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陕西省西安市第七十中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试题 文



2015—2016 学年第二学期高二数学(文科)期末试题
时间:120 分钟 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知全集 I ? {1,2,3,4,5,6} ,集合 A ? {2,3,5,6} , B ? {1,3} ,则 等于 ( ) B. {1,3} ) C. {1} D. ? 满分:150 分

A. {1,

3,4}

2. 下列命题中真命题的个数是( ① ?x ? R, x 4 ? x 2 ;

②若“p∧q”是假命题,则 p,q 都是假命题;

“?x ? R, x ? x ? 1 ? 0” “?x ? R, x ? x ? 1 ? 0” ③若 的否定是
3 2 3 2

A.0

B.1

C.2 )

D.3

3. 下面各组函数中是同一函数的是( A. y ?

?2 x3 与y ? x ?2 x

B. y ? ( x )2 与 y ?| x | C. y ?

x ?1 ? x ?1与y ? ( x ?1)( x ?1)

D. f ( x) ? x2 ? 2 x ?1与g (t ) ? t 2 ? 2t ?1 4. 设 x ? R ,则“ 1 ? x ? 2 ”是“ x ? 2 ? 1 ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 5.已知函数 f ( x) ? ? A. 2 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

?2 ? x ( x ? 0), 则 f [ f (?1)] 等于 ?log2 ( x ? 6) ( x ? 0),
B. 3
0.7

C. ? 1 ? log2 7 ,则 a, b, c 的大小关系是 ( C. b ? c ? a )

D. log2 5 )

6.设 a ? log7 3 , b ? log1 7 , c ? 3
3

A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

D. b ? a ? c

7.下列函数 中,最小值是 2 的是( A. x ?

1 x

B.

x2 ? 2 x2 ?1
1

C.

x2 ? 4 ?

1 x2 ? 4

D. log3 x ? log x 3 )

( x ? 0, x ? 1)

8.若偶函数 f(x)在 (??, ?1] 上是增函数,则( A、 f (? ) ? f ( ?1) ? f (2) C、 f (2) ? f ( ?1) ? f ( ? )

3 2

B、 f (?1) ? f ( ? ) ? f (2) D、 f (2) ? f ( ? ) ? f ( ?1) )

3 2

3 2

3 2

9. 函数 y ? log a ( x ? 2) ? 1( a ? 0且a ? 1) 的图象恒过的一个定点是( A (3,0) B (3,1) C (2,1) D

(2,2)

10.已知 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) , ? , ? 为方程 f ( x ) ? x 的两根,且 0 ? ? ? ? ,当 0 ? x ? ? 时,给 出下列不等式,成立的是( A. x ? f ( x ) ) C. x ? f ( x ) D. x ? f ( x )

B. x ? f ( x )

11.设 x ? R ,若函数 f ( x ) 为单调递增函数,且 对任意实数 x ,都有 f ( f ( x) ? e x ) ? e ? 1 ,则 f (ln2) 的 值等于( A.1 12. 函数 f ( x ) ? ? ) B.e+1 C.3 D.e+3 )

?ax 2 ? 1, x ? 0 ? 在 ? ??, ??? 上单调,则 a 的取值范围为( 2 ax ? ?(a ? 1)e , x ? 0

? C. ?1,

A. ??, ? 2 ? ? 1, 2 ?

?

?

?

B. ? ? 2, ?1 ? ? 2, ??

?

?

?

?

2? ?

D. ? 2, ??

?

?

二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分,共 20 分. 13. lg 2 ? lg 2lg5 ? lg5 ?
2
2

?

2 ?1 ?

?

0

. .

14. 函数 f(x)=ax +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4)上为 减函数,则 a 的取值范围为 15. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x ) ,则 f (8) =

2 16. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集用区间表

示为

三、解答题:本大题共 6 道题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
x 2 ? 17. (本小题 12 分)已知命题 p :1 ? 2 ? 8 ;命题 q :关于 x 的不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,若 p 是

2

?

q 的必要条件,求实数 m 的取值范围.

18.(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? loga (1 ? x) ? loga (3 ? x) , a ? 0, a ? 1 ,且 f (1) ? 2 . (1)求 a 的值及 f ( x ) 的定义域; (2)求 f ( x ) 在区间 0,

? 3? 上的最大值. ? ? 2? ?

19.(本小题 12 分)二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x 且 f (0) ? 1 . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)在区间[-1,1]上, y ? f ( x) 图象恒在 y ? 2 x ? m 的图象上方,试确定实数 m 的范围.

?1? 20(本小题 12 分)已知函数 f ( x )= ? ? ? 3?
(1)若 a ? ?1 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f ( x ) 有最大值 3,求 a 的值.

ax 2 ? 4 x ? 3

.

21.(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 2 | ; (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集. (2)若 f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含[1 , 2],求 a 的取值范围

22. (本小题 12 分)设函数 f ( x) ? ka ? a
x

?x

(a ? 0, a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数.

2 (1)若 f (1) ? 0 ,试求不等式 f ( x ? 2 x) ? f ( x ? 4) ? 0 的解集;

(2)若 f (1) ?

3 2x ?2 x ,且 g ( x) ? a ? a ? 4 f ( x) ,求 g ( x ) 在 ?1, ??? 上的最小值. 2

3

2015—2016 学年第二学期高二数学(文科)期末试题答案 一、选择题 1.C 2.B 7.B 8.D 二、 填空题 13. 0 14 .

3.D 9.B

4.A 10.A 15.0

5.B 11.C

6.D 12.A 16 ? ??, ?5? ? ?0,5?

? 1? 0, ? ? 5? ?

三、解答题 17(本小题 12 分) x 解:p:1<2 <8,即 0<x<3,∵?p 是?q 的必要条件,∴p 是 q 的充分条件. 2 x +4 4 2 ∴不等式 x -mx+4≥0 对? x∈(0,3)恒成立,∴m≤ =x+ 对? x∈(0,3)恒成立, x x 4 4 ∵x+ ≥2 x· =4,当且仅当 x= 2 时,等号成立. ∴m≤4.即 m 的取值范围为(-∞,4]. x x 18(本小题 12 分) 解:(1)∵ f (1) ? 2 ,∴ loga 4 ? 2 ,∴ a ? 2 ,由 ?

2 (2) f ( x ) ? log 2 (1 ? x )(3 ? x ) ? log 2 ? ? ?( x ? 1) ? 4 ? ? ,当 x ? ? ?1,1? 时,f(x)是增函数,当 x ? ?1,3? 时,

?1 ? x ? 0 ,得 x ? ? ?1,3? ,∴函数定义域为 ? ?1,3? . 3 ? x ? 0 ?

f(x)是减函数,故 f(x)在 0,

? 3? 上的最大值为 f (1) ? 2 . ? ? 2? ?

19. (本小题 12 分) 2 2 解: (1)设 f(x)=ax +bx+c,由 f(0)=1 得 c=1,故 f(x)=ax +bx+1. ∵f(x+1)-f(x)=2x, 2 2 ∴a(x+1) +b(x+1)+1-(ax +bx+1)=2x. 即 2ax+a+b=2x, 所以 ?

?2a ? 2 ?a ? 1 , ,? ? ?a ? b ? 0 ?b ? ?1
2

∴f(x)=x -x+1. 2 (2)由题意得 x -x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立. 2 即 x -3x+1-m>0 在[-1,1]上恒成立. 设 g(x)= x -3x+1-m,其图象的对称轴为直线 x= 所以 g(x) 在[-1,1]上递减. 2 故只需 g(1)>0,即 1 -3×1+1-m>0, 解得 m<-1. 20. (本小题 12 分)
2

3 , 2

?1? 解: (1 ) a ? ?1 , f ( x )= ? ? ? 3?

? x2 ?4 x ?3

,令 u ? ? x ? 4 x ? 3 ? ?( x ? 2) ? 7 ,在 ? ??, ?2? 上单调递增,
2 2

?1? 在 ? ?2, ??? 上单调递减,而 y = ? ? 为减函数,所以 f ( x ) 的增区间 为 ? ?2, ??? ,减区间为 ? ??, ?2? . ? 3? t ?1? 2 (2)令 y = ? ? , t ? ax ? 4 x ? 3 ,因为 f ( x ) 有最大值 3,所以 t 有最小值-1, ? 3?

u

4

?a ? 0 ? 则 ?12a ? 16 ,解得 a ? 1 . ? ?1 ? ? 4a
21. (本小题 12 分) 解: (1) a ? ?3 ,

| x ? 4 | ? | x ? 2 |?| x ? a |? 4 ? x ? (2 ? x) ?| x ? a | ? ?2 ? a ? x ? 2 ? a ,
由条件得 ?2 ? a ? 1且2 ? a ? 2,即-3 ? a ? 0 ,故 a 的取值范围是[-3,0]. 22.(本小题 12 分) 解:因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,所以 k-1=0,即 k=1, f ( x) ? a x ? a ? x (1)因为 f (1) ? 0 ,所以 f (1) ? a ? a ?1 ? 0 ,又因为 a ? 0, a ? 1 ,所以 a ? 1 故 f ( x) ? a x ? a ? x 为增函数, f ( x2 ? 2 x) ? ? f ( x ? 4) ,因为 f(x)为奇函数, 所以 f ( x 2 ? 2 x) ? f (4 ? x) ,则 x ? 2 x ? 4 ? x , x ? 3x ? 4 ? 0 ,所以 x ? 1或x ? ?4 ,所以不等式的
2 2

解集为: ?x | x ? 1或x ? ?4? . (2)因为 f (1) ? a ? a
?1

?

3 3 ?1 ,所以 a ? a ? ,得 a ? 2 . 2 2
2x

所以 f ( x) ? 2 x ? 2? x ,g ( x ) ? a

x ?x ? a ?2 x ? 4(2 x ? 2? x ) ? ? 2 x ? 2 ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 ? x ? ? 2 , 令t ? 2 ? 2 ,

2

3 , 2 2 2 所以原函数 y ? t ? 4t ? 2 ? (t ? 2) ? 2 ,当 t ? 2 时,函数 g ( x ) 的最小值为 ? 2 ,
则 t 在 x ? ?1, ??? 上为增函数, t ( x ) ? t (1) ? 此时 x ? log2 (1 ? 2) 。

5



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