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高中数学奥赛练习1



高中数学奥赛练习?1?
1. A.? 2. 已知?a,?b 是方程?log 3 x? 3 + log 27?(3 x)?= -

10 27?

B.?

4? 81?

4? 的两个根,则 a + b = 3? 10 28 C.? D.? 81? 81?



)?

设 D 为△?ABC?的边?AB?上一点, P?为△?ABC?内一点,且满足?AD =

uuur

uuu uuur 2?uuu r r S? AP = AD + BC ,则? △APD? = (? ? ? ? ? )? 5? S△?ABC? 3? 2? 7? 8? A.? B.? C.? D.? 10? 5? 15? 15? 3. 定义在 R? 上的函数? f ( x? 既是奇函数又是周期函数,若? f ( x? 的最小正周期是 p , )? )? p 8? 且当 x∈[0,? )时,? f ( x) = sin?x ,则? f ( p )?的值为? (? ? ? ? ? )? 2 3? 3? 3? 1? 1? A.? B.? -? C.? D.? 2? 2 2? 2 4. 已知?ABCD - A1 B1C1 D1? 是一个棱长为?1 的正方体,? 1?是底面?A1 B1C1 D? 的中心,M? O? 1?
是棱?BB? 上的点,且?S △DBM : S△O1B1M = 2 : 3?,则四面体?O1?ADM? 的体积为? 1? A.? (? ? ? ? ? )?

r? 3?uuu AB ,? 4?

7? 24?

B.?

3? 16?

C.?

7? 48?

D.?

11 48?

5. 有编号分别为 1,2,3,4,5?的?5?个红球和?5?个黑球,从中取出?4?个,则取出的球 的编号互不相同的概率为 ( )?

5? 2? 1? .? B.? .? C.? 21? 7? 3? n 6. 使得 3 + 81? 是完全平方数的正整数 n 有
A.? A.? ? 0?个? B.? ? 1?个? C.? ? 2?个?
2?

D.?

8? 21?
( )?

D.?3?个

7. 设 [ x? 表示不大于 x 的最大整数, ]? 集合?A = {x | x - 2[ x] = 3}?,? = { x | B 则?A I?B = _________________.?

1? x? < 2 < 8}?, 8?

2 2? , an +1 - an = (an +1? + an?)?,则?a2007? = _______.? 3 3? 9. 设复数?z1 = (2 - a) + (1 - b) i , z 2 = (3 + 2a ) + (2 + 3b) i , z3? = (3 - a ) + (3 - 2b) i ,?其
8. 若数列 {a? }?满足:?a1 = n? 中?a,?b ? R ,当? z1 + z2 + z3? 取得最小值时, 3a + 4? =?__________.? b 10. 设?x ? (0,

p

225 2? ) ,则函数?y?= + 的最小值为__________.? 2? 2? 4 sin x cos?x

11. 对于函数? f ( x )?= ax 2? + bx ,存在一个正数 b?,使得? f ( x? 的定义域和值域相同, )? 则非零实数 a 的值为__________. 12. 已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,点?P ( -2, 0)?到其渐近线的距离为?

2 6 2? .若过 P?点作斜率为? 的直线交双曲线于?A,?B 两点,交?y?轴于 M? 点,且 PM? 是 PA? 3? 2? 与 PB 的等比中项,则双曲线的半焦距为__________.

13. 过点?Q (-1, -1)?作已知直线?l : y =

2? x? 1? x + 1?的平行线,交双曲线? - y 2? = 1?于点? 4? 4?

M ,?N?.
(1)证明:点 Q 是线段 MN?的中点.? (2)分别过点?M ,?N?作双曲线的切线?l1 ,?l? ,证明:三条直线?l , l1 ,?l? 相交于同一点.? 2? 2? (3)设 P?为直线 l 上一动点,过点 P?作双曲线的切线?PA,?PB ,切点分别为?A,?B .证明: 点 Q 在直线?AB?上.?

14.已知正实数?a? b? c?满足?ab?+?bc?+ ca?= 1 ,证明:? ,? ,?

2? 3? 3? 14? + + ? .? 2? 2? 2? a? +?1? a? + 1? a? + 1?
2

1?

15.

已知数列 {a? }?满足递推关系式:?an +1? = n?

1? 2? an - an? + 2?,?n ? 1,?n ??N .? 2? 3 n? 2?

(1) a1? = 4?, 若? 证明: (ⅰ) n ? 2?时, an +1? ? 2? n? ; 当? 有? a (ⅱ) n ? 1? 有?an +1? ??( ) an? .? 当? 时,
n

(2)若?a1? = 1?,证明:当?n ? 5?时,有?

??a
k?=1?

1?
k?

< n?- 1?.?

16. 求所有的正整数 n ,使得?n + 36?是一个完全平方数,且除了?2?或?3?以外,n 没有其 他的质因数.



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