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36、三角函数综合



第 36 课时
一.基础训练

三角函数综合

1.函数 y ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是________. 2.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ???? ,0?) 的单调递增区间为___________. 3.已知 sin ? ?

5 10 ,sin(? ? ? ) ? ? , ? , ? 均为锐角,则 ? =______. 5 10

4.要得到函数 y ? cos(2 x ? ) 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x 的图象向____平移____个单

?

4

位. 5.已知函数 y ? 2cos x, x ?[0, 2? ] 和 y ? 2 的图象围成一个封闭的平面图形,这个封闭图象 的面积是__________. 6.已知函数 f ( x) ? Asin(2 x ? ? )( A ? 0,| ? |?

?
2

) 满足对于实数 x ,都有 f ( x) ? f (

5? ) ? 5, 12

则当 f ( x) 取得最大值时 x 的集合为__________. 二.典型例题
2 例 1.已知函数 f ( x) ? 2cos x sin( x ? ) ? 3 sin x ? sin x cos x 3 (1) 求函数 f ( x) 的最大值及最小值; (2) 求函数 f ( x) 的递增区间; (3) 求函数 f ( x) 的对称轴和对称中心.

?

?? ? ?? ? 例 2 .已知向量 m ? (a ? c, a ? b), n ? (sin B,sin A ? sin C) , m ∥ n , 且 其中 A、 C 是△ABC B、
的内角,a,b,c 分别是 A、B、C 的对边. (1)求角 C 的大小; (2)求 sinA+sinB 的取值范围.

例 3 . 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a , b, c , tan C ?

sin( B ? A) ? cos C .
(1)求 A,C; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a, c.

sin A ? sin B , cos A ? cos B

例 4.如图, 某地有三家工厂, 分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A, 及 CD 的中点 P 处. B AB =20km,BC=10km.为了处理这三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)且与 A,B 等距的一点 O 处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道 AO,BO,PO.记铺 设管道的总长度为 ykm. P C (1)按下列要求建立函数关系式: D (i)设 ?BAO ? ? (rad) ,将 y 表示成 ? 的函数; (ii)设 OP ? x (km) ,将 y 表示成 x 的函数; (2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂 的位置,使铺设的污水管道的总长度最短。 O A B

三.课后作业:
o o o o 1. sin15 cos 75 ? cos15 sin105 ? _________.

2.函数 y ? sin(2 x ?

) ? cos(2 x ? ) 的最小正周期为 ,最大值为________. 6 3 3? 3 ? 12 ? 3.已知 ? , ? ? ( ,? ),sin(? ? ? ) ? ? ,sin(? ? ) ? ,则 cos(? ? ) =_________. 4 5 4 13 4 ? 1 ? 4.已知 sin( ? ? ) ? ,则 sin( ? 2? ) ? _____________. 6 4 6
2 2 5.已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ? _________.

?

?

?? ? ? 6. 函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3sin xcos x 在区间 ? , ? 上的最大值是___________. ?4 2?
7.已知函数 f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )(0 ? ? ? π ,? ? 0) 为偶函数,且函数 y=f(x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 (1)求 f(

π . 2

π )的值; 8 π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原 6

(2)将函数 y=f(x)的图象向右平移

来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间.

8. ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos 在 求 ?ABC 的面积; (2)若 c ? 1 ,求 a 的值

? ? A 2 5 ??? ??? , AB ? AC ? 3 . (1) ? 2 5

9.在 ?ABC 中, a , b, c 分别是角 A、B、C 所对的边, 周长为 2 ? 1 ,

?? ? ?? ? 已知 m ? (sin A ? sin B,sin C) , n ? (1, ? 2) ,且 m ? n ,
(1) 求边 c 的长; (2) 求角 C 的最大值.

10.已知 A 、 B 、 C 三点的坐标分别为 A(3,0) 、 B(0,3) 、 C (cos ? ,sin ? ) , ? ? ( ,

? 3?
2 2

),

???? ??? ? (1)若 AC ? BC ,求角 ? 的值.
(2)若 AC ? BC ? ?1 ,求
???? ??? ?

2sin 2 ? ? sin 2? 的值. 1 ? tan ?

11.在 ?ABC 中, a , b, c 分别是角 A、B、C 所对的边,已知 c=2, C ? (1)若 S?ABC ? 3 ,求 a,b; (2)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 S ?ABC .

?
3

.



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