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北京市部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编:概率与统计



北京部分区 2016 届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编

概率与统计
1、(昌平区 2016 届高三上学期期末)某大学进行自主招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对 参加测试的 200 名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排 名情况如下图所示:

200 总 成 绩 排 名

200 阅 读 表 达 成 绩 排 名







O

逻辑思维成绩排名 200

O

逻辑思维成绩排名

200

下列叙述一定正确的是 A.甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 B.乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 C.甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 D.乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 2、(朝阳区 2016 届高三上学期期末)在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处,现随机抽取其中的 200 辆进 行车速统计,统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处 高速公路规定正常行驶速度为 90km/h~120km/h, 试估计 2000 辆车中,在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 A.30 辆 B.300 辆 C.170 辆 D.1700 辆 0.035 0.030 0.020 0.010 0.005 80 90 100 110 120 130 车速(km/h) 频率 组距

3、(东城区 2016 届高三上学期期中)已知每生产 100 克饼干 的原材料加工费为 1.8 元, 某食品加工厂对饼干采用两种包装, 其包装费用、销售价格如下表所示: 型号 重量 包装费 销售价格 小包装 100 克 0.5 克 3.00 元 大包装 300 克 0.7 克 8.4 元 ( )

则下列说法中正确的是 ①买小包装实惠②买大包装实惠 ③卖 3 小包比卖 1 大包盈利多 ④卖 1 大包比卖 3 小包盈利多 A.①③ B.①④ C.②③ 参考答案 1、C 2、D 3、D

D.②④

二、填空题 1、(石景山区 2016 届高三上学期期末)股票交易的开盘价是这样确定的:每天开盘前,由投资者填报某种股票的意 向买价或意向卖价以及相应的意向股数,然后由计算机根据这些数据确定适当的价格,使得在该价位上能够成交的股 数最多. (注:当卖方意向价不高于开盘价,同时买方意向价不低于开盘价,能够成交) 根据以下数据,这种股票的开盘价为________元,能够成交的股数为___________. 卖家意向价 (元) 2.1 意向股数 200 2.2 400 2.2 300 2.3 500 2.3 300 2.4 100 2.4 100

买家意向价 (元) 2.1 意向股数 \ 参考答案 1、2.2,600 三、解答题 600

1、(昌平区 2016 届高三上学期期末)小王为了锻炼身体,每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近 8 天 “健步走”步数的频数分布直方图(图 1)及相应的消耗能量数据表(表 1)如下.
频数(天) 3 2 1 O 16 17 18 19 步数(千步)

图1

表1

(Ⅰ)求小王这 8 天 “健步走”步数的平均数; (Ⅱ)从步数为 16 千步,17 千步,18 千步的几天中任选 2 天,设小王这 2 天通过健步走消耗的“能量和”为 X , 求 X 的分布列.

2、(朝阳区 2016 届高三上学期期末)某中学高一年级共 8 个班,现从高一年级选 10 名同学组成社区服务小组,其中 高一(1)班选取 3 名同学,其它各班各选取 1 名同学.现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到社区老年中心参加 “尊老爱老”活动(每位同学被选到的可能性相同). (Ⅰ)求选出的 3 名同学来自不同班级的概率; (Ⅱ)设 X 为选出同学中高一(1)班同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

3、(大兴区 2016 届高三上学期期末)某校为了解甲、乙两班学生的学业水平,从两班中各随机抽取 20 人参加学业水 平等级考试,得到学生的学业成绩茎叶图如下: 甲班 4 5 4 9 9 7 6 8 8 5 7 8 3 6 7 3 2 2 6 0 3 0 5 6 7 8 9 乙班 6 3 2 3 1 8 6 4 5 4 9 8 5 4 5 6 4 9 8 5

2 2 (Ⅰ)通过茎叶图比较甲、乙两班学生的学业成绩平均值 X 甲 与 X 乙 及方差 s甲 与 s乙 的大小;(只需写出结论)

(Ⅱ)根据学生的学业成绩,将学业水平分为三个等级: 学业成绩 学业水平 根据所给数据,频率可以视为相应的概率 . ........... (ⅰ) 从甲、 乙两班中各随机抽取 1 人, 记事件 C : “抽到的甲班学生的学业水平等级高于乙班学生的学业水平等级” , 求 C 发生的概率; (ⅱ)从甲班中随机抽取 2 人,记 X 为学业水平优秀的人数,求 X 的分布列和数学期望. 低于 70 分 一般 70 分到 89 分 良好 不低于 90 分 优秀

4、 (丰台区 2016 届高三上学期期末) 随着人们社会责任感与公众意识的不断提高,越来越多的人成为了志

愿者. 某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查,在随机抽取的 10 位员工中,有 3 人是 志愿者. (Ⅰ)在这 10 人中随机抽取 4 人填写调查问卷,求这 4 人中恰好有 1 人是志愿者的概 率 P1 ; (Ⅱ)已知该创业园区有 1 万多名员工,从中随机调查 1 人是志愿者的概率为 那么在该创业园区随机调查 4 人,求其中恰有 1 人是志愿者的概率 P2 ; (Ⅲ)该创业园区的 A 团队有 100 位员工,其中有 30 人是志愿者. 若在 A 团队随机调查 4 人,则其中 恰好有 1 人是志愿者的概率为 P3 . 试根据(Ⅰ)、(Ⅱ)中的 P1 和 P2 的值,写出 P1 , P2 , P3 的大 小关系(只写结果,不用说明理由).

3 , 10

5、(海淀区 2016 届高三上学期期末) 已知某种动物服用某种药物一次后当天出现 A 症状的概率为 . 为了研究连续 服用该 药物后出现 A 症状的情况,做药物试验.试验设计为每天用药一次,连续用药四天为一个用 药周期. 假设每次用药后当天是否出现 A 症状的出现与上次用药无关. (Ⅰ)如果出现 A 症状即停止试验”,求试验至多持续一个用药周期的概率; (Ⅱ)如果在一个用药周期内出现 3 次或 4 次 A 症状,则这个用药周期结束后终止试验,试验至多持续两个周期. 设 药物试验持续的用药周期数为 ? ,求 ? 的期望.

1 3

6、(石景山区 2016 届高三上学期期末)某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况.从全体学生中,随机 抽取 12 名进行体质健康测试,测试成绩(百分制)以茎叶图形式表示如下: 成绩 5 6 7 8 9 2 5 2 6 0

8 6 8

6

7

7

8

根据学生体质健康标准,成绩不低于 76 的为优良. (Ⅰ)写出这组数据的众数和中位数; (Ⅱ)将频率视为概率.根据样本估计总体的思想,在该校学生中任选 3 人进行体质健 康测试,求至少有 1 人成绩是“优良”的概率; (Ⅲ)从抽取的 12 人中随机选取 3 人,记 ? 表示成绩“优良”的学生人数,求 ? 的分布列 及期望.

7、 (西城区 2016 届高三上学期期末)甲、乙两人进行射击比赛,各射击 4 局,每局射击 10 次,射击命中目标得 1 分, 未命中目标得 0 分. 两人 4 局的得分情况如下: 甲 乙 6 7 6 9 9 9
y

x

(Ⅰ)若从甲的 4 局比赛中,随机选取 2 局,求这 2 局的得分恰好相等的概率; (Ⅱ)如果 x ? y ? 7 ,从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局,记这 2 局的得分和为 X ,求 X 的分布列和 数学期望; (Ⅲ)在 4 局比赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,写出 x 的所有可能取值.(结论不要求证明)

参考答案 1、解: (I) 小王这 8 天 “健步走”步数的平均数为
16 ? 3 ? 17 ? 2 ? 18 ?1 ? 19 ? 2 ? 17.25 (千步). 8

…………………………..4 分

(II) X 的各种取值可能为 800,840,880,920.
P( X ? 800) ? C32 1 C1C1 2 ? , P( X ? 840) ? 3 2 2 ? , 2 C6 5 C6 5 P , ( X ? 920) ?
1 1 C2 C1 2 ? , 2 C6 15

P( X ? 8 8 0 ?)

1 1 2 C3 C1 ?C 2 4 ? 2 C6 15

X 的分布列为: X
P
800 1 5 840 2 5 880 4 15 920 2 15

…………………………..13 分 2、解:(Ⅰ)设“选出的 3 名同学来自不同班级”为事件 A,则
1 2 0 3 C3 ? C7 ? C3 ? C7 49 P( A) ? ? . 3 C10 60

所以选出的 3 名同学来自班级的概率为

49 . 60

???????????5 分

(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3,则
3 C30 ? C7 7 P( X ? 0) ? ? ; 3 C10 24 1 C32 ? C7 7 ? ; 3 C10 40 1 2 C3 ? C7 21 ; P( X ? 1) ? ? 3 C10 40 3 0 C3 ? C7 1 . ? 3 C10 120

P( X ? 2) ?

P( X ? 3) ?

所以随机变量 X 的分布列是 X P 随机变量 X 的数学期望 0 1 2 3

7 24

21 40

7 40

1 120

E( X ) ? 0 ?

7 21 7 1 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 24 40 40 120 10
??2 分 ??4 分

??????????13 分

3、(Ⅰ) X 甲 ? X 乙
2 2 s甲 ? s乙

(Ⅱ)(1)记 A1、A2、A3 分别表示事件:甲班学生学业水平等级为一般、良好、优秀; 记 B1、B2、B3 分别表示事件:乙班学生学业水平等级为一般、良好、优秀;
则P (C ) ? P ( A2 B1 ? A3 B1 ? A3 B 2 ) ? P ( A2 B1 ) ? P ( A3 B1 ) ? P ( A3 B 2 ) ? P ( A2 ) P ( B1 ) ? P ( A3 ) P ( B1 ) ? P ( A3 ) P ( B 2 )

? ?

12 9 5 9 5 9 ? ? ? ? ? 20 20 20 20 20 20 99 200

??4 分
1 , 4

(2)从甲班随机抽取 1 人,其学业水平优秀的概率为
1 则 X =0,1,2, X ~ B(2, ) 4 9 0 3 2 P( X ? 0) ? C2 ( ) ? 4 16
1 P( X ? 1) ? C2

??1 分 ??2 分 ??3 分

1 3 6 3 ? ? ? 4 4 16 8

1 2 1 2 P( X ? 2) ? C2 ( ) ? 4 16

则 X 的分布列为:

X
P

0
9 16

1
3 8

2
1 16

??4 分
EX ? np ? 2 ? 1 9 3 1 ? 2 (或 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 2 ) 4 16 8 16

??5 分

4、解:(Ⅰ) P1 ?

1 3 C3 ? C7 1 ? 4 C10 2

所以这 4 人中恰好有 1 人是志愿者的概率为
1 ( (Ⅱ) P2 ? C4

1 2

??????????5 分

3 1 7 3 ) ? ( ) ? 0.4116 10 10
1 2

所以这 4 人中恰好有 1 人是志愿者的概率为 (Ⅲ) P 1 ? P 3 ? P 2

??????????10 分 ??????????14 分

5、解:(Ⅰ)设持续 i 天为事件 Ai , i ? 1,2,3,4 ,用药持续最多一个周期为事件 B ,…………………………….1 分

1 2 3 3 65 ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? . 则 P( B) ? P( A1) 81

所以 P( A1 ) ? ,P( A2 ) ? ? ,P( A3 ) ? ? ( )2,P( A4 ) ? ? ( )3 ,…………………………….5 分 …………………………….6 分

1 3

1 2 3 3

1 2 3 3

法二:设用药持续最多一个周期为事件 B ,则 B 为用药超过一个周期,…………………………….1 分

16 , 81 2 65 . 所以 P( B) ? 1 ? ( )4 ? 3 81 (Ⅱ)随机变量 ? 可以取 1, 2 ,…………………………….7 分
所以 P( B) ? ( )4 ?

2 3

…………………………….3 分 …………………………….6 分

1 2 14 1 1 8 ? ( ) ? , P(? ? 2) ? 1 ? ? , 3 3 3 9 9 9 1 8 17 所以 E? ? 1? ? 2 ? ? . 9 9 9
3 ( )3 所以 P(? ? 1) ? C4

…………………………….11 分 …………………………….13 分

6、解:(Ⅰ)这组数据的众数为 86,中位数为 86; (Ⅱ)抽取的 12 人中成绩是“优良”的频率为

………………2 分

3 , 4 3 , 4
………………4 分

故从该校学生中任选 1 人,成绩是“优良”的概率为

设“在该校学生中任选 3 人,至少有 1 人成绩是‘优良’的事件”为 A,
0 则 P( A) ? 1 ? C3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? 63 ; 4 64 64 (Ⅲ)由题意可得, ? 的可能取值为 0,1,2,3.

? ?

3

………………6 分 ………………7 分

P(? ? 0) ?
P (? ? 2) ?

C CC 1 27 ? , P(? ? 1) ? 3 ? , C 220 C12 220

3 3 3 12

1 9

2 3

1 3 C92 C3 C9 108 27 84 21 ? = P ( ? ? 3) ? ? = , , 3 3 C12 220 55 C12 220 55 所以 ? 的分布列为 ? 0 1 2 3 27 21 1 27 P 55 55 220 220 1 27 27 21 9 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3? ? . 220 220 55 55 4

………………11 分

………………13 分

7、(Ⅰ)解:记 “从甲的 4 局比赛中,随机选取 2 局,且这 2 局的得分恰好相等”为事件 A , ??????1 分 由题意,得 P( A) ?
2 1 ? , C2 3 4

1 所以从甲的 4 局比赛中,随机选取 2 局,且这 2 局得分恰好相等的概率为 . ??4 分 3

(Ⅱ)解:由题意, X 的所有可能取值为 13 , 15 ,16 , 18 ,

??????5 分

3 1 3 1 且 P ( X ? 13) ? , P ( X ? 15) ? , P ( X ? 16) ? , P ( X ? 18) ? ,??????7 分 8 8 8 8
所以 X 的分布列为:

X
P

13

15

16

18

3 8

1 8

3 8

1 8
?????? 8 分

3 1 3 1 所以 E ( X ) ? 13 ? ? 15 ? ? 16 ? ? 18 ? ? 15 . 8 8 8 8

??????10 分 ??????13 分

(Ⅲ)解: x 的可能取值为 6 , 7 , 8 .



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