为定 值的技巧,从而得出 3+2a+2 = ,本题中有一疑点,即两次利用基本不等式时,等号成立的条件可能不 一样,此点不影响利用 3+2a+2 求出 3x+ay 的最小值是 ,这是因为 3+2a+2 是一个常数,本题是一 个中档题目. 12. (3 分)设函数 f(x) ,g(x)的定义域分别为 Df,Dg,且 Df? Dg.若对于任意 x∈ Df,都有 g(x)=f(x) ,则称函 2 数 g(x)为 f(x)在 Dg 上的一个延拓函数.设 f(x)=x +2x,x∈ (﹣∞,0],g(x)为 f(x)在 R 上的一个延拓函 2 数,且 g(x)是偶函数,则 g(x)= x ﹣2|x| . 考点: 函数奇偶性的性质。 专题: 计算题;新定义。 2 分析: 由题意可得当 x≤0 时,g(x)=f(x)=x +2x,结合函数 g(x)为偶函数可得,g(﹣x)=g(x)可求 x>0 时 的函数的表达式,进而可求函数 g(x) 解答: 解:由题意可得当 x≤0 时,g(x)=f(x)=x2+2x 由函数 g(x)为偶函数可得,g(﹣x)=g(x)
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当 x>0 时,则﹣x<0,g(﹣x)=x ﹣2x,则 g(x)=x ﹣2x 2 ∴ g(x)=x ﹣2|x| 2 故答案为:x ﹣2|x| 点评: 本题以新定义为切入点,主要考查了利用偶函数的性质求解函数的解析式,属于函数知识的综合应用 二、选择题(本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,选对得 4 分,否则一律得零 分,满分 16 分) 13. (4 分)如果 0<a<b,那么下列不等式中错误的是( ) 2 2 A.a+c<b+c B. C.ac <bc D.

2

2

考点: 不等关系与不等式。 专题: 计算题。 分析: 由于 0<a<b,不妨设 a=1,b=2,由不等式的性质可得 a+c<b+c,
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成立,当 c=0 时,ac <

2

bc 不成立,从而得到结论. 解答: 解:∵ 0<a<b,不妨设 a=1,b=2,由不等式的性质可得 a+c<b+c, , 成立, .

2

故 A、B、D 三个选项都正确. 2 2 当 c=0 时,ac <bc 不成立,故 C 不正确, 故选:C. 点评: 本题主要考查不等式与不等关系,不等式的基本性质,利用特殊值代入法,排除不符合条件的选项,得到符合 条件的选项,是一种简单有效的方法.

14. (4 分)设函数 A.k≥1 或 k≤﹣9 B.k≥1

的定义域为 R,则 k 的取值范围是( C.﹣9≤k≤1

) D.0<k≤1

考点: 函数的定义域及其求法;函数恒成立问题。 专题: 计算题;分类讨论。

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www.jyeoo.com 分析: 函数 解答: 解:∵ 函数

的定义域为 R,等价于 kx ﹣6x+k+8≥0 的解为 R,由此能求出 k 的取值范围. 的定义域为 R,

2

∴ kx ﹣6x+k+8≥0 的解为 R, k=0 时,﹣6x+8≥0 的解为 x ,不成立.

2





解得 k≥1. 故选 B. 点评: 本题考查函数恒成立问题,解题时要认真审题,仔细解答,注意一元二次不等式的灵活运用. 15. (4 分)下列函数在定义域上,既是奇函数又是减函数的是( ) 3 A. B. C.y=﹣x

D.

考点: 奇偶性与单调性的综合。 专题: 综合题。 分析: 对于选项 A,定义域为{x|x≠1}不关于原点对称故 A 不对;
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对于选项 B:y= 是一个反比例函数,其在定义域内是奇函数,但在整个定义域内不是单调函数,B 不对; 对于选项 C: 因为函数的定义域为 R 关于原点对称, 并且 f (﹣x) =﹣ (﹣x) =x =﹣f (x) , 又 f′ (x) =﹣3x ≤0, 所以函数在定义域内即是减函数又是奇函数.C 对; 对于选项 D:结合 f(0)=0,f(1)= ,即可得 D 不对. 解答: 解:对于选项 A,因为函数的定义域为{x|x≠1}不关于原点对称,所以函数是非奇非偶函数,所以 A 错误. 对于 B:y= 是一个反比例函数,其在定义域内是奇函数,但在整个定义域内不是单调函数,故 B 不对; 对于 C:因为函数的定义域为 R 关于原点对称,并且 f(﹣x)=﹣(﹣x) =x =﹣f(x) ,又 f′ (x)=﹣3x ≤0, 所以函数在定义域内即是减函数又是奇函数.C 对; 对于 D:因为 f(0)=0,f(1)= ,不满足减函数的定义,故 D 不对. 故选:C. 点评: 本题考点是函数单调性的判断与证明,考查基本函数单调性的判断与其奇偶性的判断,函数奇偶性与单调性是 函数的两个非常重要的性质, 奇函数的图象关于原点成中心对称图象, 偶函数的图象关于 y 轴成中心对称图形, 具有奇偶性的函数在对称的区间上奇函数的单调性相同,而偶函数在对称区间上相反,熟练掌握这些知识,可 以迅速准确地做出正确判断. 16. (4 分) (2007?安徽)图中的图象所表示的函数的解析式为( )
3 3 2 3 3 2

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A. y= |x﹣1|(0≤x≤2)

B.

y= ﹣ |x﹣1|(0≤x≤2)

C.

y= ﹣|x﹣1|(0≤x≤2)

D.y=1﹣|x﹣1|(0≤x≤2)

考点: 函数的图象与图象变化。 分析: 求已知图象函数的解析式,常使用特殊值代入排除法. 解答: 解:由已知函数图象易得:
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点(0,0) 、 (1、 )在函数图象上 将点(0,0)代入可排除 A、C 将(1、 )代入可排除 D 故选 B. 点评: 特殊值代入排除法既可以提高解题速度,又可以提高解题精度,是解答选择题常用的方法.特殊值代入排除法 的关键是寻找最易于运算的特殊值,如本题中的(0,0)点. 三、解答题: (本题共有 5 题,共 48 分) 17. (8 分)已知集合 A={x| ,x∈ R}B={x|x﹣2a|≤2.x∈ R},若 A∪ B=R,求实数 a 的取值范围.

考点: 集合关系中的参数取值问题。 专题: 计算题。 分析: 求出集合 A,B,利用 A∪ B=R,直接求实数 a 的取值范围. 解答: 解:集合 A={x| ,x∈ R}={x|x≤2 或 x>3},B={x|x﹣2a|≤2.x∈ R}={x|2a﹣2≤x≤2a+2},…(4 分)
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若 A∪ B=R,则 所以实数 a 的取值范围:

,得

…(4 分)

点评: 本题是基础题,考查集合的基本运算,集合中参数的范围的应用,考查计算能力.
a

18. (8 分)给出集合 A={﹣2,﹣1,
x



, ,1,2,3}.已知 a∈ A,使得幂函数 f(x)=x 为奇函数;指数函

数 g(x)=a 在区间(0,+∞)上为增函数. (1)试写出所有符合条件的 a,说明理由; (2)判断 f(x)在(0,+∞)的单调性,并证明; (3)解方程:f[g(x)]=g[f(x)]. 考点: 幂函数的性质;函数单调性的判断与证明。 专题: 综合题。 分析: (1)由指数函数 g(x)=ax 在区间(0,+∞)上为增函数,知 a>1,由幂函数 f(x)=xa 为奇函数,知 a=3.
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www.jyeoo.com 3 (2)f(x)=x 在(0,+∞)上为增函数.用定义法进行证明:在(0,+∞)上任取 x1,x2,x1<x2,f(x1) ﹣f(x2)=
3

,由 x1<x2,知 x1﹣x2<0,

>0,f

(x1)>f(x2) .由此知 f(x)=x 在(0,+∞)上为增函数. (3)f[g(x)]=(3 ) =3 ,g[f(x)]= 解答: 解: (1)a=3.…1 分 ∵ 指数函数 g(x)=a 在区间(0,+∞)上为增函数, ∴ a>1, ∴ a 只可能为 2 或 3. 而当 a=2 时,幂函数 f(x)=x 为偶函数, 3 只有当 a=3 时,幂函数 f(x)=x 为奇函数. (只需简单说明理由即可,无需与答案相同)…2 分 (2)f(x)=x 在(0,+∞)上为增函数.…1 分 证明:在(0,+∞)上任取 x1,x2,x1<x2, 3 3 2 2 f(x1)﹣f(x2)=x1 ﹣x2 =(x1﹣x2) (x1 +x1x2+x2 ) = ∵ x1<x2, ∴ x1﹣x2<0, >0, ,
3 2 x x 3 3x

,所以原方程等价于 3 =

3x

,由此能求出结果.

∴ f(x1)﹣f(x2)>0, ∴ f(x1)>f(x2) . 3 ∴ f(x)=x 在(0,+∞)上为增函数.…3 分 x 3 3x (3)f[g(x)]=(3 ) =3 , g[f(x)]= ∴ 3 =
3x



,…2 分

根据指数函数的性质, 3 得 3x=x , ∴ x1=0,x2= ,x3= . …1 分. 点评: 本题考查幂函数的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化. 19. (10 分)某村计划建造一个室内面积为 800m 的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1m 宽 2 的通道,沿前侧内墙保留 3m 宽的空地,设矩形温室的一边长为 xm,蔬菜的种植面积为 Sm (如图所示) . (1)试建立 S 关于 x 的函数关系式; (2)当矩形温室的长和宽分别为多少时,蔬菜的种植面积最大,并求出最大值.
2

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www.jyeoo.com 考点: 函数模型的选择与应用;函数单调性的判断与证明。 专题: 应用题。 分析: (1)根据矩形温室的一边长为 xm,求出另一边长,然后根据矩形的面积公式表示即可; (2)直接利用基本不等式可求出面积的最大值,注意等号成立的条件. 解答: 解: (1)根据矩形温室的一边长为 xm,另一边长为 m.
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蔬菜的种植面积 S=( ﹣4) (x﹣2) +8 +2x) . +2x)≤808﹣4×160=648(m )
2

=800﹣4x﹣2 =808﹣2(

(2)S=808﹣2( 当且仅当

=2x,即 x=20(m)时,
2

S 最大值=648(m ) . 2 答:当矩形温室的一边长为 40m,另一边长为 20m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积为 648m . 点评: 本题主要考查了函数模型的选择与应用,以及基本不等式求函数的最值,属于中档题. 20. (10 分)已知 (1)画出函数 y=H(x﹣1)+2 的图象; (2)试讨论方程 H(x﹣1)+2=m 根的个数. ,H(x)=f(x)?g(x) .

考点: 根的存在性及根的个数判断;函数的图象。 专题: 作图题;数形结合。 分析: (1)根据表达式,得出函数 f(x)的定义域是(﹣2,+∞) ,将 H(x)化成分段函数的形式.从而得出函数 y=H(x﹣1)+2 的分段表达式,进而可以作出它的图象; (2)根据图象可以得到,当 m=2 或 m≥10 时,直线 y=m 与函数 y=H(x﹣1)+2 图象有且仅有一个公共点; 当 2<m<10 时,直线 y=m 与函数 y=H(x﹣1)+2 图象有两个公共点;当 m<2 时,直线 y=m 与函数 y=H(x ﹣1)+2 图象没有公共点.由此则不难得出方程根的个数了. 解答: 解: (1)H(x)的定义域为{x|x>﹣2}
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www.jyeoo.com y=H(x﹣1)+2= 图象如下:

(2)在同一坐标系里作出直线 y=m,观察它与函数 y=H(x)图象的交点的个数,可得 ① 当 m=2 或 m≥10 时, 直线 y=m 与函数 y=H(x﹣1)+2 图象有且仅有一个公共点; ② 当 2<m<10 时,直线 y=m 与函数 y=H(x﹣1)+2 图象有两个公共点;③ 当 m<2 时,直线 y=m 与函数 y=H(x﹣1)+2 图象没有一个公 共点 由此可得:当 m∈ {2}∪ [10,+∞)时,方程 H(x﹣1)+2=m 有且仅有一个实数根; 当 m∈ [2,10)时,方程 H(x﹣1)+2=m 有且仅有两个实数根; 当 m∈ (﹣∞,2)时,方程 H(x﹣1)+2=m 有 0 个实数根. 点评: 本题考查了函数的图象与根的分布等等知识点,属于中档题.利用图象观察,得到方程根的个数,是数学常用 的思想方法,也是这类问题的常用解法. 21. (12 分)已知函数 f(x)=3x +(p+2)x+3,p 为实数. (1)若函数是偶函数,试求函数 f(x)在区间[﹣1,3]上的值域; (2)已知 α:函数 f(x)在区间 上是增函数,β:方程 f(x)=p 有小于﹣2 的实根.试问:α 是 β 的什
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么条件(指出充分性和必要性)?请说明理由. 考点: 函数奇偶性的判断;函数的值域;函数单调性的性质。 专题: 计算题。 分析: (1)根据函数 y=f(x)是偶函数则 f(﹣x)=f(x)恒成立,可求出 p 的值,根据二次函数的性质可求出函数 的值域; (2)先分别求出 α 与 β 中 p 的范围,然后根据充要条件的判定方法进行判定即可. 解答: 解: (1)由函数 y=f(x)是偶函数,得:
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f(﹣x)=3x +(p+2) (﹣x)+3=3x +(p+2)x+3=f(x)恒成立 ∴ p+2=0 即 p=﹣2 (2 分) ; 2 f(x)=3x +3 在 x=0 处取最小值 3,在 x=3 处取最大值 30 ∴ 函数 f(x)在区间[﹣1,3]上的值域为[3,30]. (2 分) (2)∵ 函数 f(x)在区间 ∴ 即 p≥1 上是增函数

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∴ α:p≥1; (2 分) ; 方程 f(x)=p 有小于﹣2 的实根则△ ≥0,较小的根小于小于﹣2,则 β: 所以:α 是 β 的必要非充分条件(2 分)
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