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考点三 圆锥曲线的综合应用



考点三 圆锥曲线的综合应用 1、 (2013 新课标 I 20) 已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB| 解:由已知得圆 M 的圆心为

M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3. 设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以 |PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M, N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3的椭圆(左顶点除 x2 y2 外),其方程为 + =1(x≠-2). 4 3 (2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以 R≤2, 当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若 l 的倾斜角为 90° ,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|=2 3. 若 l 的倾斜角不为 90° ,由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q, |QP| R |3k| 2 则 = ,可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4).由 l 与圆 M 相切得 2=1,解得 k=± 4 . |QM| r1 1+k 当 k= 2 2 x2 y2 时,将 y= x+ 2代入 + =1, 4 4 4 3 2 .

-4± 6 并整理得 7x2+8x-8=0.解得 x1,2= 7 所以|AB|= 1+k2|x2-x1|= 当 k=- 18 . 7

2 18 时,由图形的对称性可知|AB|= . 4 7 18 3或|AB|= . 7

综上,|AB|=2

2、 (13 新课标 II 20)平面直角坐标系 xoy 中,过椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右焦点的直线 a2 b2

x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A , B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为
(1)求 M 的方程;

1 . 2

(2) C , D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 对角线 CD ? AB ,求四边形 ACBD 面积的最大值.

(, x yB ) ,( xy ,2 ) , P ( xy ,0 ) , 解析: (1)设 A 将 A、B 代入得到 1 1 2 0
? ? ? ? ? ? ? x12 y12 ? ? 1 (1 ) a2 b2 x22 y22 ? 2 ? 1(2 ) a2 b

,则(1)-(2)得到

y2 ? y1 b2 x ?? 2 ? 0 , x1 ? x2 a y0

由直线 AB: x ? y ? 3 ? 0的斜率 k=-1

第 1 页 共 1 页

所以 ?

x b 2 x0 1 ? ? ? 1 ,OP 的斜率为 0 ? ,所以 a2 ? 2b2 2 y0 2 a y0
由 a ?b ?c 得到 a ? 6,b ?3
2 2 2

2

2

所以 M 得标准方程为

x2 y2 ? ?1 6 3

1 S ? CD ? AB D ?A B,由面积公式 2 (2)若四边形 ACBD 的对角线 C 可知,当 CD 最长时四边形 ACBD
x2 y2 ? ?1 3 面积最大, 由直线 AB:x ? y ? 3 ? 0的斜率 k=-1, 设 CD 直线方程为 y ? x ? m ,与椭圆方程 6
联立得:

3x 2 ? 4mx ? 2m2 ? 6 ? 0 , x1 ? x2 ? ?

4m 2m 2 ? 6 , x1 ? x2 ? 3 3
2? 72 ? 8m 2 ,当 m=0 时 CD 最大值为 4, 9

则 CD ? 1 ? k 2 ( x ? x ) 2 ? 4 x ? x ? CD 1 2 1 2

x2 y2 ? ?1 2 3 联立直线 AB: x ? y ? 3 ? 0与椭圆方程 6 得 3x ? 4 3 x ? 0
同理利用弦长公式 AB ? 1 ? k AB
2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ?

4 6 3

S ACBD max ?

1 8 6 CD max ? AB ? 2 3

3、( 2013 辽宁 20)如图,抛物线 C1 : x ? 4 y, C2 : x ? ?2 py ? p ? 0 ? ,点 M ? x0 , y0 ? 在抛物线 C2 上,过
2 2

1 M 作 C1 的切线,切点为 A, B ( M 为原点 O 时, A, B 重 合于 O ) x0 ? 1 ? 2 ,切线 MA. 的斜率为 - 。 2
(1)求 p 的值; (2)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程。

? A, B重合于O时,中点为O ? .

第 2 页 共 2 页

解:(1)因为抛物线 C1:x =4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为 y ' =

2

x 1 ,且切线 MA 的斜率为 ? ,所以 A 2 2

1? 1 1 ? ? ,故切线 MA 的方程为 y ? ? ( x ? 1) ? . 4? 2 4 ? 因为点 M( 1 ? 2 ,y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上, 1 1 3? 2 2 于是 y0 ? ? (2 ? 2) ? ? ? ,① 2 4 4 (1 ? 2) 2 3?2 2 y0 ? ? ?? .② 2p 2p
点坐标为 ? ?1, 由①②得 p=2.

? x12 ? ? x2 2 ? x1 ? x2 (2)设 N(x,y),A ? x1 , ,③ ? ,B ? x2 , ? ,x1≠x2,由 N 为线段 AB 中点知 x= x ? 4 ? 4 ? 2 ? ? x 2 ? x2 2 y? 1 .④ 8
切线 MA,MB 的方程为

y?

x1 x2 ( x ? x1 ) ? 1 ,⑤ 2 4 x x2 y ? 2 ( x ? x2 ) ? 2 .⑥ 2 4

由⑤⑥得 MA,MB 的交点 M(x0,y0)的坐标为

x0 ?

x1 ? x2 xx , y0 ? 1 2 . 2 4
2

因为点 M(x0,y0)在 C2 上,即 x0 =-4y0, 所以 x1 x2 ? ? 由③④⑦得

x12 ? x2 2 .⑦ 6

x2 ?

4 y ,x≠0. 3
2

当 x1=x2 时,A,B 重合于原点 O,AB 中点 N 为 O,坐标满足 x ? 因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 x ?
2

4 y. 3

4 y. 3

4、(2012· 课标全国卷 20)设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆 心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (1)若∠BFD=90° ,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 ABF 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点到 m,n 距离的比值. 20.解:(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆 F 的半径|FA|= 2p. 由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d=|FA|= 2p. 1 1 因为△ABD 的面积为 4 2,所以 |BD|· d=4 2,即 · 2p· 2p=4 2, 2 2 解得 p=-2(舍去),p=2.
第 3 页 共 3 页

所以 F(0,1),圆 F 的方程为 x2+(y-1)2=8. (2)因为 A,B,F 三点在同一直线 m 上,所以 AB 为圆 F 的直径,∠ADB=90° . 由抛物线定义知 1 |AD|=|FA|= |AB|, 2 所以∠ABD=30° ,m 的斜率为 当 m 的斜率为 3 3 或- . 3 3

3 3 2 3 时,由已知可设 n:y= x+b,代入 x2=2py 得 x2- px-2pb=0. 3 3 3

4 p 由于 n 与 C 只有一个公共点,故 Δ= p2+8pb=0.解得 b=- . 3 6 p |b1| 因为 m 的截距 b1= , =3, 2 |b| 所以坐标原点到 m,n 距离的比值为 3. 当 m 的斜率为- 3 时,由图形对称性可知,坐标原点到 m,n 距离的比值为 3. 3

x2 y2 5、 (2012· 辽宁卷 20) 如图 1-7,椭圆 C0: 2+ 2=1(a>b>0,a,b 为常数),动圆 C1:x2+y2=t2 1,b a b <t1<a.点 A1,A2 分别为 C0 的左,右顶点.C1 与 C0 相交于 A,B,C,D 四点.

图 1-7 (1)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程; (2)设动圆 C2:x2+y2=t2 2与 C0 相交于 A′,B′,C′,D′四点,其中 b<
2 t2<a,t1≠t2.若矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′的面积相等.证明:t2 1+t2为定值.

解:(1)设 A(x1,y1),B(x1,-y1),又知 A1(-a,0),A2(a,0),则 y1 直线 A1A 的方程为 y= (x+a),① x1+a -y1 直线 A2B 的方程为 y= (x-a),② x1-a -y2 1 由①②得 y2= 2 (x2-a2).③ x1-a2
2 x2 y1 1 由点 A(x1,y1)在椭圆 C0 上,故 2+ 2=1. a b 2 x1 2? ? 1 - 从而 y2 = b 1 ? a2?,代入③得

x2 y2 - =1(x<-a,y<0). a2 b2 (2)证明:
第 4 页 共 4 页

设 A′(x2,y2),由矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′的面积相等,得 4|x1||y1|=4|x2||y2|,
2 2 2 故 x2 1y1=x2y2.

因为点 A,A′均在椭圆上,所以
2 x2 x2 1? 2 2? ? ? 1 - 1 - 2 b2x2 = b x 1 2 ? a? ? a2?, 2 2 由 t1≠t2,知 x1≠x2,所以 x1 +x2 2=a . 2 2 从而 y2 1+y2=b , 2 2 2 因此 t2 1+t2=a +b 为定值.

6、 (2011 新课标 20)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A (0, -1) , B 点在直线 y ? ?3 上, M 点满足 MB / /OA ,

????

??? ?

MA? AB ? MB? BA ,M 点的轨迹为曲线 C.
(I)求 C 的方程; (II)P 为 C 上动点, l 为 C 在点 P 处的切线,求 O 点到 l 距离的最小值. 解: 解:(Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA =(-x,-1-y) , MB =(0,-3-y), AB =(x,-2). 再由题意可知( MA + MB )? AB =0, 即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.
? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

1 2 x -2. 4 1 2 1 1 ' (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= x -2 上一点,因为 y = x,所以 l 的斜率为 x 0 4 2 2 1 2 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x0 ? 0 . 2
所以曲线 C 的方程式为 y= 则 O 点到 l 的距离 d ?
2 | 2 y0 ? x0 | 2 x0 ?4

.又 y0 ?

1 2 x0 ? 2 ,所以 4

1 2 x0 ? 4 1 4 2 d?2 ? ( x0 ?4? ) ? 2, 2 2 x0 ?4 2 x0 ?4
当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2. 7、 (2011 辽宁 20)如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2 的短 轴为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e,直线 l⊥MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点,这四点按纵坐标从 大到小依次为 A,B,C,D. (I)设 e ?
2

1 ,求 BC 与 AD 的比值; 2

(II)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并说明理由. 解: (I)因为 C1,C2 的离心率相同,故依题意可设
第 5 页 共 5 页

x2 y 2 b2 y 2 x 2 C1 : 2 ? 2 ? 1, C2 : 4 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) a b a a
设直线 l : x ? t

(| t |? a) ,分别与 C1,C2 的方程联立,求得
………………4 分

A(t ,

a 2 2 b 2 2 a ? t ), B(t , a ? t ). b a

当e ?

1 3 时, b ? a, 分别用y A , yB 表示 A,B 的纵坐标,可知 2 2
2 | yB | b 2 3 ? ? . 2 | yA | a2 4
………………6 分 斜率

| BC |:| AD |?

(II)t=0 时的 l 不符合题意. t ? 0 时,BO//AN 当且仅当 BO 的 kBO 与 AN 的斜率 kAN 相等,即

b 2 2 a 2 2 a ?t a ?t a b ? , t t ?a
解得 t ? ?

ab 2 1 ? e2 ? ? ? a. a 2 ? b2 e2

1 ? e2 2 因为 | t |? a, 又0 ? e ? 1, 所以 2 ? 1, 解得 ? e ? 1. 2 e
所以当 0 ? e ?

2 时,不存在直线 l,使得 BO//AN; 2



2 ? e ? 1 时,存在直线 l ,使得 BO//AN. 2

8、 (2010 新课标 20)设 F1 , F2 分别是椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 斜率为 1 的直 a 2 b2

线 i 与 E 相交于 A, B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 (1)求 E 的离心率; (2) 设点 p(0, ?1) 满足 PA ? PB ,求 E 的方程 解: (I)由椭圆定义知 AF2 ? BF2 ? AB ? 4a ,又 2 AB ? AF2 ? BF2 , 得 AB ?

4 a 3

l 的方程为 y ? x ? c ,其中 c ? a 2 ? b 2 。
第 6 页 共 6 页

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 A、B 两点坐标满足方程组

?y ? x ? c ? 2 ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
化简的 a ? b
2

?

2

?x

2

? 2a 2 cx ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? ? 0

a 2 ? c2 ? b2 ? ?2a 2 c , x1 x2 ? 则 x1 ? x2 ? 2 a ? b2 a 2 ? b2
因为直线 AB 斜率为 1,所以 AB ?
2 2 x2 ? x1 ? 2 ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ?



4 4ab 2 a? 2 , 故 a 2 ? 2b2 2 3 a ?b
c a 2 ? b2 2 ? ? a a 2

所以 E 的离心率 e ?

(II)设 AB 的中点为 N ? x0 , y0 ? ,由(I)知

x1 ? x2 ?a 2c 2 c x0 ? ? 2 ? ? c , y0 ? x0 ? c ? 。 2 2 a ?b 3 3
由 PA ? PB ,得 k PN ? ?1 , 即

y0 ? 1 ? ?1 x0

得 c ? 3 ,从而 a ? 3 2, b ? 3

x2 y2 ? ? 1。 故椭圆 E 的方程为 18 9
9、 (2010 辽宁 20)设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A, a 2 b2

B 两点,直线 l 的倾斜角为 60o, AF ? 2 FB . (I) (II) 求椭圆 C 的离心率; 如果|AB|=

??? ?

??? ?

15 ,求椭圆 C 的方程. 4

第 7 页 共 7 页

10、 (2009 宁夏 20)已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 s 轴上,它的一个顶点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 并说明轨迹是什么曲线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c ,由已知得

OP OM

=λ ,求点 M 的轨迹方程,

?a ? c ? 1 , 解得a ? 4, c ? 3 ,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ? ?a ? c ? 7
所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 16 7

(Ⅱ)设 M ( x, y ) ,其中 x ? ? ?4, 4 ? 。由已知

OP OM

2 2

? ? 2 及点 P 在椭圆 C 上可得

9 x 2 ? 112 ? ?2 。 2 2 16( x ? y )
整理得 (16? ? 9) x ? 16? y ? 112 ,其中 x ? ? ?4, 4 ? 。
2 2 2 2

第 8 页 共 8 页

(i) ? ?

3 2 时。化简得 9 y ? 112 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4
4 7 (?4 ? x ? 4) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段。 3

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

(ii) ? ?

3 时,方程变形为 4

x2 y2 ? ? 1 ,其中 x ? ? ?4, 4 ? 112 112 16? 2 ? 9 16? 2

当0 ? ? ? 当

3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ?4 ? x ? 4 的部分。 4

3 ? ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ?4 ? x ? 4 的部分; 4 当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆;
11、(2009 辽宁 20)已知,椭圆 C 过点 A (1, ) ,两个焦点为(-1,0) , (1,0) 。 (1) 求椭圆 C 的方程;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率 为定值,并求出这个定值。 解: (1)由题意,c=1,可设椭圆方程为

3 2

1 9 3 ? 2 ? 1 ,解得 b2 ? 3 , b 2 ? ? (舍去) 2 4 1? b 4b
……………4 分

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 3 x2 y 2 3 ? ? 1得 ,代入 4 3 2

(2)设直线 AE 方程为: y ? k ( x ? 1) ?

3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2 3 设 E (x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1, ) 在椭圆上,所以 2 3 4( ? k ) 2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 2

………8 分

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代 K,可得

3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? ?kxE ? ? k 2
所以直线 EF 的斜率 K EF ?

y F ? y E ? k ( xF ? xE ) ? 2 k 1 ? ? xF ? xE xF ? xE 2
第 9 页 共 9 页

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

1 。 2

……12

第 10 页 共 10 页



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