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辽宁省实验中学分校2013届高三10月月考数学(理)试题



一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知 U ? { 2 ,3 , 4 ,5 , 6 , 7 }, M ? {3 , 4 ,5 , 7 }, N ? { 2 , 4 ,5 , 6}, 则 A. M ? N ? { 4 , 6} B. M ? N ? U C.( C U N ) ? M ? U

( )

D.( C U M ) ? N ? N ( )

2. 已知 p : ? x | 2 x ? 3 ? 1? , q : ? x | x 2 ? x ? 6 ? 0 ? ,则 ? p 是 ? q 的 A.充分不必要 条件 C.充分必要条件 3.下列命题错误的是

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (



2 2 “ A.命题 若 x ? 3 x ? 2 ? 0, 则 x ? 1”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 3 x ? 2 ? 0 ”

B.若 p ? q 为假命题,则 p , q 均为假命题





2 2 C.对命题 P : 存在 x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p 为:任意 x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0

“ D. x ? 2” 是 “ x ? 3 x ? 2 ? 0”的充分不必要条件
2

4.当|x|≤1 时,函数 y=ax+2a+1 的值有正也有负,则实数 a 的取值范围是( 1 (A)a≥- 3 (B)a≤-1 1 (C)-1<a<- 3
1 5 ?



[来源:Z&xx&k.Com]

1 (D)-1≤a≤- 3 ( )

2 5.化简: (lo g 2 5) ? 4 lo g 2 5 ? 4 ? lo g 2

A. 2

B. 2 lo g 2 5

C.-2

D . ? 2 lo g 2 5

6.已知函数 f ( x ) ? ( x ? a )( x ? b ) (其中 a ? b )的图象如下面右图所示,则函数
g ( x ) ? a ? b 的图象是
x





7.若方程 f ( x ) ? 2 ? 0 在(-∞,0)内有解,则 y ? f ( x ) 的图象是
网][来源:学&科&网]





[来源:学科

1 x 8. 已知函数 f ( x ) 是定 义在 R 上的奇函数,当 x<0 时, f ( x ) =( ) ,那么 f 3

?1

? ? 9 ? 的值


为 (
学§科§网]

[来源:

A.2

B.-2

C.3

D.-3

9.已知 f ( x ) 是 R 上的偶函数,若 f ( x ) 的图象向右平移一个单位后,则得到一个奇函数的 图象,则 f (1) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? ? ? f ( 9 ) 的值为 A.1 B.0 C.-1 D. ?
9 2





10. 已知函数 f ? x ? ? lo g 2 x ,正实数 m,n 满足 m ? n ,且 f ? m ? ?
? m 2 , n ? 上的 最大值为 2,则 m、n 的值分别为 ? ?

f

? n ? ,若 f ? x ? 在区间


1 4



A.

1 2

,2

B.

1 4

,2

C.

2 2

,

2

D.

,4

11.定义域为 R 的函数 f ( x ) 对任意 x 都有 f ( x ) ? f (4 ? x ) ,且其导函数 f '( x ) 满足
( x ? 2) f '( x ) ? 0 ,则当 2 ? a ? 4 时,有

( B. f ( 2 ) ? f (lo g 2 a ) ? f ( 2 )
a



A. f ( 2 ) ? f ( 2 ) ? f (lo g 2 a )
a

C. f ( 2 ) ? f ( 2 ) ? f (lo g 2 a )
a

D. f (lo g 2 a ) ? f ( 2 a ) ? f ( 2 )

12. 在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“ ? ”如下: ?? ; 当 a ?b时 , a b a
b 当 a ?b时, a? ?b 。
2

) 则函数 f ( x ) ? (1 ? x ·x ? ( 2 ? x ) ln x ? x ? ?0 , 2 ?? 有





( ”和“-”仍为通常的乘法和减法) “· A. 最大值为 8 ? 2 ln 2 ,无最小值 B.最大值为 8 ? 2 ln 2 ,最小值为 1 C.无最大值 ,无最小值 D.无最大值 ,最小值为 1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 x? , R [x]表示不大于 x 的最大整数,如 [?] ?3, [ ? ] ? ?1 , [ ] ? 0 ,则使
2 2 1 1

[ 1 ? 成立的 x 的取值范围是_____________ x? ] 3

14.若幂函数 f ( x ) 的图象经过点 A ( 4, 2 ) ,则它在 A 点处的切线方程 为 15.函数 y= log 1 ( x ? 6 x ? 8 ) 的单调递增区间是
2 2

16.已知函数 f ( x ) ? ( ) ? log
x

1

3

2

x ,正实数 a 、 b 、 c 成公差为正数的等差数列,且满足

f ( a ) f ( b ) f ( c ) ? 0 ,若实数 d 是方程 f ( x ) ? 0 的一个解,那么下列四个判断:① d ? a ;

② d ? b ;③ d ? c ;④ d ? c 中,有可能成立的个数为 三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤。请将解答过程写在答题纸的相应位置。 ) 17. (本小题满分 10 分) 设命题 p : 函数 g ( x ) = ( a ? x ) 是 R 上的减函数, 命题 q : 函数 f ? x ? ? lg ? ax 2 ?
3
2

? x?

? a? 16 ? 1

的定义域为 R ,若“ p 且 q ”为假命题, p 或 q ”为真命题,求实数 a 的取值范围. “

18. (本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) ?
?2 ? n
x

2

x ?1

?m

是奇函数.

(1)求 m、n 的值并指出函数 y ? f ( x ) 在其定义域上的单调性(不要求证明) ; (2)解不等式 f ( x ? 2) ? f (2 x ? 1) ? 0 。

19.(本小题满分 12 分) 设 f ( x ) ? kx ?
k x ? 2 ln x .

(1)若 f ? ( 2 ) ? 0 ,求过点(2, f ( 2 ) )的直线方程; (2)若 f ( x ) 在其定义域内为单调增函数,求 k 的取值范围。
[来源:Zxxk.Com]

20. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) ? x 2 ? ax ? a ( a ? 2, x ? R ) , g ( x ) ? e ? x , ? ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) . (1)当 a ? 1 时,求 ? ( x ) 的单调区间; (2)求 g ( x ) 在点 (0,1) 处的切线与直线 x ? 1 及曲线 g ( x ) 所围成的封闭图形的面积; (3)是否存在实数 a ,使 ? ( x ) 的极大值为 3?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说 明理由.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?
a x ? b ? x ? 0 ? ,其中 a , b ? R , a ? 0

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2 )若对于任意的 a ? ? , 2 ? ,不等式 f ? x ? ? 10 在 ? ,1 ? 上恒成立,求 b 的取值. ?4 ? ?2 ?
?1 ? ?1 ?

22. (本小题满分 12 分) 设 f (x) ?
ln( 1 ? x ) x ( x ? 0)

(1)判断函数 f ( x ) 的单调性; (2)是否存在实数 a 、使得关于 x 的不等式 ln( 1 ? x ) ? ax 在(0, ? ? )上恒成立,若 存在,求出 a 的取值范围,若不存在,试说明理由; (3)求证: (1 ?
1 n )
n

? e, n ? N

?

(其中 e 为自然对数的底数).

辽宁省实验中学分校 2012-2013 学年度上学期阶段性测试 答案
一选择题

1-5. BABCC
二填空题

6-10

ADABA

11-12

BD

18. 解: (1)f(0)=0 得 n ? 1 ,所以 f ( x ) ?

? 2 ?1
x

2

x ?1

? m



由 f (1) ? ? f ( ? 1) ? m ? 2 ------------------4 分 由(1)知 f ( x ) ?
?2 ? 1
x x ?1

2

?2

? ?

1 2

?

1 2 ?1
x

由上式

知 f ( x ) 在(-∞ ,+∞)上为减函数---------------------------------6 分 ( 2 ) 又 因 f ( x ) 是 奇 函 数 , 从 而 不 等 式 f ( x? 2 )? f ( 2? 1 ) 价 于 x ?等 0 f ( x? 2 )? ? f ( 2 ? 1 ? f x ) ( ,因为 f ) x ) 是减函数 ?1 x 2 ( 得 x ? 2 ? 1 ? 2 x,即 x ? ?
1 3

,所以原不等式的解集是 ? x x ? ? ? .----12 分
? 3?

?

1?

(2)由 f ? ( x ) ? k ?

k x
2

?

2 x

?

kx

2

? 2x ? k x
2

,令 h ( x ) ? kx ? 2 x ? k , 要使 f ( x ) 在其定
2

义域(0,+ ? )上单调递增。

只需 h ( x ) 在 ( 0 , ?? )内满足 : h ( x ) ? 0 恒成立

由 h ( x ) ? 0 得 kx ? 2 x ? k ? 0即 k ?
2

2x x ?1
2

?

2 x? 1 x

在 x ? ( 0 , ?? ) 上恒成立

∵ x ? 0 ,∴ x ?

1 x

? 2 ,∴

2 x? 1 x

? 1 ,∴ k ? 1

综上 k 的取值范围为 k ? 1 . -----------12 分

(2)切线的斜率为 k ? g '(0) ? ? e ? x | x ? 0 ? ? 1 , ∴ 切线方程为 y ? ? x ? 1 . 所求封闭图形面积为
S ?

?

1

[e
0

?x

? ( ? x ? 1)] d x ?

?

1

(e
0

?x

? x ? 1) d x ? ( ? e

?x

?

1 2

x ? x ) |0 ?
2 1

1 2

?

1 e

.

???6 分

(3) ? '( x ) ? (2 x ? a ) e ? x ? e ? x ( x 2 ? ax ? a ) ? e ? x [ ? x 2 ? (2 ? a ) x ] , 令 ? '( x ) ? 0, 得 x ? 0 或 x ? 2 ? a . 列表如下: x
? '( x )
? ( x)
[来源:学&科& 网]

(-∞,0) - ↘

0 0 极小

(0, 2-a) + ↗

2-a 0 极大
[来源:学科网 ZXXK]

(2-a,+ ∞) - ↘

由表可知, ? ( x ) 极 大 ? ? (2 ? a ) ? (4 ? a ) e a ? 2 . ??????9 分 设 ? ( a ) ? (4 ? a ) e a ? 2 , ? '( a ) ? (3 ? a ) e a ? 2 ? 0 , ∴ ? ( a ) 在 ( ? ? , 2) 上是增函数,∴ ? ( a ) ? ? (2) ? 2 ? 3 ,即 (4 ? a ) e a ? 2 ? 3 , ∴不存在实数 a ,使 ? ( x ) 极大值为 3. 2 1.解:(1)
f '(x) ? 1 ? a x
2

???????12 分
f ' ( x ) >0(x≠0),这时

,当 a≤0 时,显然
f ' ( x ) =0,解得

f(x)在(-∞,0),(0,

+∞)内是增函数 ;当 a>0 时,令

x= ?

a



当 x 变化时, x

f '(x) , f (x)

的变化情况如下表:
a
[来源:Z&xx&k.Com]

(∞,a

)

(-

a

,0)

(0, -

a

)

a

(

a

,+∞) +

f '(x) f (x)

+

0 极大值

-

0 极小值

所以

f (x)

在(-∞,-

a

),(

a

,+∞)内是增函数,在(-

a

,0),(0,

a

)内是减函数

--------6 分 (2)由(1)知,f ( x ) 在[
1 4 1

,1]上的最大值为

1 f( )与 4

f(1)中的较大者, 对于任意的 a∈[
39 ? ? 4a ?b ? ,即 ? 4 ?b ? 9 ? a ?
7 4

1 2

,2],

不等式 f(x)≤10 在[

1 ? ? f ( ) ? 10 ,1]上恒成立,当且仅当 ? 4 4 ? f ( 1 ) ? 10 ?
7 4

,对任意的 a∈

[

1 2

,2]成立。从而得 b≤

,所以满 足条件的 b 的取值范围是(-∞,

]-----------12 分

x 1? x f ?( x ) ?

? ln( 1 ? x ) x
2

? 0,
ln( 1 ? x ) x

∴函数 f ( x ) ?

在 ( 0 , ?? ) 上为减函数.---------------------------4

(2) ln( 1 ? x ) ? ax 在 ( 0 , ?? ) 上恒成立, ? ln( 1 ? x ) ? ax ? 0 在 ( 0 , ?? ) 上恒成立, 设 h ( x ) ? ln( 1 ? x ) ? ax ,则 h ( 0 ) ? 0 , ∴ h ? ( x ) ? 若 a ? 1 ,则 x ? ?0 , ? ? ? 时, h ? ( x ) ?
1 1? x 1 1? x ?a,

? a ? 0 恒成立,

∴ h ( x ) ? ln( 1 ? x ) ? ax 在 ?0 , ? ? ? 上为减函数 ∴ ln( 1 ? x ) ? ax ? h ( 0 ) ? 0 在 ( 0 , ?? ) 上恒成立, ln( 1 ? x ) ? ax 在 ( 0 , ?? ) 上恒成立, ∴

若 a ? 0 显然不满足条件, 若 0 ? a ? 1 ,则 h ? ( x ) ?
? ? ? ? 1
1 1? x ? a ? 0 时, x ? 1 a ?1,

∴ x ? ?0,

? 1 ? 1 ? 时 h ? ( x ) ? 0 ,∴ h ( x ) ? ln( 1 ? x ) ? ax 在 ? 0 , ? 1 ? 上为增函数, a ? a 1 a ? 1 ? 时, h ( x ) ? ln( 1 ? x ) ? ax ? 0 ,

当 x ? ?0,

不能使 ln( 1 ? x ) ? ax 在 ( 0 , ?? ) 上恒成立,
ln( 1 ? x ) x

∴ a ? 1 ----------10
1 1

(3) (2) 由 可知
1 x

? 1 在 ( 0 , ?? ) 上恒成立, 1 n

∴ ln( 1 ? x ) x ? 1 , (1 ? x ) x ? e , ∴



? n ,即可证得 (1 ?

)

n

? e 对一切正整数 n 成立.--------------12.



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