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高一数学必修四第一章 1.1.3 第1课时



第1课时

1.1.3 集合的基本运算 第 1 课时 并集与交集
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【读一读学习要求,目标更明确】 1.理解两个集合的并集与交集的含义, 会求两个简单集合的并 集和交集; 2.能使用 Venn 图表示集合的并集和交集运算结果,体会直观 图对理解抽象概念的作用; 3.掌握有关的术语和符号, 并会用它们正确进行

集合的并集与 交集运算.

第1课时

【看一看学法指导,学习更灵活】
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通过观察和类比,借助 Venn 图理解集合的并集及交集 运算,树立数形结合的思想;体会类比的作用;感受集合作 为一种语言在表示数学内容时的简洁和准确.

填一填·知识要点、记下疑难点

第1课时

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1. 并集定义: 一般地, 由所有属于集合A或属于集合B __________________________________ 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集,记作

A∪B ___________.

{x|x∈A,或x∈B} 2.并集的符号语言表示为 A∪B=____________________.

填一填·知识要点、记下疑难点

第1课时

3.并集的图形语言(即 Venn 图)表示为下图中的阴影部分:
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填一填·知识要点、记下疑难点

第1课时

A A B∪A 4.性质:A∪B=________,A∪A=______,A∪?=_____,
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B?A ? A∪B=A?________,A_____A∪B.
5. 交集定义: 一般地, 属于集合A且属于集合B的所有 由________________________________ 元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的交集,记作

A∩B ___________. {x|x∈A,且x∈B} 6.交集的符号语言表示为 A∩B=_____________________ .

填一填·知识要点、记下疑难点

第1课时

7.交集的图形语言表示为下图中的阴影部分:
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填一填·知识要点、记下疑难点

第1课时

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A ? B∩A 8.性质:A∩B=_________,A∩A=_____,A∩?=_____, A?B ? ? A∩B=A?__________,A∩B_____A∪B,A∩B_____A, ? A∩B_______B.

研一研·问题探究、课堂更高效

第1课时

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问题探究一 导引

并集

两个实数除了可以比较大小外,还可以进行加法运

算. 类比实数的加法运算, 两个集合是否也可以“相加” 呢?

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第1课时

问题 1
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请同学们考察下列各个集合,你能说出集合 C 与集

合 A、B 之间的关系吗? (1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6}; (2)A={x|x 是有理数},B={x|x 是无理数},C={x|x 是实 数}.

答 集合 A 和集合 B 的元素放在一起即为集合 C 的元素.

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第1课时

小结

一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组

成的集合,称为集合 A 与 B 的并集.
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记作:A∪B.读作 A 并 B.其含义用符号表示为:A∪B={x|x∈ A,或 x∈B}. 用 Venn 图表示如下:

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第1课时

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问题 2 用并集运算符号表示问题 1 中 A,B,C 三者之间的 关系是什么?



A∪B=C.

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第1课时

例1
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(1)设 A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求 A∪B.

(2)设集合 A={x|-1<x<2},集合 B={x|1<x<3},求 A∪B.



(1)A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.

(2)A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3} ={x|-1<x<3}. 还可以在数轴上表示 A∪B,如图.

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第1课时

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小结

两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合 A 与

B 的所有元素组成的集合,它们的公共元素在并集中只能出 现一次.对于表示不等式解集的集合的运算,可借助数轴解 题.

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第1课时

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跟踪训练 1 已知集合 P={x|x2≤1}, M={a}. P∪M=P, 若

[-1,1] 则 a 的取值范围为________.
解析 由 P={x|x2≤1}得 P={x|-1≤x≤1}.

由 P∪M=P 得 M?P.又 M={a},∴-1≤a≤1.

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问题探究二 交集 导引 类比实数的减法运算,两个集合是否也可以“相减”

呢?

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第1课时

问题 1 请同学们考察下面的问题,集合 A、B 与集合 C 之间 有什么关系?
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①A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8}; ②A={x|x 是国兴中学 2011 年 9 月入学的高一年级女同学}, B={x|x 是国兴中学 2011 年 9 月入学的高一年级同学}, C={x|x 是国兴中学 2011 年 9 月入学的高一年级女同学}.

答 集合 C 是由集合 A 和集合 B 的公共元素组成的集合.

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第1课时

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小结

一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成

的集合,称为 A 与 B 的交集. 记作:A∩B.读作:A 交 B.其含义用符号表示为:A∩B={x|x ∈A,且 x∈B}.

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第1课时

问题 2 如何用 Venn 图表示交集运算?
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答 如图中的阴影部分表示的为 A∩B.

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第1课时

例2
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(1)新华中学开运动会,设 A={x|x 是新华中学高一年级

参加百米赛跑的同学},B={x|x 是新华中学高一年级参加 跳高比赛的同学},求 A∩B. (2)设平面内直线 l1 上点的集合为 L1,直线 l2 上点的集合为 L2,试用集合的运算表示 l1,l2 的位置关系.

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第1课时


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(1)A∩B 就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑

又参加跳高比赛的同学组成的集合.所以 A∩B={x|x 是新华 中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.
(2)平面内直线 l1,l2 可能有三种位置关系,即相交于一点,平 行或重合. ①直线 l1,l2 相交于一点 P 可表示为:L1∩L2={点 P}; ②直线 l1,l2 平行可表示为 L1∩L2=?; ③直线 l1,l2 重合可表示为 L1∩L2=L1=L2.

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第1课时

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小结

两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合 A 与

B 的公共元素组成的集合,当两个集合没有公共元素时,两 个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集.

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第1课时

跟踪训练 2 设集合 A={y|y=x2,x∈R},B={(x,y)|y=x
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+2,x∈R},则 A∩B 等于( D ) A.{(-1,1),(2,4)} C.{(2,4)} B.{(-1,1)} D.?

解析

由于集合 A 表示的是数集,集合 B 表示的是点集,

因此没有公共元素,所以选 D.

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第1课时

本 课 问题探究三 并集与交集的性质 栏 目 问题 1 并集有哪些性质? 开 答 ①A∪A=A,②A∪?=A,③A∪B=B∪A,④A?A 关

∪B,B?A∪B.

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第1课时

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问题 2 交集有哪些性质?
答 ①A∩A=A,②A∩?=?,③A∩B=B∩A,④A∩B ?A,A∩B?B,⑤A?B,则 A∩B=A.

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例 3 已知 A={x|x2-3x+2=0}, B={x|x2-ax+a-1=0}, 若 A∪B=A,求实数 a 的值. 解 ∵A={1,2},A∪B=A,∴B?A,
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∴B=?或 B={1}或 B={2}或 B={1,2}.
当 B=?时,Δ<0,a 不存在, ?Δ=0 ? 当 B={1}时,? ,∴a=2. ?1-a+a-1=0 ?




?Δ=0 ? B={2}时,? ,∴a 不存在. ?4-2a+a-1=0 ? ?1+2=a ? B={1,2}时,? ,∴a=3. ?1×2=a-1 ?

综上所述,a=2 或 a=3.

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小结

在利用集合的交集、并集性质解题时,若条件中出

现 A∪B=A,或 A∩B=B,解答时常转化为 B?A,然后 用集合间的关系解决问题,运算时要考虑 B=?的情况,切 记不可漏掉.

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跟踪训练 3 设集合 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x
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+a2-1=0,a∈R},若 A∩B=B,求 a 的值.

解 由题意得 A={-4,0},因为 A∩B=B,所以 B?A.
当 B=?时,即关于 x 的方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 无实 数解,则 Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得 a<-1.

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第1课时

当 B≠?时,若集合 B 中仅含一个元素,则 Δ=4(a+1)2- 4(a2-1)=0,解得 a=-1,此时,B={x|x2=0}={0}?A,
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即 a=-1 符合题意. 若集合 B 含有两个元素, 则这两个元 素是-4,0,即关于 x 的方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 的解 是-4,0, ?-4+0=-2?a+1?, ? 则有? ?-4×0=a2-1, ? 解得 a=1,则 a=1 符合题意.

综上所述,a=1 或 a≤-1.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

第1课时

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1. 设集合 A={x|x∈Z 且-15≤x≤-2}, B={x|x∈Z 且|x|<5}, 则 A∪B 中的元素个数是( C ) A.10 C.20 B.11 D.21

解析

∵A∪B={x|x∈Z 且-15≤x<5}={-15,-14,

-13,?,1,2,3,4}, ∴A∪B 中共 20 个元素.

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2.若集合 M={-1,0,1},N={0,1,2},则 M∩N 等于( A ) A.{0,1} C.{0,1,2}
解析

B.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2}

M∩N={0,1},故选 A.

第1课时

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求集合的并、交是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集 合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”.在处理有关 交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘 题设条件.



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