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数学-高中2年级-教案-2.3.2空间两点间的距离教案 苏教版必修2



2.3.2
教学目标:

空间两点间的距离

1.掌握空间两点间的距离公式及中点坐标公式; 2.理解推导公式的方法; 3.通过空间两点间距离公式的推导,使学生经历从易到难,从特殊到一般的认识过程.

教材分析及教材内容的定位: 本节是在学习了空间直角坐标系的基础上来研究空间两点间的距离问题, 是空间直角坐 标系的加深与拓宽,进一步让学生体会用坐标法来解决问题的思想.

教学重点: 空间两点间的距离公式. 教学难点: 空间两点间的距离公式的 推导.

教学方法: 启发、点拨式教学法.

教学过程: 一、问题情境 1.情境:一间房子长 5 米,宽 3 米,高 3 米,一根长 7 米的木棒能放进去吗? 2.问题: (1)平面直角坐标系中的许多公式能推广到空间直接坐标系中去吗? (2)你能根据平面直角坐标系中两点之间距离公式: |AB|= ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ,猜想空间直角坐标系两点之间的距离公式吗? 二、学生活动 1.思考教师提出的问题; 2.在教师的指导下动手推导得出|OP|= x2 ? y 2 ? z 2 ; 3.动手做例题、习题;
1

4.总结解题方法;归纳本节课所学内容. 三、建构数学 1.空间中任间一点 P(x,y,z)到原点之间的距离公式会是怎样呢?

z P(x,y,z) o B(x,y,0) x y

引导学生用勾股定理来完成.
2 2 2 学生:在教师的指导下作答得出|OP|= x ? y ? z .

2.如果是空间中任间一点 P1(x1,y1,z1)到点 P2(x2,y2,z2)之间的距离公式是怎样呢? 3 . 空 间 中 任 意 两 点 A(x1 , y1 , z1) , B(x2 , y2 , z2) 之 间 的 距 离 的 公 式 |P1P2|= ( x2 ? x1 )2 ? ( y 2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 ) 2 z
P2 P1 M2 M1 M N

y

x 四、数学运用 1.例题. (1)求空间两点 P 1 (3, ?2,5), P 2 (6,0, ?1) 间的距离 PP 1 2. 解 利用两点间距离公式,得

(6 ? 3) 2 ? [0 ? (?2)]2 ? (?1 ? 5) 2 ? 9 ? 4 ? 36 ? 7 . PP 1 2=
(2)平面上到坐标原点的距离为 1 的点的轨迹是单位圆,其方程为 x ? y ? 1.在空
2 2

间中,到坐标原点的距离为 1 的点的轨迹是什么?试写出它的方程.

2



与坐标原点的距离为 1 的点 P( x, y, z ) 的轨迹是一个球面,满足 OP ? 1 ,即

x 2 ? y 2 ? z 2 ?1 .因此 x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ,就是所求的球面方程.
(3)已知三点 A(1,3, 2) 、 B(?2, 0, 4) 、 C (?8, ?6,8) ,证明: A, B, C 三点在同一直线 上. 分析:只要证明 AB ? BC ? AC 即可. 2.练习. (1)先在空间直角坐标系中标出 A,B 两点,再求它们之间的距离: ①A(2,3,5),B(3,1,4); ②A(6,0,1),B(3,5,7) (2)在 z 轴上求一点 M,使点 M 到点 A(1,0,2)与点 B(1,- 3,1)的距离相等. (3)求证:以 A(10,-1,6),B(4,1,9),C(2,4,3)三点为顶点的三角形是等腰 三角形. (4)如图,正方体 OABD–D?A′B′C′的棱长为 a,|AN|=2|CN|,|BM|=2|MC′|.求

MN 的长.
D' A'

z C' B' O M B N C y

A 五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容: 1.空间两点间距离公式的推导、应用; x

2.进一步学会用类比、猜想、从特殊到一般的思想解决问题.

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