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高中组数学汇总--立体几何(高二)



1、已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1 的所有棱长都是 1,且 ?A1 AB ? A1 AD ? ?BAD ? 60 ,
?

求直线 AC 1 与 AC 所成角的余弦值。 解析:由于是平行六面体,所以很易建立空间直角坐标系,若要 用余弦定理求角需知三边的长,但显然也不易求解。 考点:向量法的应用 解:易知所求角的余弦值即 cos AC1 ,

AC ?

AC1 ? AC AC1 AC

又 AC ? AB ? BC ? CC1 , AC ? AB ? BC 所以 AC1 ? AC ? 4,

AC1 ? 6, AC ? 3 ,
2 。 9

故:直线 AC 1 与 AC 所成角的余弦值为

2、已知:如图,平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 ABC,AE⊥平面 PBC,E 为 垂足. (1)求证:PA⊥平面 ABC;
(2)当 E 为△PBC 的垂心时,求证:△ABC 是直角三角形

解析:面面垂直往线面垂直转化时,若用性质定理,则一般 作一条 垂直于交线的辅助线。 考点:面面垂直的性质定理以及线面垂直的证明;垂心的定 证:(1)过 P 作 PG 垂直于面 ABC 于 G
? 面PAB ? 面ABC, PG ? 面PAB ? 又面PAC ? 面ABC, PG ? 面PAC ? 又面PAC ? 面PAB ? PA, PG ? PA, PA ? 面ABC ? ?



义。

(2)

1

连接BE,并延长交PC于K ? E为?PBC 的垂心, BE ? PC ? 又AE ? 面PBC , AE ? PC ? 又 ? AE ? BE ? E,AE ? 面ABE,BE ? 面ABE ? PC ? 面ABE, PC ? AB,由( )知PA ? AB ? 1 又PA ? PC ? P,PA和PC都在面PAC内 ? AB ? 面PAC, AB ? AC,故:?ABC为直角三角形。 ?

(双流校区——唐青怀) 空间向量: 1.若A(1, ?2,1),B(4, 2,3),C(6, ?1, 4),则? ABC的形状是 ? A.不等边锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形

?

D.等边三角形 ? ? a ?b 解析:此题关键是通过公式 cos ? ? ? ? 找出每个角的取值范围, a?b ? ? 即只需判断出a ? b的符号. 考点:空间向量运算及向量夹角余弦公式的运用. ??? ? ???? ??? ? 解:由题知 AB ? ? 3, 4, 2 ? , AC ? 5,1,3? , BC ? ? 2, ?3,1? , ??? ???? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 所以 AB ? AC ? 0 ? A为锐角; ? CB ? 0 ? C为锐角; ? BC ? 0 ? B为锐角; CA BA 故选A. ??? ??? ? ? ? 2.空间四边形OABC中,OB ? OC , ?AOB ? ?AOC ? , 则 cos OA, BC ? 3 ? ? a ?b 解析:此题关键是通过公式 cos ? ? ? ? 及三角形法则的相互转化解题. a?b 考点:三角形法则及向量夹角余弦公式的运用. ??? ???? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ???? ??? OA ? OC ? cos ? OA ? OB ? cos OA ? OC ? OB ??? ??? ? ? OA ? BC 3 3 ?0 解: OA, BC ? ??? ??? = cos ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OA ? BC OA ? BC OA ? BC

?

?

在 三 棱 锥 S — ABC 中 , ∠ SAB= ∠ SAC= ∠ ACB=90 ° , 且 SB=5

AC=BC=5



5。 (如图所示)

(Ⅰ)证明:SC⊥BC; (Ⅱ)求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小; (Ⅲ)求三棱锥的体积 VS-ABC。

分析:本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。 须具备一定的洞察力,并进行一定的逻辑推理。



要求对图形必

2

解析: (Ⅰ)证明:∵∠SAB=∠SAC=90°, ∴SA⊥AB,SA⊥AC。 又 AB∩AC=A, ∴SA⊥平面 ABC。 由于∠ACB=90°,即 BC⊥AC,由三垂线定理,得 SC⊥BC。 (Ⅱ)解:∵BC⊥AC,SC⊥BC。 ∴∠SCA 是侧面 SCB 与底面 ABC 所成二面角的平面角。 在 Rt△SCB 中,BC=5,SB=5

5 ,得 SC= SB 2 ? BC 2 =10。

在 Rt△SAC 中 AC=5,SC=10,cosSCA=

AC 5 1 ? ? , SC 10 2

∴∠SCA=60°,即侧面 SBC 与底面 ABC 所成的二面角的大小为 60°。 (Ⅲ)解:在 Rt△SAC 中, ∵SA= SC ? AC ? 10 ? 5 ?
2 2 2 2

75 ,

S△ABC=

25 1 1 ·AC·BC= ×5×5= , 2 2 2
1 1 25 125 3 ? 75 ? ·S△ACB·SA= ? 3 2 6 3

∴VS-ABC=

向量法解夹角的问题
如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC =120°,D,D1 分别是线段 BC,B1C1 的中点,P 是线段 AD 的中点.

(1)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l,说明理由,并证明直 线 l⊥平面 ADD1A1; (2)设(1)中的直线 l 交 AB 于点 M,交 AC 于点 N,求二面角 A-A1M-N 的余弦值. 解:(1)如图,在平面 ABC 内,过点 P 作直线 l∥BC,

3

因为 l 在平面 A1BC 外,BC 在平面 A1BC 内,由直线与平面平行的判定定理可知,l ∥平面 A1BC. 由已知,AB=AC,D 是 BC 的中点, 所以,BC⊥AD,则直线 l⊥AD. 因为 AA1⊥平面 ABC, 所以 AA1⊥直线 l. 又因为 AD,AA1 在平面 ADD1A1 内,且 AD 与 AA1 相交, 所以直线 l⊥平面 ADD1A1. (2)解法一: 连接 A1P,过 A 作 AE⊥A1P 于 E,过 E 作 EF⊥A1M 于 F,连接 AF. 由(1)知,MN⊥平面 AEA1, 所以平面 AEA1⊥平面 A1MN. 所以 AE⊥平面 A1MN,则 A1M⊥AE. 所以 A1M⊥平面 AEF,则 A1M⊥AF. 故∠AFE 为二面角 A-A1M-N 的平面角(设为θ). 设 AA1=1,则由 AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,有∠BAD=60°,AB=2,AD= 1. 又 P 为 AD 的中点, 所以 M 为 AB 中点,且 AP=
1 ,AM=1, 2
5 ;在 Rt△A1AM 中,A1M= 2 . 2

所以,在 Rt△AA1P 中,A1P= 从而 AE ?
AF ? AA1 ? AP 1 ? , A1 P 5

AA1 ? AM 1 ? . A1M 2
AE 2 ? . AF 5
4

所以 sin θ=

? 2? 15 所以 cos θ= 1 ? sin ? ? 1 ? ? . ? ? ? 5? 5 ? ?
2

2

故二面角 A-A1M-N 的余弦值为

???? 解法二:设 A1A=1.如图,过 A1 作 A1E 平行于 B1C1,以 A1 为坐标原点,分别以 A1 E , ????? ???? A1 D1 , A1 A 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 Oxyz(点 O 与点 A1

15 . 5

重合).

则 A1(0,0,0),A(0,0,1). 因为 P 为 AD 的中点, 所以 M,N 分别为 AB,AC 的中点.
? 3 1 ? ? 3 1 ? , ,1 ? ,N ? ? 故 M? ? 2 2 ? ? 2 , 2 ,1 ? . ? ? ? ? ?

????? ? 3 1 ? ???? ???? ? , ,1 ? , A1 A =(0,0,1), NM =( 3 ,0,0). 所以 A1 M = ? ? 2 2 ? ? ?

设平面 AA1M 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1), ????? ????? ?n1 ? A1M , ?n1 ? A1M ? 0, ? ? 则? ???? 即 ? ???? ?n1 ? A1 A, ?n1 ? A1 A ? 0, ? ?

? ? 3 1 ? ?? x1 , y1 , z1 ? ? ? ? 2 , 2 ,1? ? 0, ? 故有 ? ? ? ? ?? x1 , y1 , z1 ? ?? 0, 0,1? ? 0,
? 3 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0, ? 从而 ? 2 2 ? z ? 0. ? 1

取 x1=1,则 y1= ? 3 , 所以 n1=(1, ? 3 ,0). 设平面 A1MN 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2),
5

????? ????? ?n2 ? A1M , ? n2 ? A1M ? 0, ? ? 则? ???? 即 ? ? n2 ? NM , ? n2 ? NM ? 0, ? ? ?
? ? 3 1 ? ?? x2 , y2 , z2 ? ? ? ? 2 , 2 ,1? ? 0, ? 故有 ? ? ? ? ?? x2 , y2 , z2 ? ?? 3, 0, 0? ? 0,
? 3 1 x2 ? y2 ? z2 ? 0, ? 从而 ? 2 2 ? 3 x ? 0. ? 2

取 y2=2,则 z2=-1,所以 n2=(0,2,-1). 设二面角 A-A1M-N 的平面角为θ, 又θ为锐角, 则 cos θ=
n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |



?1, ? 3, 0 ? ?? 0, 2, ?1? 15 ? . 5 2? 5

故二面角 A-A1M-N 的余弦值为

15 . 5

(光华 — —胡广富) 3、 如图,正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直,
△ ABE 是等腰直角三角形, AB ? AE , FA ? FE , ?AEF ? 45 (I)求证: EF ? 平面BCE ; (II)设线段 CD 的中点为 P ,在直线 AE 上是否存在一点 M ,使得 PM ? 平面 BCE ?若存在,请 指出点 M 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由; (III)求二面角 F ? BD ? A 的正切值。
?

考点分析:线面垂直、线面平行、二面角
6

解析: (Ⅰ)因为平面 ABEF ⊥平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,平面 ABEF ? 平面 ABCD ? AB , 所以 BC ⊥平面 ABEF ,所以 BC ⊥ EF .因为 ?ABE 为等腰直角三角形, A B? A E , 所以 ?AEB ? 45? 又因为 ?AEF ? 45? ,所以 ?FEB ? 45? ? 45? ? 90? , 即 EF ⊥ BE ? B ,所以 EF ⊥平面 BCE 。 (Ⅱ)存在点 M ,当 M 为线段 AE 的中点时,PM∥平面 BCE 取 BE 的中点 N,连接 AN,MN,则 MN∥=

1 AB ∥=PC 所以 PMNC 为平行四边形,所以 PM∥CN 2

因为 CN 在平面 BCE 内,PM 不在平面 BCE 内,所以 PM∥平面 BCE (Ⅲ)由 EA⊥AB,平面 ABEF⊥平面 ABCD,易知,EA⊥平面 ABCD 作 FG⊥AB,交 BA 的延长线于 G,则 FG∥EA。从而,FG⊥平面 ABCD 作 GH⊥BD 于 G,连结 FH,则由三垂线定理知,BD⊥FH,因此,∠AEF 为二面角 F-BD-A 的平面 角 因为 FA=FE, ∠AEF=45° ,所以∠AFE=90° ,∠FAG=45° AB=1,则 AE=1,AF= .设

2 . 2

FG=AF· sinFAG=

1 1 3 ,在 Rt△FGH 中,∠GBH=45° ,BG=AB+AG=1+ = , 2 2 2 3 2 3 2 FG · = ,在 Rt△FGH 中,tanFHG= = 4 2 2 GH
2 3

GH=BG· sinGBH=

(光华 — —胡广富) 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC, 4、 如图
AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2 (1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由. A

A1
M

D C 图1

E B

D C 图2

E B

7

高二:运用向量法解题 (浆洗——刘兰芳) 例1:如图,已知平行六面体ABCD — A1 B1C1 D1的底面? ABCD是菱形,且?C1CB ? ?C1CD ? ?BCD.

?1? 求证:C1C ? BD. ? 2 ? 当
解读能力.

CD 的值为多少时,能使A1C ? 平面C1BD?请给出证明. CC1

命题意图:本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直,夹角等问题以及对立体几何图形的 知识依托:解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题,这就使几何问题代数化, 使繁琐的论证变得简单.错解分析:本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和 数量关系的相互转化,再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系. 技巧与方法:利用a ? b ? a b ? 来证明两直线垂直,只要证明两直线对应的向量的数量积为零 0 即可.

8

?1? 证明:设CD ? a, CB ? b, CC1 ? c, 依题意,

??? ?

??? ?

???? ?

???? ???? ???? ? ? ? a ? b , 、 B 、 1中两两所成夹角为?,于是 CD C CC ???? ???? ???? ? ? ? ???? ???? ? ? BD ? CD - DB ? a-b, 1 ? BD ? c ? (a-b) ? c ? a-c ? b ? c ? a cos? - c ? b cos? ? 0,? C1C ? BD. CC ???? ???? ? ? ???? ????? ???? ????? ? ? ? ? ? 2 ? 解:若使A1C ? 平面C1BD,只须证A1C ? BD,A1C ? DC1,由CA1 ? C1D ? (CA +AA1 ) ? (CD +CC1 ) ? ? a ? b ? c ? ? (a-c ) ? a ? a ? b-b ? c- c ? a - c ? b ? a cos?- b ? c ? cos? ? 0, 得
2 2 2 2

当 a ? c 时,A1C ? DC1, 同理可证当 a ? c 时,A1C ? BD, ? CD ? 1时,A1C ? 平面C1 BD. CC1

高二:几何法 (浆洗——刘兰芳)
例 2 在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8, AB ? 2 DC ? 4 5 .

(Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (Ⅱ)求四棱锥 P-ABCD 的体积. 【分析】本题中的数量关系较多,可考虑从“算”的角度入手分析,如从 M 是 PC 上的动点分析 知,MB,MD 随点 M 的变动而运动,因此可考虑平面 MBD 内“不动”的直线 BD 是否垂直平面 PAD. 证明:(Ⅰ)在△ABD 中, 由于 AD=4,BD=8, AB ? 4 5 , 所以 AD2+BD2=AB2. 故 AD⊥BD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD ? 平面 ABCD, 所以 BD⊥平面 PAD, 又 BD ? 平面 MBD,故平面 MBD⊥平面 PAD. (Ⅱ)解:过 P 作 PO⊥AD 交 AD 于 O, 由于平面 PAD⊥平面 ABCD,所以 PO⊥平面 ABCD. 因此 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高, 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形.因此 PO ? 在底面四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB=2DC, 所以四边形 ABCD 是梯形,在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 的高,
9

3 ? 4 ? 2 3. 2
4?8 8 5 ? ,即为梯形 ABCD 5 4 5

所以四边形 ABCD 的面积为 S ?

1 2 5?4 5 8 5 ? ? 24. 故 VP ? ABCD ? ? 24 ? 2 3 ? 16 3. 5 2 3

高三:等差数列 (浆洗——刘兰芳) [例1]已知数列?a n ?的前n项之和为①S n ? 2n 2 ? n; ②S n ? n 2 ? n ? 1; 求数列?a n ?的通项公式。 错解: n ? 2n 2 ? n ? 2(n ? 1) 2 ? n ? ? n ? ①a ②a n ? n 2 ? n ? 1 ? (n ? 1) 2 ?(n ? 1) ? ? n 错因:在对数列概念的理解上,仅注意了a n=Sn-Sn ?1与的关系,没注意a1 ? S1. 正解: ①当n =1时,a1 ? S1 =1 ; 当n ? 2时,a n ? 2n 2 ? n ? 2(n ? 1) 2 ? n ? ? n ? 经检验n =1时,a1 ? S1 =1也适合, a n ? 4 ? 3 ? n ②当n =1时,a1 ? S1 =3; 当n ? 2时,a n ? n 2 ? n ? 1 ? (n ? 1) 2 ? n ? ?1 ? 2n 经检验n =1时,a1 ? S1 =3不适合, ?3 (n =1) ?an ? ? ?2n (n ? 2)
3. 考点:线面垂直的判定定理与性质定理的结合应用 如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,PO⊥平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上, 证明:AP⊥BC; 证明:∵PO⊥平面 ABC, ∴PO⊥BC, ∵AB=AC, ∴AD⊥BC, ∴BC⊥面 PAD, ∴BC⊥AP. 4. 考点:向量法解决二面角问题 如图,四棱锥 E ? ABCD 中, ABCD 是矩形,平面 EAB ? 平面 ABCD , AE ? EB ? BC ? 2, F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面 ACE . (1)求证:AE ? BE; (2)求三棱锥 D—AEC 的体积; (3)求二面角 A—CD—E 的余弦值.

D

C F

A

B

E 解: (1)? ABCD 是矩形,? BC ? AB,? 平面 EAB ? 平面 ABCD, 平面 EAB ? 平面 ABCD=AB,BC ? 平面 ABCD,? BC ? 平面 EAB, EA ? EA ? 平面 EAB, BC ? EA , BF ? 平面 ACE, ? 平面 ACE, BF ? EA, BC ? BF=B, ? ? ? ?
10

BC ? 平面 EBC,BF ? 平面 EBC,? EA ? 平面 EBC ,? BE ? 平面 EBC,? EA ? BE。 (2)? EA ? BE,

1 1 1 ? AD ? DC ? ? BC ? AB ? ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ,设 O 为 2 2 2 AB 的中点,连结 EO,∵AE=EB=2,? EO ? AB, ? 平面 EAB ? 平面 ABCD,? EO ? 平面 ABCD, 1 即 EO 为三棱锥 E—ADC 的高,且 EO= AB ? 2 2 1 1 4 ? VD ? AEC ? VE ? ADC ? S? ADC ? EO ? ? 2 2 ? 2 ? 3 3 3
? AB= AE 2 ? BE 2 ? 2 2 S? ADC ?
(3)以 O 为原点,分别以 OE、OB 所在直线为 x轴,y轴 ,如图建立空间直角坐标系,则 , E ( 2, 0, 0), C (0, 2, 2), A(0, ? 2, 0), D(0, ? 2, 2)

??? ? ??? ? ???? OE ? 2,0,0), ? (0, ?2 2, 0), DE ? ( 2, 2, ?2) ,由(2)知 ( CD

??? ? OE ? 2,0,0) ( 是平面 ACD 的一个法向量,设平面 ECD 的法向量为 ?? ???? ? 2x ? 2 y ? 2z ? 0 ?m ? DE ? 0 ?? ? ? ,即 ? ,令 x ? 2 ,则 m ? ( x, y, z ) ,则 ? ?? ??? ? ?m ? CD ? 0 ??2 2 y ? 0 ? ? ?? ? y ? 0, z ? 1 ,所以 m ? ( 2, 0,1) ,设二面角 A—CD—E 的平面角的大小为 ? ,由图得 0 ? ? ? , 2
??? ?? ? cos ? ? cos ? OE , m ? ? 2 6 ? 3 2? 3
6 3

所以二面角 A—CD—E 的余弦值为

3、如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, PA ? 底面 ABCD , AC ? 2 2 , PA ? 2 ,

E 是 PC 上的一点, PE ? 2EC 。 (Ⅰ)证明: PC ? 平面 BED ;
(Ⅱ)设二面角 A ? PB ? C 为 90? ,求 PD 与平面 PBC 所成角的大 小。
P

E B C

A D

11

12

4、如图 6,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD. (Ⅰ)证明:BD⊥PC; (Ⅱ)若 AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

13

[中国^教* ~育出# 版%

【答案】 【解析】 (Ⅰ)因为 PA ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD, 所以PA ? BD. 又 AC ? BD, PA, AC 是平面 PAC 内的两条相较直线,所以 BD ? 平面 PAC, 而 PC ? 平面 PAC,所以 BD ? PC . (Ⅱ)设 AC 和 BD 相交于点 O,连接 PO,由(Ⅰ)知,BD ? 平面 PAC, 所以 ?DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,从而 ?DPO ? 30 .
?

由 BD ? 平面 PAC, PO ? 平面 PAC,知 BD ? PO . 在 Rt POD 中,由 ?DPO ? 30 ,得 PD=2OD.
?

?

因为四边形 ABCD 为等腰梯形, AC ? BD ,所以 从而梯形 ABCD 的高为

? AOD,? BOC 均为等腰直角三角形,

1 1 1 AD ? BC ? ? (4 ? 2) ? 3, 于是梯形 ABCD 面积 2 2 2

1 S ? ? (4 ? 2) ? 3 ? 9. 2
在等腰三角形AOD中, OD ? 所以 PD ? 2OD ? 4 2, PA ?

2 , AD ? 2 2, 2
PD 2 ? AD 2 ? 4.

故四棱锥 P ? ABCD 的体积为 V ?

1 1 ? S ? PA ? ? 9 ? 4 ? 12 . 3 3

14

(西北桥-王玟有) 1、几何法 斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是边长为 4cm 的正三角形,侧棱 AA1 与底面两边 AB、AC 均成 600 的角,AA1=7。 (1)求证:AA1⊥BC; (2)求斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的全面积; (3)求斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积; (4)求 AA1 到侧面 BB1C1C 的距离。 解析:设 A1 在平面 ABC 上的射影为 0。 ∵ ∠A1AB=∠A1AC,∴ O 在∠BAC 的平行线 AM 上。 ∵ △ABC 为正三角形,∴ AM⊥BC。 又 AM 为 A1A 在平面 ABC 上的射影,∴ A1A⊥BC
3 ? 14 3 2 ∵ B1B∥A1A,∴ B1B⊥BC,即侧面 BB1C1C 为矩形。 ∴ S BB1C1C ? 4 ? 7 ? 28

(2) S AA1C1C ? S AA1B1B ? AB ? AA1 sin ?A1 AB ? 4 ? 7 ?

又 S ?A1B1C1 ? S ?ABC ?

3 ? 4 2 ? 4 3 ,∴ S 全= 14 3 ? 2 ? 28 ? 4 3 ? 2 ? 28 ? 36 3 (cm 2 ) 4 cos ?A1 AB cos 600 3 (3)∵ cos∠A1AB=cos∠A1AO·cos∠OAB,∴ cos∠A1AO= ? ? 0 cos ?OAB cos 30 3 6 7 ,∴ A1O=A1Asin∠A1AO= 6 3 3

∴ sin∠A1AO=

∴ V ? S ?ABC ? A1O ?

3 7 ? 42 ? 6 ? 28 2 (cm 3 ) 4 3

(4)把线 A1A 到侧面 BB1C1C 的距离转化为点 A 或 A1 到平面 BB1C1C 的距离 为了找到 A1 在侧面 BB1C1C 上的射影,首先要找到侧面 BB1C1C 的垂面 设平面 AA1M 交侧面 BB1C1C 于 MM1 ∵ BC⊥AM,BC⊥A1A ∴ BC⊥平面 AA1M1M ∴ 平面 AA1M1M⊥侧面 BCC1B1 在平行四边形 AA1M1M 中 过 A1 作 A1H⊥M1M,H 为垂足 则 A1H⊥侧面 BB1C1C ∴ 线段 A1H 长度就是 A1A 到侧面 BB1C1C 的距离
6 ? 2 2 (cm) 3 点评:线面距离往往转化成点面距离来处理,最后可能转化为空间几何体的体积求得,体积法不 用得到垂线。

∴ A1 H ? A1 M1 sin ?A1 M1 H ? A1 M1 sin ?A1 AM ? 2 3 ?

15

2、向量法

如图,ABCD 是边长为 a 的菱形,且∠BAD=60°,△PAD 为 正三角形,且面 PAD⊥面 ABCD
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z
P F A E D C

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(1)求 cos〈 AB , PD 〉的值; (2)若 E 为 AB 的中点,F 为 PD 的中点,求| EF |的值; (3)求二面角 P—BC—D 的大小
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o
B

y

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x

解:(1)选取 AD 中点 O 为原点,OB、AD、OP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系,则 A(0,- (0,
a ,0) 2
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3 3 a ,0),B( a,0,0),P(0,0, a),D 2 2 2

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??? ? ??? ? 3 3 a a ∴ AB =( a, ,0), PD =(0, ,- a),
2

2

2

2

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? AB ? PD ? ? 则 cos〈 AB , PD 〉= ??? ??? | AB || PD |

3 a a 3 ? 0 ? ? ? 0 ? (? a) 1 a 2 2 2 = = 3 2 a 2 a 3 2 4 ( a) ? ( ) ? 02 ? 02 ? ( ) 2 ? (? a) 2 2 2 2

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(2)∵E、F 分别为 AB、PD 的中点, ∴E(
a a 3 3 a,- ,0),F(0, , a) 4 4 4 4
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??? ? 3 a a 3 2 10 a ? 0) 2 ? (? ? )2 ? (0 ? a) = 则| EF |= ( a 4 4 4 4 4

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(3)∵面 PAD⊥面 ABCD,PO⊥AD, ∵BO⊥AD,AD∥BC,∴BO⊥BC 连结 PB,则 PB⊥BC, ∴∠PBO 为二面角 P—BC—D 的平面角 在 Rt△PBO 中,PO=
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∴PO⊥面 ABCD

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3 3 a,BO= a, 2 2

3 a PO ∴tan∠PBO= = 2 =1 则∠PBO=45° BO 3 a 2
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故二面角 P—BC—D 的大小为 45°

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