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高中数学--离散型随机变量的均值与方差、正态分布



高中数学--离散型随机变量的均值与方差、正态分布
1.已知随机变量 X 服从二项分布,且 E(X)=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数 n,p 的值为( A.n=4,p=0.6 C.n=8,p=0.3 【解析】 由题意得? 【答案】 B 2.设两个正态分布 N(μ1,σ2)(σ1>0)和 N(μ2,σ2)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有( 1 2 )<

br />? ?np=2.4,

)

B.n=6,p=0.4 D.n=24,p=0.1
? ?n=6, 解得? ?np?1-p?=1.44, ?p=0.4. ? ?

A.μ1<μ2,σ1<σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2
2

B.μ1<μ2,σ1>σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2

【解析】 根据正态分布 N(μ,σ )函数的性质:正态分布曲线是一条关于直线 x=μ 对称,在 x=μ 处取得最 大值的连续钟形曲线;σ 越大,曲线的最高点越低且较平缓;反过来,σ 越小,曲线的最高点越高且较陡峭,故 选 A. 【答案】 A 3.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c(a、b、c∈(0,1)),已 2 1 知他投篮一次得分的均值为 2,则 + 的最小值为( a 3b 32 A. 3 14 C. 3 【解析】 由已知得,3a+2b+0×c=2, 2 即 3a+2b=2,其中 0<a< ,0<b<1. 3 2 1 3a+2b?2 1 ? + 又 + = a 3b 2 ?a 3b? 1 2b a 10 =3+ + + ≥ +2 3 a 2b 3 2b a 16 · = , a 2b 3 28 B. 3 16 D. 3 )

2b a 1 1 2 1 16 当且仅当 = ,即 a=2b 时取“等号”,又 3a+2b=2,即当 a= ,b= 时, + 的最小值为 ,故选 a 2b 2 4 a 3b 3 D. 【答案】 D 4.马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布列如下表: ξ P

1 ?

2 !

3 ?

请小牛同学计算 ξ 的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个 “?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 E(ξ)=__________. 【解析】 令“?”为 a,“!”为 b,则 2a+b=1.又 E(ξ)=a+2b+3a=2(2a+b)=2. 【答案】 2 5.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中 以 X 表示.

(1)如果 X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数 Y 的分布列和数学期望. 1 (注:方差 s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2],其中 x 为 x1,x2,?,xn 的平均数) n 【解】 (1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 8+8+9+10 35 所以平均数为:x= = ; 4 4 1 35 35 35 35 11 方差为:s2= ×[(8- )2+(8- )2+(9- )2+(10- )2]= . 4 4 4 4 4 16 (2)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵数是:9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是 9,8,9,10.分别从 甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4×4=16 种可能的结果,这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20,21.事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵,乙组选出的同学植树 8 棵”,所以该事件有 2 种可能的结果,因此 2 1 1 1 1 1 P(Y=17)= = .同理可得 P(Y=18)= ;P(Y=19)= ;P(Y=20)= ;P(Y=21)= .所以随机变量 Y 的分布 16 8 4 4 4 8 列为: Y P 17 1 8 18 1 4 19 1 4 20 1 4 21 1 8

1 1 1 EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21)=17× +18× +19× 8 4 4 1 1 +20× +21× =19. 4 8

课时作业 【考点排查表】

难度及题号

错题记录

考查考点及角度 正态分布 离散型随机变量的均值 离散型随机变量的方差 一、选择题

基础 2 1 3

中档 5 6,7,12 4,10,11

稍难 8 9,13,

1.(2010· 全国新课标高考)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每 粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( A.100 C.300 B.200 D.400 )

【解析】 1 000 粒种子每粒不发芽的概率为 0.1, ∴不发芽的种子数 X~B(1 000,0.1), ∴1 000 粒种子中不发芽的种子数为 1 000×0.1=100 粒, 又每粒不发芽需补种 2 粒; ∴需补种的数 X=2×100=200. 【答案】 B 2.(2010· 广东高考)已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1),且 P(2≤X≤4)=0.682 6,则 P(X>4)=( A.0.158 8 C.0.158 6 B.0.158 7 D.0.158 5 )

【解析】 由正态曲线性质知,其图象关于 x=3 对称, 1 ∴P(x>4)=0.5- P(2≤x≤4) 2 1 =0.5- ×0.682 6=0.158 7.故选 B. 2 【答案】 B 2 1 4 2 3.若 X 是离散型随机变量,P(X=x1)= ,P(X=x2)= ,且 x1<x2,又已知 E(X)= ,D(X)= ,则 x1+x2 3 3 3 9 的值为( 5 A. 3 C.3 2 1 4 【解析】 由 E(X)= x1+ x2= 得 3 3 3 2x1+x2=4① 4 2 4 1 2 又 D(X)=(x1- )2·+(x2- )2·= 得 3 3 3 3 9
2 18x1+9x2-48x1-24x2+29=0② 2

) 7 B. 3 11 D. 3

由①②,且 x1<x2 得 x1=1,x2=2,∴x1+x2=3. 【答案】 C 4.已知随机变量 X+η=8,若 X~B(10,0.6),则 E(η),D(η)分别是( A.6 和 2.4 B.2 和 2.4 )

C.2 和 5.6

D.6 和 5.6

【解析】 若两个随机变量 η,X 满足一次关系式 η=aX+b(a,b 为常数),当已知 E(X)、D(X)时,则有 E(η) =aE(X)+b,D(η)=a2D(X).由已知随机变量 X+η=8,所以有 η=8-X.因此,求得 E(η)=8-E(X)=8-10×0.6 =2, D(η)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4. 【答案】 B 1 5.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ,σ2),函数 f(x)=x2+4x+ξ 没有零点的概率是 ,则 μ 等于( 2 A.1 C.2 B.4 D.不能确定 )

【解析】 根据题意,函数 f(x)=x2+4x+ξ 没有零点时,Δ=16-4ξ<0,即 ξ>4,根据正态密度曲线的对 1 称性,当函数 f(x)=x2+4x+ξ 没有零点的概率是 时,μ=4. 2 【答案】 B 6.利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是( )

A.A1 C.A3

B.A2 D.A4

【解析】 利用方案 A1、A2、A3、A4 盈利的期望分别是: 50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7; 70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5; (-20)×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7; 98×0.25+82×0.30+(-10)×0.45=44.6. 【答案】 C 二、填空题 7.已知随机变量 X 的分布列为 X P -1 1 2 0 1 6 1 1 3

那么 X 的数学期望 E(X)=______,设 Y=2X+1,则 Y 的数学期望 E(Y)=________. 【解析】 由离散型随机变量的期望公式及性质可得, 1 1 1 1 E(X)=(-1)× +0× +1× =- , 2 6 3 6

1 2 E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=2×(- )+1= . 6 3 1 【答案】 - 6 2 3

8.在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0),若 ξ 在(0,1)内取值的概率为 0.4,则 ξ 在(0,2) 内取值的概率为________. 【解析】 在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0),正态分布图象的对称轴为 x=1,ξ 在 (0,1)内取值的概率为 0.4,可知,随机变量 ξ 在(1,2)内取值的概率与 ξ 在(0,1)内取值的概率相同,也为 0.4,这样 随机变量 ξ 在(0,2)内取值的概率为 0.8. 【答案】 0.8 9. 有一批产品, 其中有 12 件正品和 4 件次品, 从中任取 3 件, ξ 表示取到次品的个数, E(ξ)=__________. 若 则 【解析】 ξ 的取值为 0,1,2,3,则 C3 11 C2 C1 33 12 12 4 P(ξ=0)= 3 = ;P(ξ=1)= 3 = ; C16 28 C16 70 C1 C2 9 C3 1 12 4 4 P(ξ=2)= 3 = ;P(ξ=3)= 3 = . C16 70 C16 140 11 33 9 1 3 ∴E(ξ)=0× +1× +2× +3× = . 28 70 70 140 4 【答案】 3 4

三、解答题 1 10.一名学生在军训中练习射击项目,他们命中目标的概率是 ,共射击 6 次. 3 (1)求在第三次射击中首次命中目标的概率; (2)求他在射击过程中命中目标数 ξ 的期望与方差. 【解】 生的概率. 1 2 又∵P= , P = , 3 3 2 2 1 4 ∴P3= × × = . 3 3 3 27 (2)他在每次射击中是否命中目标是相互独立的,所以是进行了 6 次独立重复试验, 1 即随机变量 ξ 服从二项分布 ξ~B(6, ). 3 由服从二项分布的期望与方差的计算公式知 1 Eξ=np=6× =2, 3 1 2 4 Dξ=np(1-p)=6× × = . 3 3 3 11.(2012· 北京高考)近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其 他垃圾三类,并分别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中 总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): “厨余垃 “可 “其 (1)第三次射击中首次命中的意思是第一、二次都未命中而第三次命中,这是相互独立事件同时发

圾”箱

回收 物” 箱

他垃 圾” 箱 100 30 60

厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误额概率;

400 30 20

100 240 20

(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 a,b,c 其中 a>0, a+b+c=600.当数据 a,b,c 的方差 s2 最大时,写出 a,b,c 的值(结论不要求证明),并求此时 s2 的值. 1 (注:s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2], n 其中 x 为数据 x1,x2,?,xn 的平均数) “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 400 2 【解】 (1)厨余垃圾投放正确的概率约为 = = . 厨余垃圾 400+100+100 3 (2)设生活垃圾投放错误为事件 A,则事件 A 表示生活垃圾投放正确. 事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他 垃圾量的总和除以生活垃圾总量, 400+240+60 即 P( A )约为 =0.7, 1000 所以 P(A)约为 1-0.7=0.3. (3)当 a=600,b=c=0,s2 取得最大值. - 1 因为 x = (a+b+c)=200, 3 1 所以 s2= [(600-200)2+(0-200)2+(0-200)2] 3 =80000. 12.(2012· 江西高考)如图,从 A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这 6 个点中随机 选取 3 个点,将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量 V(如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积 V=0).

(1)求 V=0 的概率; (2)求 V 的分布列及数学期望. 【解】 (1)从 6 个点中随机地选取 3 个点共有 C3=20 种选法,选取的 3 个点与原点 O 在同一个平面上的选 6 12 3 法有 C1C3=12 种,因此 V=0 的概率 P(V=0)= = 3 4 20 5

1 1 2 4 (2)V 的所有可能值为 0, , , , ,因此 V 的分布列为 6 3 3 3 V P 由 V 的分布列可得: 3 1 1 1 3 2 3 4 1 9 EV=0× + × + × + × + × = . 5 6 20 3 20 3 20 3 20 40 四、选做题 13.某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,?,8,其中 X≥5 为标准 A,X≥3 为标 准 B.已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元/件;乙厂执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. (1)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示: X1 P 且 X1 的数学期望 E(X1)=6,求 a,b 的值; (2)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组成一个样本,数 据如下: 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 5 0.4 6 a 7 b 8 0.1 0 3 5 1 6 1 20 1 3 3 20 2 3 3 20 4 3 1 20

6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的数学期望; (3)在(1)、(2)的条件下,若以”性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由. 注:(1)产品的“性价比”= 产品的等级系数的数学期望 ; 产品的零售价

(2)“性价比”大的产品更具可购买性. 【解】 (1)因为 E(X1)=6, 所以 5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,即 6a+7b=3.2. 又由 X1 的概率分布列得 0.4+a+b+0.1=1,即 a+b=0.5.
?6a+7b=3.2, ?a=0.3, ? ? 由? 解得? ? ? ?a+b=0.5, ?b=0.2.

(2)由已知得,样本的频率分布表如下: X2 f 3 0.3 4 0.2 5 0.2 6 0.1 7 0.1 8 0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X2 的概率分布列如下: X2 P 所以 E(X2)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. 3 0.3 4 0.2 5 0.2 6 0.1 7 0.1 8 0.1

(3)乙厂的产品更具可购买性.理由如下: 6 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6,价格为 6 元/件,所以其性价比为 =1. 6 因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8,价格为 4 元/件,所以其性价比为 据此,乙厂的产品更具可购买性. 4.8 =1.2. 4



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